上学期期末高三数学试卷试题精选三篇
我们如果喜欢数学的话就要多多做一下题才可以,小编今天下面就给大家整理高三数学,希望大家可以来学习一下
高三年级数学期中试卷题参考
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合 , ,则 =
2. 设 是虚数单位,复数 ,则 对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.阅读右边的程序框图,运行相应的程
序,则输出 的值为
4. 下列函数中为偶函数的是
5. 某四面体的三视图如图所示,该四面
体的体积为
6. 已知向量 ,则下列关系正确的是
7. 在 中, ,则 的值是
8. 关于 的不等式 的解集是 ,则实数 的取值范围是
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 已知角 的终边经过点 ,则 __________.
10. 若变量 满足约束条件 则 的最小值等于_________.
11. 若直线 与圆 相交于 两点,且
( 为坐标原点),则r =__________.
12. 写出“ ”成立的一个充分不必要条件___________________________.
13. 已知抛物线 的准线为 , 与双曲线 的两条渐近线分别交于
两点,则线段 的长度为_____________.
14. 2018年个税改革方案中专项附加扣除等内容将于2019年全面施行.不过,为了
让老百姓尽早享受到减税红利,自2018年10月至2018年12月,先将工资所得税起征额由3500元/月提高至5000元/月,并按新的税率表(见附录)计算纳税.
按照税法规定,小王2018年9月和10月税款计算情况分别如下:
月份 …… 纳税
所得额 起征额 应纳
税额 适用
税率 速算
扣除数 税款 税后
工资
9 …… 6000 3500 2500 10% 105 145 5855
10 …… 6000 5000 1000 3% 0 30 5970
(相关计算公式为:应纳税额=纳税所得额–起征额,
税款=应纳税额 适用税率–速算扣除数,
税后工资=纳税所得额–税款 )
(1)某职工甲2018年9月应纳税额为2000元,那么他9月份的税款为___元;
(2)某职工乙2018年10月税后工资为14660元,则他享受减税红利为____元.
附录:
原税率表(执行至2018年9月) 新税率表(2018年10月起执行)
应纳税额 税率 速算
扣除数 应纳税额 税率 速算
扣除数
不超过1500元 3% 0元 不超过3000元 3% 0元
1500元至4500元 10% 105元 3000元至12000元 10% 210元
4500元至9000元 20% 555元 12000元至25000元 20% 1410元
9000元至35000元 25% 1005元 25000元至35000元 25% 2660元
…… …… …… …… …… ……
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15. (本小题13分)
函数 的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求 的最小正周期及解析式;
(Ⅱ)设 ,求函数 在区间 上的最小值.
16. (本小题13分)
已知 为等差数列 的前 项和,且 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设 , 为数列 的前 项和,是否存在 ,使得 = ?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
17. (本小题13分)
年 月,某校高一年级新入学有 名学生,其中 名女生, 名男生.学校计划为家远的高一新生提供 间女生宿舍和 间男生宿舍,每间宿舍可住2名同学.
该校“数学与统计”社团的同学为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况,按照性别进行分层抽样,其中共抽取20名女生家庭居住地与学校的距离数据(单位: )如下:
5 6 7 7.5 8 8.4 4 3.5 4.5 4.3
5 4 3 2.5 4 1.6 6 6.5 5.5 5.7
(Ⅰ)根据以上样本数据推断,若女生甲家庭居住地与学校距离为 ,她是否能住宿?说明理由;
(Ⅱ)通过计算得到女生家庭居住地与学校距离的样本平均值为 ,男生家庭居住地与学校距离的样本平均值为 ,则所有样本数据的平均值为多少?
(Ⅲ)已知某班有4名女生安排在两间宿舍中,其中有一对双胞胎,如果随机分配宿舍,求双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率.
18. (本小题14分)
如图,在多面体 中,已知 是边长为2的正方形, 为正三角形, 且 , , 分别为 的中点.
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求证: 平面 ;
(Ⅲ)求三棱锥 的体积.
