高二数学必修三理科期末试卷(合集2篇)
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高二数学必修三理科期末试卷参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求的.
1.如果a>b>0,那么下列不等式成立的是()
A.a2>ab B.ab D. >
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论.
【解答】解:∵a>b>0,
∴a2>ab,ab>b2, ,b2
故选:A.
【点评】本题考查了不等式的基本性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
2.“∀x∈R,x2﹣2>0”的否定是()
A.∀x∈R,x2﹣2<0 B.∀x∈R,x2﹣2≤0
C.∃x0∈R,x ﹣2<0 D.∃x0∈R,x ﹣2≤0
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.
【解答】解:命题是全称命题,则命题的否定是特称命题,
即∃x0∈R,x ﹣2≤0,
故选:D.
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.
3.在等差数列{an}中,a5=5,a10=15,则a15=()
A.20 B.25 C.45 D.75
【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出数列的第15项.
【解答】解:∵在等差数列{an}中,a5=5,a10=15,
∴ ,
解得a1=﹣3,d=2,
∴a15=﹣3+14×2=25.
故选:B.
【点评】本题考查等差数列的第15项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.
4.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=3,A=45°,B=60°,则b=()
A. B. C. D.
【分析】由已知利用正弦定理即可求值得解.
【解答】解:∵a=3,A=45°,B=60°,
∴由正弦定理可得:b= = = .
故选:B.
【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.
5.函数y=lnx+x在点(1,1)处的切线方程是()
A.2x﹣y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y+1=0 D.x+2y﹣1=0
【分析】求函数的导数,利用导数的几何意义进行求解即可.
【解答】解:函数的导数为f′(x)= +1,
则f′(1)=1+1=2,
即切线斜率k=2,
则函数y=lnx+x在点(1,1)处的切线方程是y﹣1=2(x﹣1),
即2x﹣y﹣1=0,
故选:A.
【点评】本题主要考查函数的切线的求解,求函数的导数,利用导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键.
6.“m>0”是“x2+x+m=0无实根”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】x2+x+m=0无实根⇔△<0,即可判断出结论.
【解答】解:x2+x+m=0无实根⇔△=1﹣4m<0,⇔m .
∴“m>0”是“x2+x+m=0无实根”的必要不充分条件,
故选:B.
【点评】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
7.函数f(x)的定义域为R,其导函数f′(x)的图象如图,则f(x)的极值点有()
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【分析】结合图象,根据导数大于零,即导函数的图象在x轴上方,说明原函数在该区间上是单调递增,否则为减函数,极大值点两侧导数的符号,从左往右,符号相反,因此根据图象即可求得极值点的个数,
【解答】解:结合函数图象,根据极值的定义可知在该点处从左向右导数符号相反,
从图象上可看出符合条件的有3点,
故选:A.
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件,以及学生的识图能力.属于基础题.
8.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a5=17,a2a4=16,则公比q=()
A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2
【分析】设等比数列{an}是公比为q的递增的等比数列,运用等比数列的性质,求得a1=1,a5=16,再由等比数列的通项公式求得公比即可.
【解答】解:设等比数列{an}是公比为q的递增的等比数列,
由a2a4=16,可得a1a5=16,
又a1+a5=17,解得 或 (不合题意,舍去),
即有q4=16,解得q=2(负的舍去).
故选:D.
【点评】本题考查等比数列的通项公式的运用,是基础题.
9.经过点(3,﹣ )的双曲线 ﹣ =1,其一条渐近线方程为y= x,该双曲线的焦距为()
A. B.2 C.2 D.4
【分析】将点(3,﹣ )代入双曲线的方程,由渐近线方程可得 = ,解得a,b,可得c=2,进而得到焦距2c=4.
【解答】解:点(3,﹣ )在双曲线 ﹣ =1上,可得
﹣ =1,
又渐近线方程为y=± x,一条渐近线方程为y= x,
可得 = ,
解得a= ,b=1,
可得c= =2,
即有焦距为2c=4.
故选:D.
【点评】本题考查双曲线的焦距的求法,注意运用点满足双曲线的方程和渐近线方程的运用,考查运算能力,属于基础题.
10.若函数f(x)=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1处有极值,则9a+3b的最小值为()
A.4 B.9 C.18 D.81
【分析】求出函数的导数,得到2a+b=4,根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可.
