2019九年级数学上册期中试卷(推荐三篇)
学习好数学是需要我们付出的,大家来做一下题吧,今天小编就给大家参考一下九年级数学,有喜欢的一起学习哦
关于九年级数学上学期期中模拟试卷
一.选择题(共6小题,满分18分,每小题3分)
1.(3分)点A(a,3)与点B(﹣4,b)关于原点对称,则a+b=()
A.﹣ 1 B.4 C.﹣4 D.1
2.(3分)下列交通标志图案中,是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
3.(3分)下列方程中是一元二次方程的是()
A.xy+2=1 B. C.x2=0 D.ax2+bx+c=0
4.(3分)关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0的一个根是0,则 a的值为()
A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D.
5.(3分)已知二次函数y=x2﹣5x+m的图象与x轴有两个交点,若其中一个交点的坐标为(1,0),则另一个交点的坐标为()
A.(﹣1,0) B.(4,0) C.(5,0) D.(﹣6,0)
6.(3分)抛物线y=3(x﹣1)2+1的顶点坐标是()
A.(1,1) B.(﹣1,1) C.(﹣1,﹣1) D.(1,﹣1)
二.填空题(共8小题,满分24分,每小题3分)
7.(3分)已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根,则3m2﹣3m﹣3的值为 .
8.(3分)关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
9.(3分)若关于x的一元二次方程 x2﹣2mx﹣4m+1=0有两个相等的实数根,则(m﹣2)2﹣2m(m﹣1)的值为 .
10.(3分)二次函数y=mx2﹣2x+1,当x 时,y的值随x值的增大而减小,则m的取值范围是 .
11.(3分)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1,则a+c= .
12.(3分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为( ,1),将OA绕原点逆时针方向旋转90°得OB,则点B的坐标为 .
13.(3分)图中,甲图怎样变成乙图: .
14.(3分)若抛物线y =2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点,则 定点坐标为 .
三.解答题(共3小题,满分18分,每小题6分)
15.(6分)用配方法解方程:x2﹣7x+5=0.
16.(6分)用公式法解下列方程:
(1)2x2﹣3x﹣5=0
(2)y2﹣3y+1=0.
17.(6分)关于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣3)x+m2+1=0.
(1)若m是方程的一个实数根,求m的值;
(2)若m为负数,判断方程根的情况.
四.解答题(共2小题,满分16分,每小题8分)
18.(8分)将抛物线y=﹣x2﹣2x﹣3向右平移三个单位,再绕原点O旋转180°,求所得抛物线的解析式?
19.(8分)某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,那么销售单价应控制在什么范围内?
五.解答题(共2小题,满分20分,每小题10分)
20.(10分)如图,已知四边形ABCD为正方形,点E是边AD上任意一点,△ABE接逆 时针方向旋转一定角度后得到△ADF,延长BE交DF于点G,且AF=4,AB=7.
(1)请指出旋转中心和旋转角度;
(2)求BE的长;
(3)试猜测BG与DF的位置关系,并说明理由.
21.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6CM.点P,Q同时由B,A两点出发,分别沿射线BC,AC方向以1cm/s的速度匀速运动.
(1)几秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半?
(2)连结BQ,几秒后△BPQ是等腰三角形?
六.解答题(共2小题,满分24分,每小题12分)
22.(12分)为积极响应新旧动能转换,提高公司经济效益,某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价x(单位:万元)成一次函数关系.
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式;
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润,则该设备的销售单价应是多少万元?
23.(12分)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点C,且OA=1,OB=3,顶点为D,对称轴交x轴于点Q.
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式;
(2)点P是抛物线的对称轴上一点,以点P为圆心的圆经过A、B两点,且与直线CD相切,求点P的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得△DCM∽△BQC?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.
参考答案
1.D.
2.C.
3.C.
4.B.
5.B.
6.A.
7.3.
8.k<1.
9.
10.0
11.1.
12.(﹣1, ).
13.绕点A顺时针旋转.
14.(4,33).
15.解:x2﹣7x+5=0,
x2﹣7x=﹣5,
x2﹣7x+( )2=﹣5+( )2,
(x﹣ )2= ,
x﹣ =± ,
x•= ,x 2= .
16.解:(1)由题意可知:a=2,b=﹣3,c=﹣5,
∴△=9﹣4×2×(﹣5)=49
∴x=
∴x= 或x=﹣1
(2)由题意可知:a=1,b=﹣3,c=1,
∴△=9﹣4×1×(﹣1)=13
∴y=
17.解:
(1)∵m是方程的一个实数根,
∴m2﹣(2m﹣3)m+m2+1=0,
∴ ;
(2)△=b2﹣4ac=﹣12m+5,
∵m<0,
∴﹣12m>0.