19. (本小题14分)
已知椭圆 的一个顶点为 ,离心率为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设过椭圆右焦点的直线 交椭圆于 、 两点,过原点的直线 交椭圆于 、 两点. 若 ,求证: 为定值.
20. (本小题13分)
已知函数 .
(Ⅰ)当 时,求 在 处的切线方程;
(Ⅱ)当 时,若 有极小值,求实数 的取值范围.
石景山区2018-2019学年第一学期高三期末
数学(文)试卷答案及评分参考
一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C A A C B C
二、填空题:本大题共6个小题,每小题5分,共30分.
9. ; 10. ; 11. ;
12. ;(答案不唯一) 13. ; 14. , .
三、解答题:本大题共6个小题,共80分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题13分)
解:(Ⅰ)由图可得
,所以 .
当 时, ,可得 ,
当 ,即 时, 有最小值为 .
16.(本小题13分)
解:(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ,
则 ,
又 ,所以 , .
(Ⅱ)因为 ,所以 为等比数列.
所以 .
假设存在 ,使得 = .
,
所以 ,即 ,所以 满足题意.
17.(本小题13分)
解:(Ⅰ)能住宿.
(Ⅱ)根据分层抽样的原则,抽取男生样本数为16人.
所有样本数据平均值为 .
(Ⅲ)解法一:记住宿的双胞胎为 ,其他住宿女生为 .
考虑 的室友,共有 三种情况,
所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为 .
解法二:记住宿的双胞胎为 ,其他住宿女生为 .
随机分配宿舍,共有
三种情况,
满足题意得有 一种情况,
所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为 .
18.(本小题14分)
(Ⅰ)证明:取 的中点 ,连结 ,
∵四边形 是边长为 的正方形, 为 的中点,
∴ ,
∵ 为 的中点,且 ,
∴ ,又 ∥ ,
∴ ,
∴四边形 为平行四边形,
∴ ,
又 平面 , 平面 ,
∴ ∥平面 .
(Ⅱ)证明:∵ ∥ , ,
∴ ,
在正方形 中 ,且 ,
∴ 平面 ,
∵ 平面 ,
∴ ,
又 为正三角形, 为 的中点,
∴
又
∴ 平面 .
(Ⅲ)∵ ∥ ,
∴ ∥平面 ,
∵ 平面 ,
∴ 为三棱锥 的高,
∵ 为正三角形, 为 的中点,
∴ ,
∴ .
19.(本小题14分)
解:(Ⅰ)依题意, .
由 ,得 .
∴椭圆 的方程为 .
(Ⅱ)证明:(1)当直线 的斜率不存在时,易求 , ,
则 .
(2)当直线 的斜率存在时,
设直线 的斜率为 ,依题意 ,
则直线 的方程为 ,直线 的方程为 .
设 , , , ,
由 得 ,
则 , ,
由 整理得 ,则 .
.
∴ .
综合(1)(2), 为定值.
20.(本小题13分)
解:(Ⅰ)当 时, , .
,
所以 在 处的切线方程为 .
(Ⅱ) 有极小值 函数 有左负右正的变号零点.
令 ,则
令 ,解得 .
的变化情况如下表:
– 0 +
减 极小值
增
① 若 ,即 ,则 ,所以 不存在变号零点,不合题意.
② 若 ,即 时, , .
所以 ,使得 ;
且当 时, ,当 时, .
所以当 时, 的变化情况如下表:
– 0 +
减 极小值 增
所以 .
高三数学理上册期末试卷
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合 , ,则 =
2. 设 是虚数单位,复数 ,则 的共轭复数为
3. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 的值为
4. 下列函数中为偶函数的是
5. 某四面体的三视图如图所示,该四面
体的体积为
6. 已知平面向量 ,则下列关系正确的是
7. 在 中, ,则 的面积为
8.
已知函数 则下列关于函数 的零点个数的判断正确的是
A. 当 时,有4个零点;当 时,有1个零点
B. 当 时,有3个零点;当 时,有2个零点
C. 无论 为何值,均有2个零点
D. 无论 为何值,均有4个零点
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 在 的展开式中, 的系数为____________.(用数字作答)
10. 设 为等差数列 的前 项和, ,则其通项公式 ______ .
