九年级数学上学期期中试卷【推荐三篇】
中考考好了才能上一个好的高中哦，今天小编就给大家参考一下九年级数学，希望大家来学习一下哦
九年级数学上学期期中试题阅读
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.用因式分解法解一元二次方程x(x﹣3)=x﹣3时，原方程可化为()
A.(x﹣1)(x﹣3)=0 B.(x+1)(x﹣3)=0 C.x (x﹣3)=0 D.(x﹣2)(x﹣3)=0
2.随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是()
A. B. C. D.1
3.下列各组线段中是成比例线段的是()
A.1cm，2cm，3cm，4cm B.1cm，2cm，2cm，4cm
C.3cm，5cm，9cm，13cm D.1cm，2cm，2cm，3cm
4.关于x的方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是()
A.0 B.8 C.4 D.0或8
5.如图，三角形ABC中，D、E、F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，AD：DB=1：2，BC=30cm，则FC的长为()
A.10cm B.20cm C.5cm D.6cm
6.x=1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根，则此方程的另一个根是()
A.5 B.﹣5 C.4 D.﹣4
7.已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣3=0的两根，则x1+x2，x1x2的值分别为()
A.﹣2，3 B.2，3 C.3，﹣2 D.﹣2，﹣3
8.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，如果AD=2cm，DB=1cm，AE=1.8cm，则EC=()
A.0.9cm B.1cm C.3.6cm D.0.2cm
9.一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是()
A.100(1+x)=121 B.100(1﹣x)=121 C.100(1+x)2=121 D.100(1﹣x)2=121
10.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE= AC，连接CE、OE，连接AE，交OD于点F.若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长为()
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11.方程(x﹣2)2=9的解是.
12.边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则菱形的面积是cm2.
13.如果线段a，b，c，d成比例，且a=5，b=6，c=3，则d=.
14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，则∠AOB的度数为.
15.x2﹣2x+3=0是关于x的一元二次方程，则a所满足的条件是.
16.如图，已知正方形ABCD的对角线长为2 ，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为.
三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)
17.解方程x(x﹣1)=2.
18.解方程：x2﹣2x=2x+1.
19.如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE= BC，连接DE，CF.求证：四边形CEDF是平行四边形.
四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)
20.(7分)已知：如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得BE=DF，连接EC、FC.
求证：EC=FC.
21.(7分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的减价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降1元，商场平均每天可多售出5件.若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元?这时应进货多少件?
22.(7分)一只箱子里共3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同.
(1)从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少?
(2)从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图或列出表格.
五、解答题(三)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)
23.(9分)如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE.直线CE的关系式是y=﹣ x+8，与x轴相交于点F，且AE=3.
(1)求OC长度;
(2)求点B'的坐标;
(3)求矩形ABCO的面积.
24.(9分)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.
(1)求证：△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12，BM=5，求DE的长.
25.(9分)如图，矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从点A出发沿AB向点B移动(不与点A、B重合)，一直到达点B为止;同时，点Q从点C出发沿CD向点D移动(不与点C、D重合).运动时间设为t秒.
(1)若点P、Q均以3cm/s的速度移动，则：AP=cm;QC=cm.(用含t的代数式表示)
(2)若点P为3cm/s的速度移动，点Q以2cm/s的速度移动，经过多长时间PD=PQ，使△DPQ为等腰三角形?
(3)若点P、Q均以3cm/s的速度移动，经过多长时间，四边形BPDQ为菱形?
九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.用因式分解法解一元二次方程x(x﹣3)=x﹣3时，原方程可化为()
A.(x﹣1)(x﹣3)=0 B.(x+1)(x﹣3)=0 C.x (x﹣3)=0 D.(x﹣2)(x﹣3)=0
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】先移项，再分解因式，即可得出选项.
【解答】解：x(x﹣3)=x﹣3，
x(x﹣3)﹣(x﹣3)=0，
(x﹣3(x﹣1)=0，
故选A.
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确分解因式是解此题的关键.
2.随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是()
A. B. C. D.1
【考点】列表法与树状图法.
【分析】首先利用列举法，列得所有等可能的结果，然后根据概率公式即可求得答案.
【解答】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，
可能的结果有：正正，正反，反正，反反，
∴两次正面都朝上的概率是 .
故选A.
【点评】此题考查了列举法求概率的知识.解题的关键是注意不重不漏的列举出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
3.下列各组线段中是成比例线段的是()
A.1cm，2cm，3cm，4cm B.1cm，2cm，2cm，4cm
C.3cm，5cm，9cm，13cm D.1cm，2cm，2cm，3cm
【考点】比例线段.