∴△=﹣12m+5>0.
∴此方程有两个不相等的实数根.
18.解:y=﹣x2﹣2x﹣3,
=﹣(x2+2x+1)+1﹣3,
=﹣(x+1)2﹣2,
所以,抛物线的顶点坐标为(﹣1,﹣2),
∵向右平移三个单位,
∴平移后的抛物线的顶点坐标为(2,﹣2),
∵再绕原点O旋转180°,
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为(﹣2,2),
∴所得抛物线解析式为y=(x+2)2+2.
19.解:(1)y=(x﹣50)[50+5(100﹣x)]
=(x﹣50)(﹣5x+550)
=﹣5x2+800x﹣27500,
∴y=﹣5x2+800x﹣27500(50≤x≤100);
(2)y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5(x﹣80)2+4500,
∵a=﹣5<0,
∴抛物线开口向下.
∵50≤x≤100,对称轴是直线x=80,
∴当x=80时,y最大值=4500;
(3)当y=4000时,﹣5(x﹣80)2+4500=4000,
解得x1=70,x2=90.
∴当70≤x≤90时,每天的销售利润不低于4000元.
20.解:(1)旋转中心A点,旋转角度是90°.
(2)∵△ABE接逆时针方向旋转一定角度后得到△ADF,
∴△ABE≌△ADF,
∴AF=AE=4,
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BAE=90°,
由勾股定理得:BE= = = ,
答:BE的长是 .
(3)BG与DF的位置关系是垂直,
理由是:∵△ABE≌△ADF,
∴∠EBA=∠ADF,
∵∠EBA+∠AEB=180°﹣90°=90°,
∵∠AEB=∠DEG,
∴∠DEG+∠ADF=90°,
∴∠DGE=180°﹣(∠DEG+∠ADF)=90°,
∴BG⊥DF.
21.解:(1)设运动x秒后,△PCQ的面积是△ABC面积的一半,
当0
S△ABC= ×AC•BC= ×6×8=24,
即: ×(8﹣x)×(6﹣x)= ×24,
x2﹣14x+24=0,
(x﹣2)(x﹣12)=0,
x1=12(舍去),x2=2;
当6
×(8﹣x)×(x﹣6)= ×24,
x2﹣14x+72=0,
b2﹣4ac=196﹣288=﹣92<0,
∴此方程无实数根,
当x>8时,
S△ABC= ×AC•BC= ×6×8=24,
即: ×(x﹣8)×(x﹣6)= ×24,
x2﹣14x+24=0,
(x﹣2)(x﹣12)=0,
x1=12,x2=2(舍去),
所以,当2秒或12秒时使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.
(2)设t秒后△BPQ是等腰三角形,
①当BP=BQ时,t2=62+(8﹣t)2,
解得:t= ;
②当PQ=BQ时,(6﹣t)2+(8﹣t)2=62+(8﹣t)2,
解得:t=12;
③当BP=PQ时,t2=(6﹣t)2+(8﹣t)2,
解得:t=14±4 .
22.解:(1)设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
将(40,600)、(45,550)代入y=kx+b,得:
,解得: ,
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000.
(2)设此设备的销售单价为x万元/台,则每台设备的利润为 (x﹣30)万元,销售数量为(﹣10x+1000)台,
根据题意得:(x﹣30)(﹣10x+1000)=10000,
整理,得:x2﹣130x+4000=0,
解得:x1=50,x2=80.
∵此设备的销售单价不得高于70万元,
∴x=50.
答:该设备的销售单价应是50万元/台.
23.解:(1)∵OA=1,OB=3,
∴A(﹣1,0),B( 3,0).
代入y=﹣x2+bx+c,得
解得b=2,c=3.
∴抛物线对应二次函数的表达式为:y=﹣x2+2x+3;
(2)如图,设直线CD切⊙P于点E.连结PE、PA,作CF⊥DQ于点F.
∴PE⊥CD,PE=PA.
由y=﹣x2+2x+3,得
对称轴为直线x=1,C(0,3)、D(1,4).
∴DF=4﹣3=1,CF=1,
∴DF=CF,
∴△DCF为等腰直角三角形.
∴∠CDF=45°,
∴∠EDP=∠EPD=45°,
∴DE=EP,
∴△DEP为等 腰三角形.
设P(1,m),
∴EP2= (4﹣m)2.