11. 若变量 满足约束条件 ,则 的最小值等于______.
12. 写出“ ”的一个充分不必要条件__________________.
13. 已知双曲线中心在原点,一个焦点为 ,点 在双曲线上,且线段
的中点坐标为 ,则双曲线的离心率为__________.
14. 2018年个税改革方案中专项附加扣除等内容将于2019年全面施行.不过,为了
让老百姓尽早享受到减税红利,自2018年10月至2018年12月,先将工资所得税起征额由3500元/月提高至5000元/月,并按新的税率表(见附录)计算纳税.
按照税法规定,小王2018年9月和10月税款计算情况分别如下:
月份 …… 纳税
所得额 起征额 应纳
税额 适用
税率 速算
扣除数 税款 税后
工资
9 …… 6000 3500 2500 10% 105 145 5855
10 …… 6000 5000 1000 3% 0 30 5970
(相关计算公式为:应纳税额=纳税所得额–起征额,
税款=应纳税额 适用税率–速算扣除数,
税后工资=纳税所得额–税款 )
(1)某职工甲2018年9月应纳税额为2000元,那么他9月份的税款为___元;
(2)某职工乙2018年10月税后工资为14660元,则他享受减税红利为____元.
附录:
原税率表(执行至2018年9月) 新税率表(2018年10月起执行)
应纳税额 税率 速算
扣除数 应纳税额 税率 速算
扣除数
不超过1500元 3% 0元 不超过3000元 3% 0元
1500元至4500元 10% 105元 3000元至12000元 10% 210元
4500元至9000元 20% 555元 12000元至25000元 20% 1410元
9000元至35000元 25% 1005元 25000元至35000元 25% 2660元
…… …… …… …… …… ……
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15. (本小题13分)
函数 的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求 的最小正周期及解析式;
(Ⅱ)设 ,求函数 在区间 上的最小值.
16. (本小题13分)
年 月,某校高一年级新入学有 名学生,其中 名男生, 名女生.学校计划为家远的高一新生提供 间男生宿舍和 间女生宿舍,每间宿舍可住2名同学.
该校“数学与统计”社团的同学为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况,按照性别进行分层抽样,其中共抽取40名男生家庭居住地与学校的距离数据(单位: )如下:
5 6 7 7.5 8 8.4 4 3.5 4.5 4.3
5 4 3 2.5 4 1.6 6 6.5 5.5 5.7
3.1 5.2 4.4 5 6.4 3.5 7 4 3 3.4
6.9 4.8 5.6 5 5.6 6.5 3 6 7 6.6
(Ⅰ)根据以上样本数据推断,若男生甲家庭居住地与学校距离为 ,他是否能住宿?说明理由;
(Ⅱ)通过计算得到男生样本数据平均值为 ,女生样本数据平均值为 ,求所有样本数据的平均值;
(Ⅲ)已知能够住宿的女生中有一对双胞胎,如果随机分配宿舍,求双胞胎姐妹被分到
同一宿舍的概率.
17. (本小题14分)
如图,在 中, . 可以通过 以直线 为轴旋转得到,且 ,动点 在斜边 上.
(Ⅰ)求证:平面 平面 ;
(Ⅱ)当 为 的中点时,求二面角 的余弦值;
(Ⅲ)求 与平面 所成的角中最大角的正弦值.
18. (本小题14分)
已知抛物线 经过点 ,其焦点为 . 为抛物线上除了原点外的任一点,过 的直线 与 轴, 轴分别交于 .
(Ⅰ)求抛物线 的方程以及焦点坐标;
(Ⅱ)若 与 的面积相等,求证:直线 是抛物线 的切线.
19. (本小题13分)
已知函数 .
(Ⅰ)当 时,求 在 处的切线方程;
(Ⅱ)当 时,若 有极小值,求实数 的取值范围.
