高二数学上学期期末试卷(文科含解析)【汇总两篇】
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高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.对于常数m、n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】先根据mn>0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆;这里可以利用举出特值的方法来验证,再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆,根据椭圆的方程的定义,可以得出mn>0,即可得到结论.
【解答】解:当mn>0时,方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆,
例如:当m=n=1时,方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆;或者是m,n都是负数,曲线表示的也不是椭圆;
故前者不是后者的充分条件;
当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时,应有m,n都大于0,且两个量不相等,得到mn>0;
由上可得:“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件.
故选B.
2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是()
A.所有不能被2整除的整数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数
【考点】命题的否定.
【分析】根据已知我们可得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应该是一个特称命题,根据全称命题的否定方法,我们易得到结论.
【解答】解:命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题
其否定一定是一个特称命题,故排除A,B
结合全称命题的否定方法,我们易得
命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为
“存在一个能被2整除的整数不是偶数”
故选:D
3.已知椭圆 上的点P到椭圆一个焦点的距离为7,则P到另一焦点的距离为()
A.2 B.3 C.5 D.7
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由椭圆方程找出a的值,根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a,把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和,由P到一个焦点的距离为7,求出P到另一焦点的距离即可.
【解答】解:由椭圆 ,得a=5,
则2a=10,且点P到椭圆一焦点的距离为7,
由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣7=3.
故选B
4.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()
A.(¬p)∨(¬q) B.p∨(¬q) C.(¬p)∧(¬q) D.p∨q
【考点】四种命题间的逆否关系.
【分析】由命题P和命题q写出对应的¬p和¬q,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示.
【解答】解:命题p是“甲降落在指定范围”,则¬p是“甲没降落在指定范围”,
q是“乙降落在指定范围”,则¬q是“乙没降落在指定范围”,
命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括
“甲降落在指定范围,乙没降落在指定范围”
或“甲没降落在指定范围,乙降落在指定范围”
或“甲没降落在指定范围,乙没降落在指定范围”三种情况.
所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬p)V(¬q).
故选A.
5.若双曲线 的离心率为 ,则其渐近线的斜率为()
A.±2 B. C. D.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由双曲线 的离心率为 ,可得 ,解得 即可.
【解答】解:∵双曲线 的离心率为 ,∴ ,解得 .
∴其渐近线的斜率为 .
故选:B.
6.曲线 在点M( ,0)处的切线的斜率为()
A. B. C. D.
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】先求出导函数,然后根据导数的几何意义求出函数f(x)在x= 处的导数,从而求出切线的斜率.
【解答】解:∵
∴y'=
=
y'|x= = |x= =
故选B.
7.若椭圆 (a>b>0)的焦点与双曲线 的焦点恰好是一个正方形的四个顶点,则抛物线ay=bx2的焦点坐标为()
A.( ,0) B.( ,0) C.(0, ) D.(0, )
【考点】双曲线的简单性质;椭圆的简单性质;抛物线的简单性质.
【分析】根据椭圆 (a>b>0)的焦点与双曲线 的焦点恰好是一个正方形的四个顶点,得到a,b的关系式;再将抛物线ay=bx2的方程化为标准方程后,根据抛物线的性质,即可得到其焦点坐标.
【解答】解:∵椭圆 (a>b>0)的焦点与双曲线 的焦点恰好是一个正方形的四个顶点
∴2a2﹣2b2=a2+b2,即a2=3b2, = .
抛物线ay=bx2的方程可化为:x2= y,即x2= y,
其焦点坐标为:(0, ).
故选D.
8.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是()
A.若|z1|=|z2|,则
B.若 ,则
C.若|z1|=|z2|,则
D.若|z1﹣z2|=0,则
【考点】复数代数形式的乘除运算;命题的真假判断与应用.
【分析】利用特例判断A的正误;复数的基本运算判断B的正误;复数的运算法则判断C的正误;利用复数的模的运算法则判断D的正误.