【解答】解:f′(x)=4x3﹣2ax﹣b,
若f(x)在x=1处有极值,
则f′(x)=4﹣2a﹣b=0,
∴2a+b=4,
∴9a+3b=32a+3b≥2 =18,
当且仅当9a=3b时“=”成立,
故选:C.
【点评】本题考查了导数的应用,考查基本不等式的性质,是一道基础题.
11.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值是()
A. B. C. D.
【分析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值.
【解答】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1,
则D(0,0,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),B(1,1,0),
=(0,1,1), =(1,0,1), =(1,1,0),
设平面A1BD的法向量 =(x,y,z),
则 ,取x=1,得 =(1,﹣1,﹣1),
设直线DC1与平面A1BD所成角为θ,
则sinθ= = = ,
∴cosθ= = .
∴直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值为 .
故选:C.
【点评】本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
12.设椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是椭圆上一点,|PF1|=λ|PF2|( ≤λ≤2),∠F1PF2= ,则椭圆离心率的取值范围为()
A.(0, ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ ,1)
【分析】设F1(﹣c,0),F2(c,0),运用椭圆的定义和勾股定理,求得e2= ,令m=λ+1,可得λ=m﹣1,即有 = =2( ﹣ )2+ ,运用二次函数的最值的求法,解不等式可得所求范围.
【解答】解:设F1(﹣c,0),F2(c,0),由椭圆的定义可得,|PF1|+|PF2|=2a,
可设|PF2|=t,可得|PF1|=λt,
即有(λ+1)t=2a①
由∠F1PF2= ,可得|PF1|2+|PF2|2=4c2,
即为(λ2+1)t2=4c2,②
由②÷①2,可得e2= ,
令m=λ+1,可得λ=m﹣1,
即有 = =2( ﹣ )2+ ,
由 ≤λ≤2,可得 ≤m≤3,即 ≤ ≤ ,
则m=2时,取得最小值 ;m= 或3时,取得最大值 .
即有 ≤e2≤ ,解得 ≤e≤ .
故选:B.
【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质,主要考查离心率的范围,同时考查不等式的解法,属于中档题.
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分.、共20分.
13.已知 =(2,3,1), =(x,y,2),若 ∥ ,则x+y=10.
【分析】根据向量的共线定理,列出方程组求出x、y的值,再计算x+y的值.
【解答】解:∵ =(2,3,1), =(x,y,2),且 ∥ ,
∴ = = ,
解得x=4,y=6;
∴x+y=10.
故答案为:10.
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与共线定理的应用问题,是基础题.
14.若变量x,y满足约束条件 ,则z=x﹣2y的最小值为﹣2.
【分析】作出可行域,变形目标函数,平移直线y= x可得结论.
【解答】解:作出约束条件 所对应的可行域(如图△ABC),
变形目标函数可得y= x﹣ z,平移直线y= x可知,
当直线经过点A( , )时,直线的截距最大,z取最小值﹣2,
故答案为:﹣2.
【点评】本题考查简单线性规划,准确作图是解决问题的关键,属中档题.
15.已知在观测点P处测得在正东方向A处一轮船正在沿正北方向匀速航行,经过1小时后在观测点P测得轮船位于北偏东60°方向B处,又经过t小时发现该轮船在北偏东45°方向C处,则t= .
【分析】设轮船的速度为v,求出BC,即可得出结论.
【解答】解:设轮船的速度为v,则AB=v,PA=AC= v,
∴BC=( ﹣1)v,
∴t= = .
故答案为: .
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.
16.对于正整数n,设曲线y=xn(2﹣x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列{an}的前n项和为Sn=2n+2﹣4.
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程为y=﹣2n(x﹣2),从而得到an=2n+1,利用等比数列的求和公式能求出Sn.
【解答】解:∵y=xn(2﹣x),∴y'=2nxn﹣1﹣(n+1)xn,
∴曲线y=xn(2﹣x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n﹣(n+1)2n=﹣2n,
切点为(2,0),
∴切线方程为y=﹣2n(x﹣2),
令x=0得an=2n+1,
∴Sn= =2n+2﹣4,
故答案为:2n+2﹣4.
【点评】考查学生利用导数研究曲线上某点切线方程的能力,以及利用等比数列的求和公式进行数列求和的能力.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知等差数列{an},公差为2,的前n项和为Sn,且a1,S2,S4成等比数列,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
【分析】(1))由a1,S2,S4成等比数列得 .化简解得a1,再利用等差数列的通项公式即可得出;
(2)利用“裂项求和”即可得出.