20.(本小题13分)
将1至 这 个自然数随机填入 方格的 个方格中,每个方格恰填一个数( ).对于同行或同列的每一对数,都计算较大数与较小数的比值,在这 个比值中的最小值,称为这一填数法的“特征值”.
(Ⅰ)若 ,请写出一种填数法,并计算此填数法的“特征值”;
(Ⅱ)当 时,请写出一种填数法,使得此填数法的“特征值”为 ;
(Ⅲ)求证:对任意一个填数法,其“特征值”不大于 .
数学(理)试卷答案及评分参考
一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B B A C D A
二、填空题:本大题共6个小题,每小题5分,共30分.
9. ; 10. ; 11. ;
12. ;(答案不唯一) 13. ; 14. , .
三、解答题:本大题共6个小题,共80分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题13分)
解:(Ⅰ)由图可得
,所以 .
当 时, ,可得 ,
(Ⅱ)
当 ,即 时, 有最小值为 .
16.(本小题13分)
解:(Ⅰ)能住宿.
因为200名男生中有10名男生能住宿,
所以40名男生样本中有2名男生能住宿。
样本数据中距离为8.4km和8km的男生可以住宿,距离为7.5km以下的男生不可以住宿,
由于8.3 >8,所以男生甲能住宿。
(Ⅱ)根据分层抽样的原则,抽取女生样本数为32人.
所有样本数据平均值为 .
(Ⅲ)解法一:记住宿的双胞胎为 ,其他住宿女生为 .
考虑 的室友,共有 七种情况,
所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为 .
解法二:设“双胞胎姐妹被分到同一宿舍”为事件 ,
则 .
所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为 .
17.(本小题14分)
(Ⅰ)证明:在 中, ,
∵ ,且 ,
∴ 平面 ,
又 平面 ,
∴平面 平面 .
(Ⅱ)解:如图建立空间直角坐标系 ,
∵ 为 的中点,
∴ , , , , ,
∴ , , ,
设 为平面 的法向量,
∴ 即
令 ,则 ,
∴ 是平面 的一个法向量,
设 为平面 的法向量,
∴ 即
令 ,则 , ,
∴ 是平面 的一个法向量,
∴ ,
∴二面角 的余弦值为 .
(Ⅲ)解法一:∵ 平面 ,
∴ 为 与平面 所成的角,
∵ ,
∴点 到直线 的距离最小时, 的正弦值最大,
即当 时, 的正弦值最大,
此时 ,∴ ,
∴ .
解法二:设 ,所以 .
.
平面 的法向量 ,
所以
所以当 时, 与平面 所成的角最大, .
18.(本小题14分)
解:(Ⅰ)因为抛物线 经过点 ,
所以 , .
所以抛物线 的方程为 ,焦点 点坐标为 .
(Ⅱ)因为 与 的面积相等,
所以 ,所以 为 的中点.
设 ,则 .
所以直线 的方程为 ,
与抛物线 联立得:
,
所以直线 是抛物线 的切线.
19.(本小题13分)
解:(Ⅰ)当 时, , .
,
所以 在 处的切线方程为 .
(Ⅱ) 有极小值 函数 有左负右正的变号零点.
令 ,则
令 ,解得 .
的变化情况如下表:
- 0 +
减 极小值
增
① 若 ,即 ,则 ,所以 不存在变号零点,不合题意.
② 若 ,即 时, , .
所以 ,使得 ;
且当 时, ,当 时, .
所以当 时, 的变化情况如下表:
减 极小值 增
所以 .
20.(本题13分)
解:(Ⅰ)
(前两问答案不唯一,请酌情给分)
(Ⅲ)不妨设A为任意一个填数法,记此填数法的“特征值”为 ,
考虑含n+1个元素的集合 ,
易知其中必有至少两个数处于同一行,设为
也必有至少两个数处于同一列,设为 .
①若
则有 (因为 ).
②若 ,即 ,
则 , .
所以 .
即不论何种情况,总有 . …13分
高三数学上学期期末试卷带答案
参考公式:样本数据 的方差 ,其中 .
柱体的体积 ,其中 为柱体的底面积, 为高.