【解答】解:若|z1|=|z2|,例如|1|=|i|,显然 不正确,A错误.
B,C,D满足复数的运算法则,
故选:A.
9.已知命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是()
A.否命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题
B.逆命题“若m≤1,则函数f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题
C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题
D.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题
【考点】四种命题间的逆否关系.
【分析】先利用导数知识,确定原命题为真命题,从而逆否命题为真命题,即可得到结论.
【解答】解:∵f(x)=ex﹣mx,∴f′(x)=ex﹣m
∵函数f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是增函数
∴ex﹣m≥0在(0,+∞)上恒成立
∴m≤ex在(0,+∞)上恒成立
∴m≤1
∴命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,是真命题,
∴逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题
∵m≤1时,f′(x)=ex﹣m≥0在(0,+∞)上不恒成立,即函数f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上不一定是增函数,∴逆命题“若m≤1,则函数f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是增函数”是真命题,即B不正确
故选D.
10.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的()
A.充分条件 B.必要条件
C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题,根据互为逆否命题的真假一致得到:“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件.
【解答】解:“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题,
根据互为逆否命题的真假一致得到:“好货不便宜”是真命题.
所以“好货”⇒“不便宜”,
所以“不便宜”是“好货”的必要条件,
故选B
11.设a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为,则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为()
A. B. C. D.
【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.
【分析】先由导数的几何意义,得到x0的范围,再求出其到对称轴的范围.
【解答】解:∵过P(x0,f(x0))的切线的倾斜角的取值范围是,
∴f′(x0)=2ax0+b∈,
∴P到曲线y=f(x)对称轴x=﹣ 的距离d=x0﹣(﹣ )=x0+
∴x0∈[ , ].∴d=x0+ ∈.
故选:B.
12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,若f(x1)=x1
A.3 B.4 C.5 D.6
【考点】利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断.
【分析】由函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,可得f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根,必有△=4a2﹣12b>0.而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0,可知此方程有两解且f(x)=x1或x2.再分别讨论利用平移变换即可解出方程f(x)=x1或f(x)=x2解得个数.
【解答】解:∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,
∴f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根,
∴△=4a2﹣12b>0.解得 = .
∵x1
∴ , .
而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0,
∴此方程有两解且f(x)=x1或x2.
不妨取0
①把y=f(x)向下平移x1个单位即可得到y=f(x)﹣x1的图象,
∵f(x1)=x1,可知方程f(x)=x1有两解.
②把y=f(x)向下平移x2个单位即可得到y=f(x)﹣x2的图象,∵f(x1)=x1,∴f(x1)﹣x2<0,可知方程f(x)=x2只有一解.
综上①②可知:方程f(x)=x1或f(x)=x2.只有3个实数解.即关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的只有3不同实根.
故选:A.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.设复数 ,那么z• 等于1.
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算化简求解即可.
【解答】解:复数 ,那么z• = = =1.
故答案为:1.
14.f(x)=x3﹣3x2+2在区间上的最大值是2.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】求出函数的导函数,令导函数为0,求出根,判断根是否在定义域内,判断根左右两边的导函数符号,求出最值.
【解答】解:f′(x)=3x2﹣6x=3x(x﹣2)
令f′(x)=0得x=0或x=2(舍)
当﹣1
所以当x=0时,函数取得极大值即最大值
所以f(x)的最大值为2
故答案为2
15.函数f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4,则f(1)=﹣1.
【考点】导数的运算.
【分析】先求出f′(1)的值,代入解析式计算即可.
【解答】解:∵f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4,
∴f′(x)= ﹣2f′(1)x+5,
∴f′(1)=6﹣2f′(1),解得f′(1)=2.
∴f(x)=lnx﹣2x2+5x﹣4,∴f(1)=﹣1.
故答案为:﹣1.
16.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线,与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧),则 = .