在△APQ中,∠PQA=90°,
∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣(﹣1)]2+m2
∴ (4﹣m)2=[1﹣(﹣1)]2+m2.
整理,得m2+8m﹣8=0
解得,m=﹣4±2 .
∴点P的坐标为(1,﹣4+2 )或(1,﹣4﹣2 ).
(3)存在点M,使得△DCM∽△BQC.
如图,连结CQ、CB、CM,
∵C(0,3),OB=3,∠COB=90°,
∴△COB为等腰直角三角形,
∴∠CBQ=45°,BC=3 .
由(2)可知,∠CDM=45°,CD= ,
∴ ∠CBQ=∠CDM.
∴△DCM∽△BQC分两种情况.
当 = 时,
∴ = ,解得DM= .
∴QM=DQ﹣DM=4﹣ = .
∴M1(1, ).
当 时,
∴ = ,解得DM=3.
∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1.
∴M2(1,1).
综上,点M的坐标为(1, )或(1,1).
九年级数学上册期中试卷
一、选择题(本题共10个小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)下列方程中,是一元二次方程的是()
A.2x+1=0 B.y2+x=0 C.x2﹣x=0 D. +x2=0
2.(3分)下面四个手机应用图标中,属于中心对称图形的是()
A. B. C. D.
3. (3分)关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是()
A.没有实数根 B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
4.(3分)用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时,下列变形正确的为()
A.(x+3)2=1 B.(x﹣3)2=1 C.(x+3)2=19 D.(x﹣3)2=19
5.(3分)S型电视机经过连续两次降价,每台售价由原来的1500元降到了980元.设平均每次降价的百分率为x,则下列方程中正确的是()
A.1500(1+x)2=980 B.980(1+x)2=1500 C.1500(1﹣x)2=980 D.980(1﹣x)2=1500
6.(3分)抛物线y=3x2先向上平移2个单位,再向右平移3个单位,所得的抛物线为()
A.y=3(x+3)2﹣2 B.y=3(x+3)2+2 C.y=3(x﹣3)2﹣2 D.y=3(x﹣3)2+2
7.(3分)如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,点C的对应点E恰好落在AB延长线上,连接AD.下列结论错误的是()
A.BD平分∠ABC B.AD∥BC
C.S△ABD=2S△BED D.△ABD是等边三角形
8.(3分)若函数y=(m﹣1)x2﹣6x+ m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为()
A.﹣2或3 B.﹣2或﹣3 C.1或﹣2或3 D.1或﹣2或﹣3
9.(3分)如图,已知钝角三角形ABC,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′,连接BB′,若AC′∥BB′,则∠CAB′的度数为()
A.55° B.65° C.75° D.85°
10.(3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,下列结论:
①ab<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0.
其中正确的是()
A.①④ B.②④ C.①②③ D.①②③④
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11.(3分)方程3x(x﹣1)=2(x﹣1)的根为 .
12.(3分)已知点(a,﹣1)与点(2,b)关于原点对称,则a+b= .
13.(3分)关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0,则k的值是 .
14.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,且经过点P(3,0),则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 .
15.(3分)把一副三角板如图(1)放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6厘米,DC=7厘米.把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1,如图(2),这时AB与CD1相交于点O,与D1E1相交于点F.则AD1= cm.
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16.(8分)解方程:
(1)4(x﹣5)2=36
(2)x2﹣ x+1=0.
17.(9分)已知关于x的一元二次方程:x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0.
(1)求证:对于任意实数t,方程都有实数根;
(2)当t为何值时,二次函数y=x2﹣(t﹣1)x+t﹣2的图象与x轴的两个交点横坐标互为相反数?请说明理由.
18.(9分)如图,下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成,每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影,请在下面每个图形中,选取2个空白小正方形涂上阴影,使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形.
19.(9分)已知抛物线y=a(x﹣3)2+2经过点(1,﹣2)
(1)该抛物线的顶点坐标是
(2)求a的值;
(3)若点A(m,y1)、B(n,y2)(m
20.(9分)如图,四边形ABCD,AB=3,AC=2,把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD,此时发现点A、C、E恰好在一条直线上,求∠BAD的度数与AD的长.
21.(10分)某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.
(1)当销售单价为70元时,每天的销售利润是多少?
(2)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;
(3)如果该企业每天的总成本不超过7000元,那么销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)
22.(10分)(1)问题发现:
如图①,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,点B在线段AE上,点C在线段AD上,请直接写出线段BE与线段CD的数量与位置关系是关系: ;
(2)操作探究:
如图②,将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),(1)小题中线段BE与线段CD的关系是否成立?如果不成立,说明理由,如果成立,请你结合图②给出的情形进行证明;
(3)解决问题:
将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),若DE=2AC,在旋转的过程中,当以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形时,在备用图中画出其中的一个情形,并写出此时旋转角α的度数是 度.