一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.已知集合 ,则 ________.
2.已知复数 满足 ( 是虚数单位),则复数 ________.
3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数为 ,
且这5个分数的平均数为 ,则实数 ________.
4. 一个算法的伪代码如右图所示,执行此算法,若输出的 值为 ,
则输入的实数 的值为________.
5. 函数 的定义域为________.
6. 某校开设5门不同的选修课程,其中3门理科类和2门文科类,某同学从中选修2门课程,则该同学恰好选中1文1理的概率为________.
7. 已知双曲线 的离心率为2,直线 经过双 的焦点,则双曲线 的渐近线方程为________.
8. 已知圆锥 ,过 的中点 作平行于圆锥底面的截面,以截面为上底面作圆
柱 ,圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图),则圆柱 的体积与圆锥 的
体积的比值为________.
9. 已知正数 满足 ,则 的最小值为________.
10. 若直线 与曲线 ( 是自然对数的底数)相切,则实数
________.
11. 已知函数 是偶函数,点 是函数 图象
的对称中心,则 最小值为________.
12. 平面内不共线的三点 ,满足 ,点 为线段 的中点, 的平分线交线段 于 ,若| ,则 ________.
13. 过原点的直线 与圆 交于 两点,点 是该圆与 轴负半轴的交点,以 为直径的圆与直线 有异于 的交点 ,且直线 与直线 的斜率之积等于 ,那么直线 的方程为________.
14. 数列 满足 ,且数列 的前 项和为 ,已知数列 的前 项和为1,那么数列 的首项 ________.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,点M,N分别是AB,CC1的中点.
(1) 求证:CM∥平面AB1N;
(2) 求证:平面A1BN⊥平面AA1B1B.
(第15题)
16. (本小题满分14分)已知在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且b2-233bcsinA+c2=a2.
(1) 求角A的大小;
(2) 若tanBtanC=3,且a=2,求△ABC的周长.
17. (本小题满分14分)已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆C1:x2a2+y2b2=1的焦点在椭圆C2:y2a2+x2b2=1上,其中a>b>0,且点63,63是椭圆C1,C2位于第一象限的交点.
(1) 求椭圆C1,C2的标准方程;
(2) 过y轴上一点P的直线l与椭圆C2相切,与椭圆C1交于点A,B,已知PA→=35PB→,求直线l的斜率.
18. (本小题满分16分)某公园要设计如图(1)所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等三角形所得,如图(2)中所示的多边形ABCDEFGH),整体设计方案要求:内部井字形的两根水平横轴AF=BE=1.6 m,两根竖轴CH=DG=1.2 m,记景观窗格的外框(图(2)中实线部分,轴和边框的粗细忽略不计)总长度为l m.
(1) 若∠ABC=2π3,且两根横轴之间的距离为0.6 m,求景观窗格的外框总长度;
(2) 由于预算经费限制,景观窗格的外框总长度不超过5 m,当景观窗格的面积(多边形ABCDEFGH的面积)最大时,给出此景观窗格的设计方案中∠ABC的大小与BC的长度.
图(1) 图(2)
(第18题)
19. (本小题满分16分)已知在数列{an}中,a1=1,且an+1+3an+4=0,n∈N*.
(1) 求证:{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2) 数列{an}中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后,构成等差数列?若存在,求出满足条件的项;若不存在,请说明理由.
20. (本小题满分16分)已知函数m(x)=x2,函数n(x)=aln x+1(a∈R).