【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论.
【解答】解：∵1×4≠2×3，
∴选项A不成比例;
∵1×4=2×2，
∴选项B成比例;
∵3×13≠5×9，
∴选项C不成比例;
∵3×1≠2×2，
∴选项D不成比例
故选B.
【点评】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系.
4.关于x的方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是()
A.0 B.8 C.4 D.0或8
【考点】根的判别式.
【分析】根据方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有两个相等的实数根可得△=0，即(m﹣2)2﹣4(m+1)=0，解方程即可得m的值.
【解答】解：∵方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即(m﹣2)2﹣4(m+1)=0，
解得：m=0或m=8，
故选：D.
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识.此题比较简单，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根;②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根;③当△<0时，方程无实数根.
5.如图，三角形ABC中，D、E、F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，AD：DB=1：2，BC=30cm，则FC的长为()
A.10cm B.20cm C.5cm D.6cm
【考点】平行线分线段成比例.
【分析】先由DE∥BC，EF∥AB得出四边形BDEF是平行四边形，那么BF=DE.再由AD：DB=1：2，得出AD：AB=1：3.由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出DE：BC=AD：AB=1：3，将BC=30cm代入求出DE的长，即可得FC的长.
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BF=DE.
∵AD：DB=1：2，
∴AD：AB=1：3.
∵DE∥BC，
∴DE：BC=AD：AB=1：3，即DE：30=1：3，
∴DE=10，
∴BF=10.
故FC的长为20cm.
故选B
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，比例的性质，难度不大，得出BF=DE，从而利用转化思想是解题的关键.
6.x=1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根，则此方程的另一个根是()
A.5 B.﹣5 C.4 D.﹣4
【考点】根与系数的关系.
【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算.
【解答】解：设方程的另一根为x1，
由根据根与系数的关系可得：x1•1=﹣5，
∴x1=﹣5.
故选：B.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣ ，x1•x2= .
7.已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣3=0的两根，则x1+x2，x1x2的值分别为()
A.﹣2，3 B.2，3 C.3，﹣2 D.﹣2，﹣3
【考点】根与系数的关系.
【分析】直接根据根与系数的关系求解.
【解答】解：根据题意得x1+x2= =﹣2; x1x2= ﹣3.
故选D.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系，关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2= ，x1x2= .
8.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，如果AD=2cm，DB=1cm，AE=1.8cm，则EC=()
A.0.9cm B.1cm C.3.6cm D.0.2cm
【考点】平行线分线段成比例.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到 = ，然后利用比例性质求EC的长.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，即 = ，
∴EC=0.9(cm).
故选A.
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
9.一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是()
A.100(1+x)=121 B.100(1﹣x)=121 C.100(1+x)2=121 D.100(1﹣x)2=121
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.
【分析】设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100(1+x)元，然后再根据价钱为100(1+x)元，表示出第二次提价的价钱为100(1+x)2元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x的方程.
【解答】解：设平均每次提价的百分率为x，
根据题意得：100(1+x)2=121，
故选C.
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n(一般情况下为2)，增长后的量为b，则有表达式a(1+x)n=b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”.
10.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE= AC，连接CE、OE，连接AE，交OD于点F.若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长为()
A. B. C. D.
【考点】菱形的性质.
【分析】先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明四边形OCED是矩形，再根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可.
【解答】解：在菱形ABCD中，OC= AC，AC⊥BD，
∴DE=OC，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AD=AB=AC=2，OA= AC=1，
在矩形OCED中，由勾股定理得：CE=OD= = = ，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE= = = ;
故选：C.
【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质;熟练掌握菱形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键.
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11.方程(x﹣2)2=9的解是5或﹣1.
【考点】解一元二次方程-直接开平方法.
【分析】观察方程后发现，左边是一个完全平方式，右边是3的平方，即x﹣2=±3，解两个一元一次方程即可.
【解答】解：开方得x﹣2=±3即：
当x﹣2=3时，x1=5;
当x﹣2=﹣3时，x2=﹣1.
故答案为：5或﹣1.
【点评】本题关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解.
12.边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则菱形的面积是24cm2.
【考点】菱形的性质.
【分析】根据菱形对角线垂直且互相平分，即可得出菱形的另一条对角线的长，再利用菱形的面积公式求出即可.
【解答】解：如图所示：设BD=6cm，AD=5cm，
∴BO=DO=3cm，
∴AO=CO= =4(cm)，
∴AC=8cm，
∴菱形的面积是： ×6×8=24(cm2).