23.(11分)如图,抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,△CBF的面积最大?求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标.
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共10个小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)下列方程中,是一元二次方程的是()
A.2x+1=0 B.y2+x=0 C.x2﹣x=0 D. +x2=0
【解答】解:A、方程2x+1=0未知数的最高次数是1,属于一元一次方程;故本选项错误;
B、y2+x=0中含有2个未知数,属于二元二次方程,故本选项错误;
C、x2﹣x=0符合一元二次方程的定义;故本选项正确;
D、该方程是分式方程;故本选项错误;
故选:C.
2.(3分)下面四个手机应用图标中,属于中心对称图形的是()
A. B. C. D.
【解答】解:A图形不是中心对称图形;
B图形是中心对称图形;
C图形不是中心对称图形;
D图形不是中心对称图形,
故选:B.
3.(3分)关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是()
A.没有实数根 B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
【解答】解:∵△=a2+4>0,
∴,方程有两个不相等的两个实数根.
故选:D.
4.(3分)用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时,下列变形正确的为()
A.(x+3)2=1 B.(x﹣3)2=1 C.(x+3)2=19 D.(x﹣3)2=19
【解答】解:方程移项得:x2﹣6x=10,
配方得:x2﹣6x+9=19,即(x﹣3)2=19,
故选:D.
5.(3分)S型电视机经过连续两次降价,每台售价由原来的1500元降到了980元.设平均每次降价的百分率为x,则下列方程中正确的是()
A.1500(1 +x)2=980 B.980(1+x)2=1500 C.1500(1﹣x)2=980 D.980(1﹣x)2=1500
【解答】解:依题意得:第一次降价的售价为:1500(1﹣x),
则第二次降价后的售价为:1500(1﹣x)(1﹣x)=1500(1﹣x)2,
∴1500(1﹣x)2=980.
故选:C.
6.(3分)抛物线y=3x2先向上平移2个单位,再向右平移3个单位,所得的抛物线为()
A.y=3(x+3)2﹣2 B.y=3(x+3)2+2 C.y=3(x﹣3)2﹣2 D.y=3(x﹣3)2+2
【解答】解:抛物线y=3x2的顶点坐标为(0,0),抛物线y=3x2向上平移2个单位,再向右平移3个单位后顶点坐标为(3,2),此时解析式为y=3(x﹣3)2+2.
故选:D.
7.(3分)如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,点C的对应点E恰好落在AB延长线上,连接AD.下列结论错误的是()
A.BD平分∠ABC B.AD∥BC
C.S△ABD=2S△BED D.△ABD是等边三角形
【解答】解:∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,
∴∠ABD=∠CBE=60°,AB=BD,
∴△ABD是等边三角形,故D正确,
∴∠DAB=60°,
∴∠DAB=∠CBE,
∴AD∥BC,故B正确;
∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,
∴∠ABD=∠CBE=60°,
∴∠DBC=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴∠ABD=∠DBC,
即BD平分∠ABC,故A正确;
故选:C.
8.(3分)若函数y=(m﹣1)x2﹣6x+ m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为()
A.﹣2或3 B.﹣2或﹣3 C.1或﹣2或3 D.1或﹣2或﹣3
【解答】解:当m=1时,函数解析式为:y=﹣6x+ 是一次函数,图象与x轴有且只有一个交点 ,
当m≠1时,函数为二次函数,
∵函数y=(m﹣1)x2﹣6x+ m的图象与x轴有且只有一个交点,
∴62﹣4×(m﹣1)× m=0,
解得,m=﹣2或3,
故选:C.
9.(3分)如图,已知钝角三角形ABC,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′,连接BB′,若AC′∥BB′,则∠CAB′的度数为()
A.55° B.65° C.75° D.85°
【解答】解:∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l10°得到△AB′C′,
∴∠BAB′=∠CAC′=110°,AB=AB′,
∴∠AB′B= (180°﹣110°)=35°,
∵AC′∥BB′,
∴∠C′AB′=∠AB′B=35°,
∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠ C′AB′=110°﹣35°=75°.
故选:C.
10.(3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,下列结论:
①ab<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0.