(1) 若a=2,求曲线y=n(x)在点(1,n(1))处的切线方程;
(2) 若函数f(x)=m(x)-n(x)有且只有一个零点,求实数a的取值范围;
(3) 若函数g(x)=n(x)-1+ex-ex≥0对x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.(e是自然对数的底数,e=2.718 28…)
江苏省常州市2019届高三上学期期末考试
数学参考答案及评分标准
1. {1} 2. -i 3. 9.5 4. 3 5. (0,e] 6. 35
7. y=±3x 8. 38 9. 4 10. e2
11. π2 12. 23 13. y=±3x 14. 32
(第15题)
15. (1) 令AB1交A1B于点O,连接OM,ON,在正三棱柱ABCA1B1C1中,BB1∥CC1,BB1=CC1,且四边形AA1B1B是平行四边形,所以O为AB1的中点,又因为M为AB的中点,所以OM∥BB1,且OM=12BB1.因为N为CC1的中点,CN=12CC1,所以OM=CN,且OM∥CN,所以四边形CMON是平行四边形,(5分)
所以CM∥ON,又ON⊂平面AB1N,CM⊄平面AB1N,所以CM∥平面AB1N.(7分)
(2) 在正三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,所以BB1⊥CM.(9分)
因为CA=CB,M为AB的中点,所以CM⊥AB,又由(1)知CM∥ON,所以ON⊥AB,ON⊥BB1.又因为AB∩BB1=B,AB,BB1⊂平面AA1B1B,所以ON⊥平面AA1B1B.(12分)
又ON⊂平面A1BN,所以平面A1BN⊥平面AA1B1B.(14分)
16. (1) 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,又b2-233bcsinA+c2=a2,
所以b2-2bccos A+c2=b2-233bcsinA+c2,即2bccos A=233bcsin A,(3分)
从而sinA=3cosA,若cosA=0,则sinA=0,与sin2A+cos2A=1矛盾,所以cos A≠0,
所以tanA=3.又A∈(0,π),所以A=π3.(7分)
(2) tanB+tanC1-tanBtanC=tan(B+C)=tan(π-A)=tan2π3=-3.(9分)
又tanBtan C=3,所以tanB+tanC=-3×(-2)=23,解得tanB=tanC=3.(11分)
又B,C∈(0,π),所以B=C=π3.又因为A=π3,所以△ABC是正三角形,
由a=2,得△ABC的周长为6.(14分)
17. (1) 椭圆C1:x2a2+y2b2=1的焦点坐标为(±c,0),代入椭圆C2的方程有c2b2=1,
点P63,63的坐标代入椭圆C1,C2的方程有C1:23a2+23b2=1,
所以c2b2=1,a2=b2+c2,23a2+23b2=1,解得a2=2,b2=c2=1,(3分)
所以椭圆C1,C2的标准方程分别为x22+y2=1,y22+x2=1.(5分)
(2) 由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,m),
由y22+x2=1,y=kx+m,消去y,得(kx+m)22+x2=1,
即1+k22x2+kmx+m22-1=0,
Δ=k2m2-41+k22m22-1=0,
即k2+2-m2=0.(7分)
由x22+y2=1,y=kx+m,消去y,得x22+(kx+m)2=1,
即12+k2x2+2kmx+m2-1=0,
因为直线l与椭圆C1相交,有Δ=4k2m2-412+k2(m2-1)=4k2-12m2+12>0(*),
x1,2=-2km±4k2-12m2+12212+k2.(9分)
因为PA→=35PB→,即(x1,y1-m)=35(x2,y2-m),则5x1=3x2,所以5-2km+4k2-12m2+12212+k2=
3-2km-4k2-12m2+12212+k2或
5-2km-4k2-12m2+12212+k2=
3-2km+4k2-12m2+12212+k2化简得,km=
4k2-12m2+12或km=-4k2-12m2+12,
即k2m2=16k2-12m2+12.(12分)
又因为k2+2-m2=0,解得k2=2,m2=4或k2=4,m2=6,符合(*)式,所以直线l的斜率为±2或±2.(14分)
18. (1) 记CH与AF,BE的交点为M,N,
由∠ABC=2π3,得在△BCN中,∠CBN=π6,