【解答】解:(1))由a1,S2,S4成等比数列得 .
化简得 ,又d=2,解得a1=1,
故数列{an}的通项公式 …
(2)∵ ∴由(1)得 ,
∴ = ….
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
18.△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知(a+c)2﹣b2=3ac
(1)求角B;
(2)当b=6,sinC=2sinA时,求△ABC的面积.
【分析】(1)由余弦定理变形已知式子可得cosB的值,可得B值;
(2)由题意和正弦定理可得c=2a,代入b2=a2﹣ac+c2可得a和c的值,可得三角形为直角三角形,由面积公式可得.
【解答】解:(1)∵(a+c)2﹣b2=3ac,∴b2=a2﹣ac+c2,
∴ac=a2+c2﹣b2,∴
∵B∈(0,π),∴ ;
(2)∵sinC=2sinA,∴由正弦定理可得c=2a,
代入b2=a2﹣ac+c2可得36=a2+4a2﹣2a2,
解得 , ,满足a2+b2=c2,
∴△ABC为直角三角形,
∴△ABC的面积S= ×2 ×6=6 .
【点评】本题考查正余弦定理解三角形,涉及三角形的面积公式,属基础题.
19.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上一点(3,m)到焦点的距离为5.
(1)求C的方程;
(2)过F作直线l,交C于A、B两点,若线段AB中点的纵坐标为﹣1,求直线l的方程.
【分析】(1)利用抛物线的定义,求出p,即可求C的方程;
(2)利用点差法求出直线l的斜率,即可求直线l的方程.
【解答】解:(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为 ,
由抛物线的定义可知
解得p=4
∴C的方程为y2=8x.
(2)由(1)得抛物线C的方程为y2=8x,焦点F(2,0)
设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
则
两式相减.整理得
∵线段AB中点的纵坐标为﹣1
∴直线l的斜率
直线l的方程为y﹣0=﹣4(x﹣2)即4x+y﹣8=0
【点评】本题考查抛物线的定义与方程,考查点差法的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
20.如图,在多面体ABCDE中,∠BAC=90°,AB=AC=2,CD=2AE=2,AE∥CD,且AE⊥底面ABC,F为BC的中点.
(Ⅰ)求证:AF⊥BD;
(Ⅱ)求二面角A﹣BE﹣D的余弦值.
【分析】(1)推导出AF⊥BC,从而AF⊥DC,进而AF⊥面BCD,由此能证明AF⊥BD.
(2)以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AE为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣D的余弦值.
【解答】证明:(1)∵AB=AC,F为BC的中点,
∴AF⊥BC,又AE∥CD,且AE⊥底面ABC,AF⊂底面ABC,
∴AF⊥DC,又BC∩DC=C,且BC、DC⊂面BCD,
∴AF⊥面BCD,又BD⊂面BCD,∴AF⊥BD.…
解:(2)以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AE为z轴,建立空间直角坐标系如图,
∴B(2,0,0),D(0,2,2),E(0,0,1),
, ,
设面BED的一个法向量为 ,
则 ,令z=2得x=1,y=﹣1,∴ ,
又面ABE的一个法向量为 ,
∴ ,
∵二面角A﹣BE﹣D的平面角是锐角,
∴二面角A﹣BE﹣D的余弦值为 .…
【点评】本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
21.已知函数f(x)=ax2+bx在x=1处取得极值2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)对于任意的x∈(0,+∞)成立,求实数m的取值范围.
【分析】(Ⅰ)根据极值的定义得到关于a,b的方程组,求出a,b的值,从而求出f(x)的表达式;
(Ⅱ)问题等价于m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈(0,+∞)成立,设h(x)=xex﹣x2﹣2x,根据函数的单调性求出m的范围即可.
【解答】解:(Ⅰ)∵函数f(x)=ax3+bx在x=1处取得极值2,
∴ ,解得 ,
∴f(x)=﹣x3+3x…
(Ⅱ)∵(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)对于任意的x∈(0,+∞)成立,
∴(m+3)x﹣x2ex+2x2≤﹣x3+3x
⇔m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈(0,+∞)成立
设h(x)=xex﹣x2﹣2x,
则h′(x)=ex+xex﹣2x﹣2=(x+1)(ex﹣2),
令h′(x)=0解得x=ln2,
且当0
当x>ln2时,h′(x)>0,
∴h(x)=xex﹣x2﹣2x在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,
∴ ,
∴m≤﹣(ln2)2.