故答案为：24.
【点评】此题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积公式以及对角线之间的关系是解题关键.
13.如果线段a，b，c，d成比例，且a=5，b=6，c=3，则d=3.6.
【考点】比例线段.
【分析】根据比例线段的定义，即可列出方程求解.
【解答】解：根据题意得： = ，即 = ，
解得：d=3.6.
故答案为3.6.
【点评】本题考查了比例线段的定义，注意a、b、c、d是成比例线段即 = ，要理解各个字母的顺序.
14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，则∠AOB的度数为60°.
【考点】矩形的性质.
【分析】由矩形的性质和已知条件证得△OAB是等边三角形，继而求得∠AOB的度数.
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵ED=3BE，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°;
故答案为：60°.
【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质.熟练掌握矩形的性质，证明△AOB是等边三角形是解决问题的关键.
15.(a+2)x2﹣2x+3=0是关于x的一元二次方程，则a所满足的条件是a≠﹣2.
【考点】一元二次方程的定义.
【分析】根据一元二次方程的定义得出a+2≠0，求出即可.
【解答】解：∵(a+2)x2﹣2x+3=0是关于x的一元二次方程，
∴a+2≠0，
∴a≠﹣2.
故答案为：a≠﹣2.
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a b c都是常数，且a≠0).
16.如图，已知正方形ABCD的对角线长为2 ，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为8.
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】先设正方形的边长为a，再根据对角线长为2 求出a的值，由图形翻折变换的性质可知AD=A′B′，A′H=AH，B′G=DG，由阴影部分的周长=A′B′+A′H+BH+BC+CG+B′G即可得出结论.
【解答】解：设正方形的边长为a，则2a2=(2 )2，解得a=2，
翻折变换的性质可知AD=A′B′，A′H=AH，B′G=DG，
阴影部分的周长=A′B′+(A′H+BH)+BC+(CG+B′G)=AD+AB+BC+CD=2×4=8.
故答案为：8.
【点评】本题考查的是翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.
三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)
17.解方程x(x﹣1)=2.
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】首先将原方程变形化为一般式，然后利用因式分解法即可求得此方程的根.
【解答】解：∵x(x﹣1)=2，
∴x2﹣x﹣2=0，
∴(x﹣2)(x+1)=0，
即x﹣2=0或x+1=0，
∴x=2或x=﹣1，
∴原方程的根为：x1=2，x2=﹣1.
【点评】此题考查了一元二次方程的解法.注意在利用因式分解法解一元二次方程时，需首先将原方程化为一般式再求解.
18.解方程：x2﹣2x=2x+1.
【考点】解一元二次方程-配方法.
【分析】先移项，把2x移到等号的左边，再合并同类项，最后配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解.
【解答】解：∵x2﹣2x=2x+1，
∴x2﹣4x=1，
∴x2﹣4x+4=1+4，
(x﹣2)2=5，
∴x﹣2=± ，
∴x1=2+ ，x2=2﹣ .
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方;(4)选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.
19.如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE= BC，连接DE，CF.求证：四边形CEDF是平行四边形.
【考点】平行四边形的判定与性质.
【分析】由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC;然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等(DF=CE，且DF∥CE)，即四边形CEDF是平行四边形.
【解答】证明：如图，在▱ABCD中，AD∥BC，且AD=BC.
∵F是AD的中点，
∴DF= .
又∵CE= BC，
∴DF=CE，且DF∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形.
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质.平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法.
四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)
20.已知：如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得BE=DF，连接EC、FC.
求证：EC=FC.
【考点】菱形的性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】要证EC=FC，只要证明三角形BCE和DCF全等即可，两三角形中已知的条件有BE=DF，CB=CD，那么只要证得两组对应边的夹角相等即可得出结论，根据四边形ABCD是菱形我们可得出∠ABC=∠ADC，因此∠EBC=∠FDC.这样就构成了三角形全等的条件.因此两个三角形就全等了.
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=DC，∠ABC=∠ADC，
∴∠EBC=∠FDC.
在△EBC和△FDC中， ，
∴△EBC≌△FDC(SAS)，
∴EC=FC.
【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定，求简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要注意利用此题中的图形条件，如等角的补角相等.
21.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的减价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降1元，商场平均每天可多售出5件.若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元?这时应进货多少件?
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可.
【解答】解：设每件衬衫应降价x元.
根据题意，得 (44﹣x)(20+5x)=1600，
解得x1=4，x2=36.
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x1=4应略去，
∴x=36.