其中CN=HM=12(1.2-0.6)=0.3 m,
所以BC=CNsin∠CBN=0.3sinπ6=35m,
BN=CNtan∠CBN=0.3tanπ6=3310m,(2分)
所以CD=BE-2BN=1.6-335=8-335,则
AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+ HA=2AB+2CD+4BC=1.2+16-635+125=34-635.(5分)
答:景观窗格的外框总长度为34-635 m.(6分)
(2) AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA=2AB+2CD+4BC≤5,
设∠CBN=α,α∈0,π2,BC=r,
则CN=rsinα,BN=rcosα,
所以AB=CH-2CN=1.2-2rsinα, CD=BE-2BN=1.6-2rcosα,
所以2(1.2-2rsinα)+2(1.6-2rcosα)+4r≤5,即4r(sinα+cosα-1)≥35.(8分)
设景观窗格的面积为S,有S=1.2×1.6-2r2sinα•cosα≤4825-9sinαcosα200(sinα+cosα-1)2当且仅当4r(sinα+
cosα-1)=35时取等号.(9分)
令t=sinα+cosα∈(1,2],则sinαcosα=t2-12,
所以S≤4825-9t2-12200(t-1)2=4825-9400•1+2t-1,其中1+2t-1≥1+22-1当且仅当t=2,即α=π4时取等号,(12分)
所以S≤4825-94001+2t-1≤4825-9400•1+22-1=4825-9400(3+22)=741400-92200,
即S≤741400-92200当且仅当4r(sinα+cosα-1)=35
且α=π4时,取等号,
所以当且仅当r=3(2+1)20且α=π4时,S取到最大值.(15分)
答:当景观窗格的面积最大时,此景观窗格的设计方案中∠ABC=3π4且BC=3(2+1)20 m.(16分)
19. (1) 由an+1+3an+4=0,得an+1+1=-3(an+1),n∈N*,(2分)
其中a1=1,所以a1+1=2≠0,可得an+1≠0,n∈N*,(4分)
所以an+1+1an+1=-3,n∈N*,所以{an+1}是以2为首项,-3为公比的等比数列,(6分)
所以an+1=2(-3)n-1,
所以数列{an}的通项公式为an=2(-3)n-1,n∈N*.(8分)
(2) 若数列{an}中存在三项am,an,ak(m
分以下三种情形:
①am位于中间,则2am=an+ak,即2[2(-3)m-1-1]=2(-3)n-1-1+2 (-3)k-1-1,
所以2(-3)m=(-3)n+(-3)k,两边同时除以(-3)m,得2=(-3)n-m+(-3)k-m是3的倍数,舍去;
②an位于中间,则2an=am+ak,即2[2(-3)n-1-1]=2(-3)m-1-1+2(-3)k-1-1,
所以2(-3)n=(-3)m+(-3)k,两边同时除以(-3)m,得2(-3)n-m=1+(-3)k-m,
即1=2(-3)n-m-(-3)k-m是3的倍数,舍去;
③ak位于中间,则2ak=am+an,即2[2(-3)k-1-1]=2(-3)m-1-1+2(-3)n-1-1,
所以2(-3)k=(-3)m+(-3)n,两边同时除以(-3)m,得2(-3)k-m=1+(-3)n-m,
1=2(-3)k-m-(-3)n-m是3的倍数,舍去.(15分)
综上可得,数列{an}中不存在三项满足题意.(16分)
20. (1) 当a=2时,n(x)=2ln x+1,所以n′(x)=2x,
所以n′(1)=2,又n(1)=1,
所以切线的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.(3分)
(2) f(x)=x2-aln x-1,定义域为(0,+∞),其图象是一条不间断的曲线,
f′(x)=2x-ax=2x2-ax.
①若a≤0,则f′(x)>0对x∈(0,+∞)恒成立,
所以y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=0,
所以y=f(x)在(0,+∞)上只有一个零点,符合题意.
②若a>0,令f′(x)=0,得x=a2或x=-a2(舍去).
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x 0,a2
a2
a2,+∞
f′(x) - 0 +
f(x) ? 极小值 ?