其中正确的是()
A.①④ B.②④ C.①②③ D.①②③④
【解答】解:∵抛物线开口向上,
∴a>0,
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1,
∴b=﹣2a<0,
∴ab<0,所以①正确;
∵抛物线与x轴有2个交点,
∴△=b2﹣4ac>0,所以②正确;
∵x=1时,y<0,
∴a+b+c<0,
而c<0,
∴a+b+2c<0,所以③正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1,
∴b=﹣2a,
而x=﹣1时,y>0,即a﹣b+c>0,
∴a+2a+c>0,所以④错误.
故选:C.
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11.(3分)方程3x(x﹣1)=2(x﹣1)的根为x=1或x= .
【解答】解:3x(x﹣1)=2(x﹣1),
移项得:3x(x﹣1 )﹣2(x﹣1)=0,
即(x﹣1)(3x﹣2)=0,
∴x﹣1=0,3x﹣2=0,
解方程得:x1=1,x2= .
故答案为:x=1或x= .
12.(3分)已知点(a,﹣1)与点(2,b)关于原点对称,则a+b=﹣1.
【解答】解:∵点(a,﹣1)与点(2,b)关于原点对称,
∴a=﹣2,b=1,
∴a+b=﹣1,
故答案为:﹣1.
13.(3分)关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0,则k的值是0.
【解答】解:由于关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0,
把x=0代入方程,得k2﹣k=0,
解得,k1=1,k2=0
当k=1时,由于二次项系数k﹣1=0,
方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0不是关于 x的二次方程,故k≠1.
所以k的值是0.
故答案为:0
14.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,且经过点P(3,0),则抛物线与x轴的另一个交点坐标为(﹣1,0).
【解答】解:由于函数对称轴为x=1,而P(3,0)位于x轴上,
则设与x轴另一交点坐标为(m,0),
根据题意得: =1,
解得m=﹣1,
则抛物线与x轴的另一个交点坐标为(﹣1,0),
故答案是:(﹣1,0).
15.(3分)把一副三角板如图(1)放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6厘米,DC=7厘米.把三角板DCE 绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1,如图(2),这时AB与CD1相交于点O,与D1E1相交于点F.则AD1=5cm.
【解答】解:由题意易知:∠CAB=45°,∠ACD=30°.
若旋转角度为15°,则∠ACO=30°+15°=45°.
∴∠AOC=180°﹣∠ACO﹣∠CAO=90°.
在等腰Rt△ABC中,AB=6,则AC=BC=3 .
同理可求得:AO=OC=3.
在Rt△AOD1中,OA=3,OD1=CD1﹣OC=4,
由勾股定理得:AD1=5.
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16.(8分)解方程:
(1)4(x﹣5)2=36
(2)x2﹣ x+1=0.
【解答】解:(1)开方得:2(x﹣5)=6或2(x﹣5)=﹣6,
解得:x1=8,x2=2;
(2)这里a=1,b=﹣ ,c=1,
∵△=10﹣4=6,
∴x= .
17.(9分)已知关于x的一元二次方程:x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0.
(1)求证:对于任意实数t,方程都有实数根;
(2)当t为何值时,二次函数y=x2﹣(t﹣1)x+t﹣2的图象与x轴的两个交点横坐标互为相反数?请说明理由.
【解答】解:(1)证明:在方程x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0中,△=[﹣(t﹣1)]2﹣4×1×(t﹣2)=t2﹣6t+9=(t﹣3)2≥0,
∴对于任意实数t,方程都有实数根;
(2)解:令y=0,得到x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0
设方程的两根分别为m、n,
由题意可知,方程的两个根互为相反数,
∴m+n=t﹣1=0,
解得:t=1.
∴当t=1时,方程的两个根互为相反数.
18.(9分)如图,下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成,每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影,请在下面每个图形中,选取2个空白小正方形涂上阴影,使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形.
【解答】解:(1)在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影,使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形,答案如图所示;
19.(9分)已知抛物线y=a(x﹣3)2+2经过点(1,﹣2)
(1)该抛物线的顶点坐标是(3,2)
(2)求a的值;
(3)若点A(m,y1)、B(n,y2)(m
【解答】解:(1)∵y=a(x﹣3)2+2,
∴ 该抛物线的顶点坐标是(3,2),
故答案为:(3,2);
(2)∵y=a(x﹣3)2+2经过点(1,﹣2),
∴﹣2=a(1﹣3)2+2,
解得,a=﹣1,
即a的值是﹣1;
(3))∵y=a(x﹣3)2+2,a=﹣1,
∴该抛物线的图象在x<3时,y随x的增大而增大,在x>3时,y随x的增大而减小,
∵点A(m,y1)、B(n,y2)(m
∴y1
20.(9分)如图,四边形ABCD,AB=3,AC=2,把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD,此时发现点A、C、E恰好在一条直线上,求∠BAD的度数与AD的长.