20+5x=200.
答：每件衬衫应降价36元，进货200件.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键.
22.一只箱子里共3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同.
(1)从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少?
(2)从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图或列出表格.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】(1)直接利用概率公式求解;
(2)画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是白球的结果数，然后根据概率公式求解.
【解答】解：(1)因为箱子里共3个球，其中2个白球，所以从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是 ;
(2)画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是白球的结果数为2，
所以两次摸出的球都是白球的概率= = .
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.
五、解答题(三)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)
23.如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE.直线CE的关系式是y=﹣ x+8，与x轴相交于点F，且AE=3.
(1)求OC长度;
(2)求点B'的坐标;
(3)求矩形ABCO的面积.
【考点】一次函数综合题.
【分析】(1)在直线y=﹣ x+8中令x=0可求得C点坐标，则可求得OC长度;
(2)由折叠的性质可求得B′E，在Rt△AB′E中，可求得AB′，再由点E在直线CF上，可求得E点坐标，则可求得OA长，利用线段和差可求得OB′，则可求得点B′的坐标;
(3)由(1)、(2)可求得OC和OA，可求得矩形ABCO的面积.
【解答】解：
(1)∵直线y=﹣ x+8与y轴交于点为C，
∴令x=0，则y=8，
∴点C坐标为(0，8)，
∴OC=8;
(2)在矩形OABC中，AB=OC=8，∠A=90°，
∵AE=3，
∴BE=AB﹣BE=8﹣3=5，
∵是△CBE沿CE翻折得到的，
∴EB′=BE=5，
在Rt△AB′E中，AB′= = =4，
由点E在直线y=﹣ x+8上，设E(a，3)，
则有3=﹣ a+8，解得a=10，
∴OA=10，
∴OB′=OA﹣AB′=10﹣4=6，
∴点B′的坐标为(0，6);
(3)由(1)，(2)知OC=8，OA=10，
∴矩形ABCO的面积为OC×OA=8×10=80.
【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及直线与坐标轴的交点、轴对称的性质、勾股定理、矩形的性质及方程思想等知识点.在(1)中注意求与坐标轴交点的方法，在(2)中求得E点坐标是解题的关键.本题涉及知识点不多，综合性不强，难度不大，较容易得分.
24.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.
(1)求证：△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12，BM=5，求DE的长.
【考点】相似三角形的判定与性质;正方形的性质.
【分析】(1)由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论;
(2)由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长.
【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA;
(2)解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM= =13，AD=12，
∵F是AM的中点，
∴AF= AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴ ，
即 ，
∴AE=16.9，
∴DE=AE﹣AD=4.9.
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理;熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.
25.如图，矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从点A出发沿AB向点B移动(不与点A、B重合)，一直到达点B为止;同时，点Q从点C出发沿CD向点D移动(不与点C、D重合).运动时间设为t秒.
(1)若点P、Q均以3cm/s的速度移动，则：AP=3tcm;QC=3tcm.(用含t的代数式表示)
(2)若点P为3cm/s的速度移动，点Q以2cm/s的速度移动，经过多长时间PD=PQ，使△DPQ为等腰三角形?
(3)若点P、Q均以3cm/s的速度移动，经过多长时间，四边形BPDQ为菱形?
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)根据路程=速度×时间，即可解决问题.
(2)过点P作PE⊥CD于点E，利用等腰三角形三线合一的性质，DE= DQ，列出方程即可解决问题.
(3)当PD=PB时，四边形BPDQ是菱形，列出方程即可解决问题.
【解答】解：(1)∵AP=3t，CQ=3t.
故答案为3t，3t;
(2)过点P作PE⊥CD于点E，
∴∠PED=90°，
∵PD=PQ，
∴DE= DQ
在矩形ABCD中，∠A=∠ADE=90°，CD=AB=16cm
∴四边形PEDA是矩形，
∴DE=AP=3t，
又∵CQ=2t，
∴DQ=16﹣2t
∴由DE= DQ，
∴3t= ×(16﹣2t)，
∴t=2
∴当t=2时，PD=PQ，△DPQ为等腰三角形
(3)在矩形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，AD=BC，依题知AP=CQ=3t
∴PB=DQ，
∴四边形BPDQ是平行四边形，
当PD=PB时，四边形BPDQ是菱形，
∴PB=AB﹣AP=16﹣3t
在Rt△APD中，PD= = ，
由PD=PB，
∴16﹣3t= ，
∴(16﹣3t)2=9t2+36，
解得：
∴当 时，四边形BPDQ是菱形.