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】点斜式设出直线l的方程,代入抛物线方程,求出A,B两点的纵坐标,利用抛物线的定义得出 = ,即可得出结论.
【解答】解:设直线l的方程为:x=y﹣ ,A(x1,y1),B(x2,y2),
由x=y﹣ ,代入x2=2py,可得y2﹣3py+ p2=0,
∴y1= p,y2= p,
从而, = = .
故答案为: .
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知z是复数,z+2i和 均为实数(i为虚数单位).
(Ⅰ)求复数z;
(Ⅱ)求 的模.
【考点】复数求模;复数的基本概念.
【分析】(Ⅰ)设z=a+bi,分别代入z+2i和 ,化简后由虚部为0求得b,a的值,则复数z可求;
(Ⅱ)把z代入 ,利用复数代数形式的乘除运算化简,代入模的公式得答案.
【解答】解:(Ⅰ)设z=a+bi,∴z+2i=a+(b+2)i,
由a+(b+2)i为实数,可得b=﹣2,
又∵ 为实数,∴a=4,
则z=4﹣2i;
(Ⅱ) ,
∴ 的模为 .
18.已知集合A={x|(ax﹣1)(ax+2)≤0},集合B={x|﹣2≤x≤4}.若x∈B是x∈A的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义,转化为集合的关系进行求解.
【解答】解:(1)a>0时, ,若x∈B是x∈A的充分不必要条件,
所以 , ,检验 符合题意;┅┅┅┅┅┅┅
(2)a=0时,A=R,符合题意;┅┅┅┅┅┅┅
(3)a<0时, ,若x∈B是x∈A的充分不必要条件,
所以 , ,检验 不符合题意.
综上 .┅┅┅┅┅┅┅
19.设椭圆的方程为 ,点O为坐标原点,点A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为 .
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设点C为椭圆的下顶点,N为线段AC的中点,证明:MN⊥AB.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)通过题意,利用 =2 ,可得点M坐标,利用直线OM的斜率为 ,计算即得结论;
(2)通过中点坐标公式解得点N坐标,利用 ×( )=﹣1,即得结论.
【解答】(Ⅰ)解:设M(x,y),已知A(a,0),B(0,b),由|BM|=2|MA|,
所以 =2 ,即(x﹣0,y﹣b)=2(a﹣x,0﹣y),
解得x= a,y= b,即可得 ,┅┅┅┅┅┅┅
所以 ,所以椭圆离心率 ;┅┅┅┅┅┅┅
(Ⅱ)证明:因为C(0,﹣b),所以N ,MN斜率为 ,┅┅┅┅┅┅┅
又AB斜率为 ,所以 ×( )=﹣1,所以MN⊥AB.┅┅┅┅┅┅┅
20.设函数 ,其中a为实数.
(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)已知不等式f′(x)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0,+∞)都成立,求实数x的取值范围.
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】(1)求出f′(x),因为函数在x=1时取极值,得到f′(1)=0,代入求出a值即可;
(2)把f(x)的解析式代入到不等式中,化简得到 ,因为a>0,不等式恒成立即要 ,求出x的解集即可.
【解答】解:(1)f′(x)=ax2﹣3x+(a+1)
由于函数f(x)在x=1时取得极值,
所以f′(1)=0
即a﹣3+a+1=0,∴a=1
(2)由题设知:ax2﹣3x+(a+1)>x2﹣x﹣a+1
对任意a∈(0,+∞)都成立
即a(x2+2)﹣x2﹣2x>0
对任意a∈(0,+∞)都成立
于是 对任意a∈(0,+∞)都成立,
即 ∴﹣2≤x≤0
于是x的取值范围是{x|﹣2≤x≤0}.
21.已知椭圆C1: 的离心率为 ,且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为 ﹣1.