【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,是一道中档题.
22.曲线C上的动点M到定点F(1,0)的距离和它到定直线x=3的距离之比是1: .
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)过点F(1,0)的直线l与C交于A,B两点,当△ABO面积为 时,求直线l的方程.
【分析】(Ⅰ)设M(x,y),运用两点的距离公式和点到直线的距离公式,化简整理即可得到所求方程;
(Ⅱ)当l斜率不存在时,l方程为x=1,求得A,B的坐标,以及△ABO的面积;由直线l斜率存在,设l方程为y=k(x﹣1),代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,以及点到直线的距离公式,解方程可得斜率k,进而得到所求直线的方程.
【解答】解:(Ⅰ)设M(x,y)
由题意可得, ,
整理得 ,
则曲线C的方程为 ;
(Ⅱ)当l斜率不存在时,l方程为x=1,
此时l与C的交点分别为 , ,
即有 ,
则 ,
由直线l斜率存在,设l方程为y=k(x﹣1),
由 ,
得 , ,
∴ .
设O到l的距离为d,则 ,
∴ ,
解得k=±1.
综上所述,当△ABO面积为 时,l的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1.
【点评】本题考查轨迹方程的求法,注意运用坐标法,考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长公式,考查运算能力,属于中档题.
高二数学必修三理科期末试卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求的.
1.如果a>b>0,那么下列不等式成立的是()
A.a2>ab B.ab D. >
2.“∀x∈R,x2﹣2>0”的否定是()
A.∀x∈R,x2﹣2<0 B.∀x∈R,x2﹣2≤0
C.∃x0∈R,x ﹣2<0 D.∃x0∈R,x ﹣2≤0
3.在等差数列{an}中,a5=5,a10=15,则a15=()
A.20 B.25 C.45 D.75
4.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=3,A=45°,B=60°,则b=()
A. B. C. D.
5.函数y=lnx+x在点(1,1)处的切线方程是()
A.2x﹣y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y+1=0 D.x+2y﹣1=0
6.“m>0”是“x2+x+m=0无实根”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.函数f(x)的定义域为R,其导函数f′(x)的图象如图,则f(x)的极值点有()
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
8.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a5=17,a2a4=16,则公比q=()
A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2
9.经过点(3,﹣ )的双曲线 ﹣ =1,其一条渐近线方程为y= x,该双曲线的焦距为()
A. B.2 C.2 D.4
10.若函数f(x)=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1处有极值,则9a+3b的最小值为()
A.4 B.9 C.18 D.81
11.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值是()
A. B. C. D.
12.设椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是椭圆上一点,|PF1|=λ|PF2|( ≤λ≤2),∠F1PF2= ,则椭圆离心率的取值范围为()
A.(0, ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ ,1)
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分.、共20分.
13.已知 =(2,3,1), =(x,y,2),若 ∥ ,则x+y=.
14.若变量x,y满足约束条件 ,则z=x﹣2y的最小值为.
15.已知在观测点P处测得在正东方向A处一轮船正在沿正北方向匀速航行,经过1小时后在观测点P测得轮船位于北偏东60°方向B处,又经过t小时发现该轮船在北偏东45°方向C处,则t=.
16.对于正整数n,设曲线y=xn(2﹣x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列{an}的前n项和为Sn=.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知等差数列{an},公差为2,的前n项和为Sn,且a1,S2,S4成等比数列,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
18.△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知(a+c)2﹣b2=3ac
(1)求角B;
(2)当b=6,sinC=2sinA时,求△ABC的面积.
19.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上一点(3,m)到焦点的距离为5.
(1)求C的方程;
(2)过F作直线l,交C于A、B两点,若线段AB中点的纵坐标为﹣1,求直线l的方程.
20.如图,在多面体ABCDE中,∠BAC=90°,AB=AC=2,CD=2AE=2,AE∥CD,且AE⊥底面ABC,F为BC的中点.
(Ⅰ)求证:AF⊥BD;
(Ⅱ)求二面角A﹣BE﹣D的余弦值.
21.已知函数f(x)=ax2+bx在x=1处取得极值2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)对于任意的x∈(0,+∞)成立,求实数m的取值范围.
22.曲线C上的动点M到定点F(1,0)的距离和它到定直线x=3的距离之比是1: .
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)过点F(1,0)的直线l与C交于A,B两点,当△ABO面积为 时,求直线l的方程.