【点评】本题考查四边形综合题，路程、速度、时间之间的关系，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型.
关于九年级数学上学期期中模拟试卷
一.选择题(共10小题，满分30分)
1.(3分)将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为()
A.﹣30 B.﹣20 C.﹣5 D.0
2.(3分)下列图形，既是轴对称又是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
3.(3分)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是()
A.4 B.5 C.6 D.6
4.(3分)一个等腰三角形的 两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是()
A.12 B.9 C.13 D.12或9
5.(3分)下列关于二次函数y=﹣2(x﹣2)2+1图象的叙述，其中错误的是()
A.开口向下
B.对称轴是直线x=2
C.此函数有最小值是1
D.当x>2时，函数y随x增大而减小
6.(3分)宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满;当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房.如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元? 设房价定为x元.则有()
A.(180+x﹣20)(50﹣ )=10890
B.(x﹣20)(50﹣ )=10890
C.x(50﹣ )﹣50×20=10890
D.(x+180)(50﹣ )﹣50×20=10890
7.(3分)把一副三角板如图(1)放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=4，CD=5.把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图2)，此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为()
A. B. C. D.4
8.(3分)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1.则下列说法中正确的是()
A.点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B.点火 后24s火箭落于地面
C.点火后10s的升空高度为139m
D.火箭升空的最大高度为145m
9.(3分)抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过A(4，4)，B(2，m)两点，点B到抛物线对称轴的距离记为 d，满足0
A.m≤2或m≥3 B.m≤3或m≥4 C.2
10.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，有下列5个结论：
①abc<0;②3a+c>0;③4a+2b+c>0;④2a+b=0;⑤b2>4ac.
其中正确的结论的有()
A.2个 B.3个 C.4个 D .5个
二.填空题(共5小题，满分15分，每小题3分)
11.(3分)若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为 .
12.(3分)方程x(x+1)=2(x+1)的解是 .
13.(3分)如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数是 .
14.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 …
y … 3 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 …
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣2的根是 .
15.(3分)如图，线段AB=10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是 .
三.解答题(共7小题，满分55分)
16.(8分)解下列方程：
(1)x(x+5)=14;
(2)x2﹣2x﹣2=0
17.(6分)如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C=45°，
(1)求∠ABD的度数;
(2)若∠CDB=30°，BC=3，求⊙O的半径.
18.(7分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3).
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标;
(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2;
(3)求出(2)中C点旋转到C2点所经过的路径长(结果保留根号和π);
(4)求出(2)△A2BC2的面积是多少.
19.(8分)今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本.已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元.请解答以下问题：
(1)填空：每天可售出书 本(用含x的代数式表示);
(2)若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元?
20.(8分)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣2)x+(m2﹣2m)=0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根.
(2)如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x2 2=10，求m的值.
21.(9分)某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资A种产品，所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表：
x(万元) 1 2 2.5 3 5
yA(万元) 0.4 0.8 1 1.2 2
信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系：yB=ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元.
(1)求出yB与x的函数关系式;
(2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yA与x之间的关系，并求出yA与x的函数关系式;
(3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少?
22.(9分)如图，抛物线y=ax2+bx(a<0)过点E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边)，点C，D在抛物线上.设A(t，0)，当t=2时，AD=4.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值? 最大值是多少?
(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.
参考答案
一.选择题
1.B.
2.C.
3.D.
4.A.
5.C.
6.B.
7.A.
8.D.
9.B.
10.C.
二.填空题
11 .2018
12.x1=2，x2=﹣1.
13.32°.
14.x1=﹣4，x2=0.
15.5.
三.解答题
16.解：(1)x2+5x﹣14=0，
(x+7)(x﹣2)=0，
x+7=0或x﹣2=0，
所以x1=﹣7，x2=2;
(2)x2﹣2x=2，
x2﹣2x+1=3，
(x﹣1)2=3，
x﹣1=± ，
所以x1=1+ ，x2=1﹣ .
17.解：(1)∵∠C=45°，
∴∠A=∠C=45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=45°;
(2)连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=∠CDB=30°，BC=3，
∴AB=6，
∴⊙O的半径为3.
18.]解：(1)如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为(2，﹣4);
(2)如图，△A2BC2为所作;
(3)BC= = ，
所以C点旋转到C2点所经过的路径长= = π;
(4)△A2BC2的面积=3×3﹣ ×1×2﹣ ×1×3﹣ ×2×3= .
19.
【解答】解：(1)∵每本书上涨了x元，
∴每天可售出书(300﹣10x)本.