(1)求C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)运用椭圆的离心率和最小距离a﹣c,解方程可得a= ,c=1,再由a,b,c的关系,可得b,进而得到椭圆方程;
(2)设出直线y=kx+m,联立椭圆和抛物线方程,运用判别式为0,解方程可得k,m,进而得到所求直线的方程.
【解答】解:(1)由题意可得e= = ,
由椭圆的性质可得,a﹣c= ﹣1,
解方程可得a= ,c=1,
则b= =1,
即有椭圆的方程为 +y2=1;
(2)直线l的斜率显然存在,可设直线l:y=kx+m,
由 ,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,
由直线和椭圆相切,可得△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)=0,
即为m2=1+2k2,①
由 ,可得k2x2+(2km﹣4)x+m2=0,
由直线和抛物线相切,可得△=(2km﹣4)2﹣4k2m2=0,
即为km=1,②
由①②可得 或 ,
即有直线l的方程为y= x+ 或y=﹣ x﹣ .
22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈(0,1)时,f(x)<0,求实数a的取值范围.
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)通过讨论a的范围,确定出满足条件的a的范围即可.
【解答】解:(Ⅰ)f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1),(x>0),
f′(x)=﹣ ,
①a<﹣ 时,0<﹣ <1,
令f′(x)<0,解得:x>1或0
∴f(x)在 递减,在 递增;
②﹣ ﹣ 或0
∴f(x)在 递减,在 递增;
③ ,f′(x)=﹣ ≤0,f(x)在(0,1),(1+∞)递减;
④a≥0时,2ax+1>0,令f′(x)>0,解得:0
∴f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减;
(Ⅱ)函数恒过(1,0),由(Ⅰ)得:a≥﹣ 时,符合题意,
a<﹣ 时,
f(x)在(0,﹣ )递减,在 递增,不合题意,
故a≥﹣ .
高二数学上学期期末试卷(文科含解析)
数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.对于常数m、n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是()
A.所有不能被2整除的整数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数
3.已知椭圆 上的点P到椭圆一个焦点的距离为7,则P到另一焦点的距离为()
A.2 B.3 C.5 D.7
4.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()
A.(¬p)∨(¬q) B.p∨(¬q) C.(¬p)∧(¬q) D.p∨q
5.若双曲线 的离心率为 ,则其渐近线的斜率为()
A.±2 B. C. D.
6.曲线 在点M( ,0)处的切线的斜率为()
A. B. C. D.
7.若椭圆 (a>b>0)的焦点与双曲线 的焦点恰好是一个正方形的四个顶点,则抛物线ay=bx2的焦点坐标为()
A.( ,0) B.( ,0) C.(0, ) D.(0, )
8.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是()
A.若|z1|=|z2|,则
B.若 ,则
C.若|z1|=|z2|,则
D.若|z1﹣z2|=0,则
9.已知命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是()
A.否命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题
B.逆命题“若m≤1,则函数f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题
C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题
D.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex﹣mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题
10.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的()
A.充分条件 B.必要条件
C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
11.设a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为,则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为()
A. B. C. D.
12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,若f(x1)=x1
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.设复数 ,那么z• 等于.
14.f(x)=x3﹣3x2+2在区间上的最大值是.
15.函数f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4,则f(1)=.
16.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线,与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧),则 =.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知z是复数,z+2i和 均为实数(i为虚数单位).
(Ⅰ)求复数z;
(Ⅱ)求 的模.
18.已知集合A={x|(ax﹣1)(ax+2)≤0},集合B={x|﹣2≤x≤4}.若x∈B是x∈A的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
19.设椭圆的方程为 ,点O为坐标原点,点A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为 .
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设点C为椭圆的下顶点,N为线段AC的中点,证明:MN⊥AB.
20.设函数 ,其中a为实数.
(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)已知不等式f′(x)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0,+∞)都成立,求实数x的取值范围.
21.已知椭圆C1: 的离心率为 ,且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为 ﹣1.
(1)求C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.
22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈(0,1)时,f(x)<0,求实数a的取值范围.