【解答】解:∵点A、C、E在一 条直线上,
而△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD,
∴∠ADE=60°,DA=DE,∠BAD=∠E=60°
∴△ADE为等边三角形,
∴∠E=60°,AD=AE,
∴∠BAD=60°,
∵点A、C、E在一条直线上,
∴AE=AC+CE,
∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD,
∴CE=AB,
∴AE=AC+AB=2+3=5,
∴AD=AE=5.
21.(10分)某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.
(1)当销售单价为70元时,每天的销售利润是多少?
(2)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;
(3)如果该企业每天的总成本不超过7000元,那么销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)
【解答】解:(1)当销售单价为70元时,每天的销售利润=(70﹣50)×[50+5×(100﹣70)]=4000元;
(2)由题得 y=(x﹣50)[50+5(100﹣x)]=﹣5x2+800x﹣27500(x≥50).
∵销售单价不得低于成本,
∴50≤x≤100.
(3)∵该企业每天的总成本不超过7000元
∴50×[50 +5(100﹣x)]≤7000(8分)
解得x≥82.
由(2)可知 y=(x﹣50)[50+5(100﹣x)]=﹣5x2+800x﹣27500
∵抛物线的对称轴为x=80且a=﹣5<0
∴抛物线开口向下,在对称轴右侧,y随x增大而减小.
∴当x=82时,y有最大,最大值=4480,
即 销售单价为82元时,每天的销售利润最大,最大利润为4480元.
22.(10分)(1)问题发现:
如图①,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,点B在线段AE上,点C在线段AD上,请直接写出线段BE与线段CD的数量与位置关系是关系:BE=CD,BE⊥CD;
(2)操作探究:
如图②,将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),(1)小题中线段BE与线段CD的关系是否成立?如果不成立,说明理由,如果成立,请你结合图②给出的情形进行证明;
(3)解决问题:
将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),若DE=2AC,在旋转的过程中,当以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形时, 在备用图中画出其中的一个情形,并写出此时旋转角α的度数是45°或225°或315度.
【解答】解:(1)∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,
∴AB=AC,AE=AD,BE⊥CD,
∴AE﹣AB=AD﹣AC,
∴BE=CD;
故答案为:BE=CD,BE⊥CD;
(2)(1)结论成立,
理由:如图,
∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,
∴AB=AC,AE=AD,
由旋转的性质得,∠BAE=∠CAD,
在△BAE与△CAD中, ,
∴△BAE≌△CAD(SAS)
∴BE=CD;∠AEB=∠ADC,
∴∠BED+∠EDF= ∠AED+∠AEB+∠EDF=∠AED+∠ADC+∠EDF=∠AED+∠ADE=90°,
∴∠EFD=90°,
即:BE⊥CD
(3)如图,
∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,
∴∠ABC=∠ADC=45°,
∵ED=2AC,
∴AC=CD,
∴∠CAD=45°
或360°﹣90°﹣45°=225°,或360°﹣45°=315°
∴角α的度数是45°或225°或315°.
故答案为:45°或225°或315.
23.(11分)如图,抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,△CBF的面积最大?求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标.
【解答】解:(1)把A(﹣1,0),C(0,2)代入y=﹣ x2+bx+c得 ,
解得 ,c=2,
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+2.
(2)存在.如图1中, ∵C(0,2),D( ,0),
∴OC=2,OD= ,CD= =
①当CP=CD时,可得P1( ,4).
②当DC=DP时,可得P2( , ),P3( ,﹣ )
综上所述,满足条件的P点的坐标为 或 或 .
(3)如图2中,
对于抛物线y=﹣ x2+ x+2,当y=0时,﹣ x2+ x+2=0,解得x1=4,x2=﹣1
∴B(4,0),A(﹣1,0),
由B(4,0),C(0,2)得直线BC的解析式为y=﹣ x+2,
设E 则F ,
EF= ﹣ =
∴ <0,∴当m=2时,EF有最大值2,
此时E是BC中点,
∴当E运动到BC的中点时,△FBC面积最大,
∴△FBC最大面积= ×4×EF= ×4×2=4,此时E(2,1).