故答案为：(300﹣10x).
(2)设每本书上涨了x元(x≤10)，
根据题意得：(40﹣30+x)(300﹣10x)=3750，
整理，得：x2﹣20x+75=0，
解得：x1=5，x2=15(不合题意，舍去).
答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元.
20.
【解答】解：(1)由题意可知：△=(2m﹣2)2﹣4(m2﹣2m)
=4>0，
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，
∴ + =(x1+x2)2﹣2x1x2=10，
∴(2m﹣2)2﹣2(m2﹣2m)=10，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m=﹣1或m=3
21.
【解答】解：(1)由题意得，将坐标(2，2.4)(4，3.2)代入函数关系式yB=ax2+bx，
求解得：
∴yB与x的函数关系式：yB=﹣0.2x2+1.6x
(2)根据表格中对应的关系可以确定为一次函数，
故设函数关系式yA=kx+b，将(1，0.4)(2，0.8)代入得： ，]
解得： ，
则yA=0.4x;
(3)设投资B产品x万元，投资A产品(15﹣x)万元，总利润为W万元，
W=﹣0.2x2+1.6x+0.4(15﹣x)=﹣0.2(x﹣3)2+7.8
即当投资B3万元，A12万元时所获总利润最大，为7.8万元.
22.
【解答】解：(1)设抛物线解析式为y=ax(x﹣10)，
∵当t=2时，AD=4，
∴点D的坐标为(2，4)，
∴将点D坐标代入解析式得﹣16a=4，
解得：a=﹣ ，
抛物线的函数表达式为y=﹣ x2+ x;
(2)由抛物线的对称性得BE=OA=t，
∴AB=10﹣2t，
当x=t时，AD=﹣ t2+ t，
∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)
=2[(10﹣2t)+(﹣ t2+ t)]
=﹣ t2+t+20
=﹣ (t﹣1)2+ ，
∵﹣ <0，
∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为 ;
(3)如图，
当t=2时，点A、B、C、D的坐标分别为(2，0)、(8，0)、(8，4)、(2，4)，
∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为(5，2)，
当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为(4，4)，此时GH不能将矩形面积平分;
当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为(6，0)，此时GH也不能将矩形面积平分;
∴当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形的面积平分，
当点G、H分别落在线段AB、DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积，
∵AB∥CD，
∴线段OD平移后得到的线段GH，
∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P，
在△OBD中，PQ是中位线，
∴PQ= OB=4，
所以抛物线向右平移的距离是4个单位.
九年级数学上学期期中试卷
一.选择题(共10小题，满分30分)
1.(3分)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
2.(3分)下列方程中是一元二次方程的是()
A.xy+2=1 B. C.x2=0 D.ax2+bx+c=0
3.(3分)一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是()
A.x1=1，x2=6 B.x1=2，x2=3 C.x1=1，x2 =﹣6 D.x1=﹣1，x2=6
4.(3分)抛物线y=3(x﹣1)2+1的顶点坐标是()
A.(1，1) B.(﹣1，1) C.(﹣1，﹣1) D.(1，﹣1)
5.(3分)将抛物线y= x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛 物线的解析式为()
A.y= (x﹣8)2+5 B.y= (x﹣4)2+5
C.y= (x﹣8)2+3 D.y= (x﹣4)2+3
6.(3分)如图，半 径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的长等于()
A.8 B.10 C.11 D.12
7.(3分)宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满;当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房.如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元?设房价定为x元.则有()
A.(180+x﹣20)(50﹣ )=10890
B.(x﹣20)(50﹣ )=10890
C.x(50﹣ )﹣50×20=10890
D.(x+1 80)(50﹣ )﹣50×20=10890
8.(3分)把一副三角板如图(1)放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=4，CD=5.把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图2)，此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为()
A. B. C. D.4
9.(3分)如图已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB和AC于点E、F，给出以下五个结论正确的个数有()
①AE=CF②∠APE=∠CPF ③△BEP≌△AFP④△EPF是等腰直角三角形⑤当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，S四边形AEPF= S△ABC.
A.2 B.3 C.4 D.5
10.(3分)二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象如图所示，对称轴是x=﹣1.下列结论：①ab>0;②b2>4ac;③a﹣b+2c<0;④8a+c<0.其中正确的是()
A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④
二.填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)
11.(3分)若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为 .
12.(3分)将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成(x﹣a)2=b的形式，则ab= .
13.(3分)点A(﹣3，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在抛物线y=2x2﹣4x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是 .
14.(3分)如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为 .
15.(3分)如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′= .
16.(3分)二次函数y=x2﹣2x﹣5的最小值是 .
三.解答题(共9小题，满分72分)
17.(7分)解方程
(1)x(x﹣2)+x﹣2=0
(2)(x﹣2)(x﹣5)=﹣2.
18.(7分)已知，抛物线y=ax2+2ax+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧.点B的坐标为(1，0)，OC=3OB.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当a>0时，如图所示，若点D是第三象限抛物线上方的动点，设点D的横坐标为m，三角形ADC的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围;请问当m为何值时，S有最大值?最大值是多少.
19.(7分)如图，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂足为点D，AB=12，OD=8，求⊙O半径的长.
20.(8分)已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，求a2﹣a+b+3ab的值.
21.(8分)如图，在△ABC中，已知AB=AC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD，CE交于点F.
(1)求证：△ABD≌△ACE;
(2)求∠ACE的度数.
22.(8分)如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动.
(1)几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍;
(2)几秒后，△DPQ的面积是24cm2.
23.(8分)某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元.试销期间发现每天的销售量y(袋)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元.
销售单价x(元) 3.5 5.5
销售量y(袋) 280 120
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元?
(3)设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大?最大利润是多少元?
24.(9分)我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB'，把AC绕点A逆时 针旋转β得到AC'，连接B'C'.当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.
特例感知：
(1)在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”.
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC;
②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为 .
猜想论证：
(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.
25.(10分)如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q.
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式;
(2)点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC?如果存在，求出点M的坐标;如果不存在，请说明理由.
参考答案
一.选择题
1 .C.
2.C.
3.D.
4.A.
5.D.
6.A.
7.B.
8.A.
9.D.
10.C.
二.填空题
11.
【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0，
∴2m2﹣3m=1
∴原式=3(2m2﹣3m)+2015=2018
故答案为：2018
12.
【解答】解：x2﹣6x+5=0，
x2﹣6x=﹣5，
x2﹣6x+9=﹣5+9，
(x﹣3)2=4，
所以a=3，b=4，
ab=12，
故答案为：12.
13.
【解答】解：
∵y=2x2﹣4x+c，
∴当x=﹣3时，y1=2×(﹣3)2﹣4×(﹣3)+c=30+c，
当x=2时，y2=2×22﹣4×2+c=c，
当x=3 时，y3=2×32﹣4×3+c=6+c，
∵c<6+c<30+c，
∴y2
故答案为：y2
14.
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°(直径所对的圆周角是直角)，
∵∠CBD=30°，
∴∠D=60°(直角三角形的两个锐角互余)，
∴∠A=∠D=60°(同弧所对的圆周角相等);
故答案是：60°.
15.
【解答】解：由题意得：
AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C;
∵CC′∥AB，且∠BAC=75°，
∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=75°，
∴∠CAC′=180°﹣2×75°=30°;
由题意知：∠BAB′=∠CAC′=30°，
故答案为30°.
16.
【解答】解：∵原式可化为y=x2﹣2x+1﹣6=(x﹣1)2﹣6，
∴最小值为﹣6.
故答案为：﹣6
三.解答题(共9小题，满分72分)
17.
【解答】解：(1)x(x﹣2)+x﹣2=0
(x﹣2)(x+1)=0
x﹣2=0或x+1=0
x1=2，x2=﹣1;
(2)(x﹣2)(x﹣5)=﹣2
x2﹣7x+12=0
(x﹣3)(x﹣4)=0
x﹣3=0或x﹣4=0
x1=3，x2=4.
18.
【解答】解：(1)∵点B的坐标为(1，0)，OC=3OB，
∴点C的坐标为(0，3)或(0，﹣3)，
将点B(1，0)、C(0，3)或(0，﹣3)代入y=ax2+2ax+c，
或 ，
解得： 或 ，
∴抛 物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3或y=x2+2x﹣3.
(2)过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，如图所示.
∵a>1，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3，
∴点C的坐标为(0，﹣3).
当y=0时，有x2+2x﹣3=0，
解得：x1=﹣3，x2=1，
∴点A的坐标为(﹣3，0)，
利用待定系数法可求出线段AC所在直线的解析式为y=﹣x﹣3.
∵点D的横坐标为m，
∴点D的坐标为(m，m2+2m﹣3)，点E的坐标为(m，﹣m﹣3)，
∴DE=﹣m﹣3﹣(m2+2m﹣3)=﹣m2﹣3m，
∴S= DE×|﹣3﹣0|=﹣ (m2+m)(﹣3
∵﹣ <0，且S=﹣ (m2+ m)=﹣ (m+ )2+ ，
∴当m=﹣ 时，S取最大值，最大值为 .