秋九年级数学调研试题
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.要使代数式2-3x有意义,则x的( )
A.最大值是23 B.最小值是23
C.最大值是32 D.最小值是32
2.若12+y=27,则y的值为( )
A.8 B.15 C.3 D.2
3.如图,l1∥l2∥l3,直线a,b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和D、E、F.若ABBC=23,DE=4,则EF的长是( )
A.83 B.203 C.6 D.10
第3题图
4.方程x-2=x(x-2)的解为( )
A.x=0 B.x1=0,x2=2
C.x=2 D.x1=1,x2=2
5.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同,所有公司共同签订了45份合同.设共有x家公司参加商品交易会,则x满足的关系式为( )
A.12x(x+1)=45 B.12x(x-1)=45
C.x(x+1)=45 D.x(x-1)=45
6.如图,在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,CE和BD交于点O,设△OCD的面积为m,△OEB的面积为5,则下列结论中正确的是( )
A.m=5 B.m=45 C.m=35 D.m=10
第6题图
7.若方程x2+x-1=0的两实根为α、β,那么下列式子正确的是( )
A.α+β=1 B.αβ=1 C.α2+β2=2 D.1α+1β=1
8.如图所示,一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上,某一时刻,小明竖起1米高的直杆,量得其影长为0.5米,此时,他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米,落在墙上的影子CD的高为2米,小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高,请你计算,电线杆AB的高为( )
A.5米 B.6米 C.7米 D.8米
二、填空题(每小题3分,共30分)
9.方程x2-2x-2=0的解是 .
10.如图,在Rt△ABC中,AB=12,AC=5,∠A=90°,D、E分别为AB、AC的中点,则DE= .
第10题图
11.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A的坐标为(2,3),若以原点O为位似中心,画△ABC的位似图形△A′B′C′,使△ABC和△A′B′C′的相似比等于12,则点A′的坐标为 .
第11题图
12.若关于x的一元二次方程ax2+3x-1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 .
13.已知x、y为实数,且y=x2-9-9-x2+4,则x-y= .
14.如果|a|+a=0,则(a-1)2+a2=
15.若关于x的一元二次方程x2-(a+5)x+8a=0的两个实数根分别为2和b,则ab= .
16.如图,在△ABC中,P为AB上一点,有下列四个条件:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP•AB;④AB•CP=AP•CB.其中能判定△APC和△ACB相似的条件是
(填序号).
第16题图
17.一个QQ群里共有若干个好友,如果每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息,这样共有870条消息,则这个QQ群里有 个好友.
18.如图,在平面直角坐标系中,等腰△OBC的边OB在x轴上,OB=CB,OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D,连接OD,AB=2,∠CBO=45°,在直线BE上求点M,使△BMC与△ODC相似,则点M的坐标是 .
三、解答题(共66分)
19.(6分)计算:
(1)(212-418+348)×52;
(2)18-22-82+(5-1)0.
20.(6分)解下列方程:
(1)(x+3)(x-1)=4x-4;
(2)2x2-20x+25=0.
21.(6分)先化简,再求值:a2-2ab+b22a-2b÷1b-1a,其中a=5+1,b=5-1.
22.(10分)已知一元二次方程mx2-2mx+m-2=0.
(1)若方程有两实数根,求m的范围;
(2)设方程两实根为x1,x2,且|x1-x2|=1,求m.
23.(8分)某超市在销售中发现:“熊出没”童装平均每天可售出20套,每套盈利40元,为了迎接元旦,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存.经市场调查发现:如果每套降价4元,那么平均每天就可多售出8套.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每套应降价多少?
24.(8分)如图,花丛中有一路灯杆AB.在灯光下,小明在D点处的影长DE=3米,沿BD方向行走到达G点,DG=5米,这时小明的影长GH=5米.如果小明的身高为1.7米,求路灯杆AB的高度(精确到0.1米).
25.(10分)已知如图,D是△ABC的边AB上一点,DE∥BC,交边AC于点E,延长DE至点F,使EF=DE,连接BF,交边AC于点G,连接CF.
(1)求证:AEAC=EGCG;
(2)如果CF2=FG•FB,求证:CG•CE=BC•DE.
26.(12分)请你认真阅读下面的小探究系列,完成所提出的问题.
(1)如图①,将角尺放在正方形ABCD上,使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合,角尺的一边交CB于点F,另一边交BA的延长线于点G.求证:EF=EG;
(2)如图②,移动角尺,使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上,其余条件不变,请你思考后直接回答EF和EG的数量关系:EF=EG(填“=”或“≠”);(6分)
(3)运用(1)(2)解答中所积累的活动经验和数学知识,完成下题:如图③,将(2)中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”,使角尺的一边经过点A(即点G、A重合),其余条件不变,若AB=4,DG=3,求EFEG的值.
期中检测卷
1.A2.C3.C4.D5.B6.B7.D8.D
9.x1=1+3,x2=1-310.6.511.(4,6)
12.a>-94且a≠013.-1或-7
14.1-2a15.416.①②③17.30
18.(1,2-1)或(-2,2)解析:∵OB=BC,BE⊥OC,AC⊥AB,∠CBO=45°,∴∠CBE=∠OBE=22.5°,AC=AB=2,∴BC=2,OA=2-2.∵BE为OC的垂直平分线,∴CD=OD,∴∠OCD=∠COD,∴∠ACB=∠DOA=45°,∴OA=AD=2-2.(1)如图①,过M作MF⊥BC,MG⊥AB.∵△CBM∽△COD,CD=OD,∴BM=CM,∴BF=CF=1.∵BE平分∠CBO,∴MG=MF,∴BG=BF=1,∴OG=OB-BG=1,∴MGAD=BGAB,即MG2-2=12,∴MG=2-1,故点M的坐标为(1,2-1);
(2)如图②,△BCM∽△CDO时,过M作MP⊥AB于点P,连接OM,由(1)得CD=OD.又∵△BCM∽△CDO,∴BC=CM.又∵BE垂直平分CO,∴BC=CM=MO=OB,∴四边形MOBC为菱形,∴CM∥AB,∴AC=PM=2,∠MOP=2∠MBO=45°,∴OP=MP=2,∴点M的坐标为(-2,2).
综上所述,点M的坐标是(1,2-1)或(-2,2).
19.解:(1)原式=806-10;(3分)
(2)原式=2+1.(6分)
20.解:(1)x1=x2=1;(3分)
(2)x1=10+522,x2=10-522.(6分)
21.解:原式=(a-b)22(a-b)×aba-b=ab2,(2分)∵a=5+1,b=5-1,∴原式=ab2=(5+1)(5-1)2=2.(6分)
22.解:(1)依题意得Δ=(-2m)2-4m(m-2)≥0,m≠0,解得m>0;(4分)
(2)由题意得x1+x2=2,x1•x2=m-2m,(6分)|x1-x2|=1,∴(x1-x2)2=1,∴(x1+x2)2-4x1x2=4-4m-8m=1,(9分)∴m=8.(10分)
23.解:设每套应降价x元,则依题意得(40-x)(20+2x)=1200,(2分)整理,得x2-30x+200=0,(4分)解得x1=10,x2=20.(6分)因要尽量减少库存,故x应取20.(7分)
答:每套应降价20元.(8分)
24.解:根据题意得AB⊥BH,CD⊥BH,FG⊥BH.∴△ABE∽△CDE,∴CDAB=DEDE+BD①.(2分)同理,FGAB=HGHG+GD+BD②.(4分)又CD=FG=1.7米,由①、②可得DEDE+BD=HGHG+GD+BD,即33+BD=510+BD,解得BD=7.5.(6分)将BD=7.5代入①得AB=5.95≈6.0(米).(7分)
答:路灯杆AB的高度约为6.0米.(8分)
25.解:(1)∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,△EFG∽△CBG,∴AEAC=DEBC,EFBC=EGCG.又∵DE=EF,∴DEBC=EFBC,∴AEAC=EGCG;(4分)
(2)∵CF2=FG•FB,∴CFFG=FBCF.又∠BFC=∠CFG,∴△BCF∽△CGF,∴FGFC=CGBC,∠FCE=∠CBF.(6分)又∵DF∥BC,∴∠EFG=∠CBF,∴∠FCE=∠EFG.又∵∠FEG=∠CEF,∴△EFG∽△ECF,∴EFEC=FGFC.(8分)又∵EF=DE,FGFC=CGBC,∴CGBC=DEEC,即CG•CE=BC•DE.(10分)
26.(1)证明:∵∠AEF+∠AEG=90°,∠AEF+∠CEF=90°,∴∠AEG=∠CEF.又∵∠GAE=∠C=90°,EA=EC,∴△EAG≌△ECF(ASA),∴EG=EF;(4分)
(2)解:=(6分)
(3)解:过点E作EM⊥AB于点M,作EN⊥BC于点N,(7分)则∠MEN=90°,EM∥BC,EN∥AB,∴EMAD=BEBD=ENCD,∴EMEN=ADCD=34.(9分)∵∠GEM+∠MEF=90°,∠FEN+∠MEF=90°,∴∠FEN=∠GEM,∴Rt△GME∽Rt△FNE,则EFEG=ENEM=43.(12分)