19.
【解答】解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AD=BD= AB= ×12=6，
在Rt△AOD中，OA= = =10，
即⊙O半径的长为10.
20.
【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，
∴a+b=2，ab=﹣1，a2﹣2a=1，
a2﹣a+b+3ab=a2﹣2a+b+a+3ab=1+2﹣3=0.
21.
【解答】解：(1)由题意得：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE;
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
(2)∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，而∠CAE=100°，
∴∠ACE= =40°.
22.
【解答】解：(1)设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，
∴PD=2PQ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴PD2=AP2+AD2，PQ2=BP2+BQ2，
∵PD2=4 PQ2，
∴82+(2t)2=4[(10﹣2t)2+t2]，
解得：t1=3，t2=7;
∵t=7时10﹣2t<0，
∴t=3，
答：3秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍;
(2)设x秒后△DPQ的面积是24cm2，
则 ×8×2x+ (10﹣2x)•x+ (8﹣x)×10=80﹣24，
整理得x2﹣8x+16=0
解得x1=x2=4.
23.
【解答】解：(1)设y=kx+b，
将x=3.5，y=280;x=5.5，y=120代入，
得 ，解得 ，
则y与x之间的函数关系式为y=﹣80x+560;
(2)由题意，得(x﹣3)(﹣80x+560)﹣80=160，
整理，得x2﹣10x+24=0，
解得x1=4，x2=6.
∵3.5≤x≤5.5，
∴x=4.
答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元;
(3)由题意得：w=(x﹣3)(﹣80x+560)﹣80
=﹣80x2+800x﹣1760
=﹣80(x﹣5)2+240，
∵3.5≤x ≤5.5，
∴当x=5时，w有最大值为240.
故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元.
24.
【解答】解：(1)①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC;
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=AB′=AC′，
∵DB′=DC′，
∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠B′AC′=120°，
∴∠B′=∠C′=30°，
∴AD= AB′= BC，
故答案为 .
②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为4.
理由：∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠B′AC′=∠BAC=90°，
∵AB=AB′，AC=AC′，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴BC=B′C′，
∵B′D=DC′，
∴AD= B′C′= BC=4，
故答案为4.
(2)猜想 .
证 明：如图，延长AD至点Q，则△DQB'≌△DAC'，
∴QB'=AC'，QB'∥AC'，
∴∠QB'A+∠B'AC'=180°，
∵∠BAC+∠B'AC'=180°，
∴∠QB'A=∠BAC，
又由题意得到QB'=AC'=AC，AB'=AB，
∴△AQB'≌△BCA，
∴AQ=BC=2AD，
即 .
25.
【解答】解：(1)∵OA=1，OB=3，
∴A(﹣1，0)，B(3，0).
代入y=﹣x2+bx+c，得
解得b=2，c=3.
∴抛物线对应二次函数的表达式为：y=﹣x2+2x+3;
(2)如图，设直线CD切⊙P于点E.连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F.
∴PE⊥CD，PE=PA.
由y=﹣x2+2x+3，得
对称轴为直线x=1，C(0，3)、D(1，4).
∴DF=4﹣3=1，CF=1，
∴DF=CF，
∴△DCF为等腰直角三角形.
∴∠CDF=45°，
∴∠EDP=∠EPD=45°，
∴DE=EP，
∴△DEP为等腰三角形.
设P(1，m)，
∴EP2= (4﹣m)2.
在△APQ中，∠PQA=90°，
∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣(﹣1)]2+m2
∴ (4﹣m)2=[1﹣(﹣1)]2+m2.
整理，得m2+8m﹣8=0
解得，m=﹣4±2 .
∴ 点P的坐标为(1，﹣4+2 )或(1，﹣4﹣2 ).
(3)存在点M，使得△DCM∽△BQC .
如图，连结CQ、CB、CM，
∵C(0，3)，OB=3，∠COB=90°，
∴△COB为等腰直角三角形，
∴∠CBQ=45°，BC=3 .
由(2)可知，∠CDM=45°，CD= ，
∴∠CBQ=∠CDM.
∴△DCM∽△BQC分两种情况.
当 = 时，
∴ = ，解得DM= .
∴QM=DQ﹣DM=4﹣ = .
∴M1(1， ).
当 时，
∴ = ，解得DM=3.
∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1.
∴M2(1，1).
综上，点M的坐标为(1， )或(1，1).