1°.若a2>1,即a>2,此时a>a2,则fa2
令F1(a)=a2-aln a-1,a≥2,
则F1′(a)=2a-ln a-1,
令F2(a)=2a-ln a-1,则F2′(a)=2-1a>0对a∈[2,+∞)恒成立,
所以F2(a)=2a-ln a-1在[2,+∞)上单调递增,
所以F2(a)≥F2(2)=3-ln 2>0,
即F1′(a)>0对a∈[2,+∞)恒成立,
所以F1(a)=a2-aln a-1在[2,+∞)上单调递增,
所以F1(a)≥F1(2)=3-2ln 2>0,
即f(a)>0,又因为fa2<0,且函数f(x)在a2,+∞上单调递增,
所以函数f(x)在a2,+∞上有且只有一个零点,
因为函数f(x)在0,a2上单调递减,且有一个零点x=1,故函数f(x)在(0,+∞)上有两个零点,不符合题意,舍去.
2°.若a2=1,即a=2,
则函数f (x)在(0,1)上单调递减,所以f(x)>f(1)=0,
函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(1)=0,
故函数f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点,符合题意.
3°.若a2<1,即0
因为函数f(x)在a2,+∞上单调递增,
所以fa2
又fe-1a=e-2a>0,所以函数f(x)在(0,1)内必有零点,
又因为1是函数f(x)的零点,不符合题意,舍去.(9分)
综上,a≤0或a=2.(10分)
(3) 当x≥1时,g(x)=aln x+ex-ex.
令G(x)=ex-ex,x≥1,则G′(x)=ex-e≥0对x∈[1,+∞)恒成立,
所以函数y=G(x)在[1,+∞)上单调递增,所以G(x)≥G(1)=0.
①若a≥0,则当x≥1时,ln x≥0,所以g(x)=aln x+ex-ex≥0恒成立,符合题意.(11分)
②若a<0,g′(x)=ax+ex-e,令H(x)=ax+ex-e,x≥1,则H′(x)=ex-ax2>0恒成立,
所以H(x)=ax+ex-e在[1,+∞)上单调递增,
且H(1)=a<0.
因为a<0,所以1-a>1,所以G(1-a)>G(1)=0,即e1-a>e(1-a).(12分)
所以H(1-a)=a1-a+e1-a-e>a1-a+e-ea-e=a1-a-ea=11-a+(1-a)-2-(e-1)a,
因为a<0,1-a>1,所以11-a+(1-a)>2,(e-1)a<0,
所以H(1-a)>0,因为H(x)=ax+ex-e在[1,+∞)上单调递增,其图象是一条不间断的曲线,且H(1)=a<0,所以存在唯一的x0∈(1,1-a),使得H(x0)=0,即g′(x0)=0,
当x∈(1,x0)时,g′(x)<0,所以函数y=g(x)在(1,x0)上单调递减,
此时g(x)
综上,a≥0.(16分)
高三上学期期末考试
数学附加题
21. 【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
A. 选修42:矩阵与变换
已知点(1,2)在矩阵A=1x2y对应的变换作用下得到点(7,6).
(1) 求矩阵A;
(2) 求矩阵A的特征值及对应的特征向量.
B. 选修44:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系.直线l的参数方程为x=22t+1,y=12t(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ=22sinθ+π4,求直线l被曲线C所截的弦长.
C. 选修45:不等式选讲
已知a>0,b>0,求证:a+b+1≥ab+a+b.
【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
22. (本小题满分10分)如图,在空间直角坐标系Oxyz中,已知正四棱锥PABCD的高OP=2,点B,D和C,A分别在x轴和y轴上,且AB=2,点M是棱PC的中点.
(1) 求直线AM与平面PAB所成角的正弦值;
(2) 求二面角APBC的余弦值.
(第22题)
23. (本小题满分10分)是否存在实数a,b,c使得等式1•3•5+2•4•6+…+n(n+2)(n+4)=n(n+1)4(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立?若存在,求出a,b,c的值;若不存在,请说明理由.
数学附加题参考答案及评分标准
21. A. (1) 由题意知1x2y12=76,即1+2x=7,2+2y=6,解得x=3,y=2,所以A=1322.(3分)
(2) f(λ)=λ-1-3-2λ-2=(λ-1)(λ-2)-6=λ2-3λ-4,令f(λ)=0,得λ2-3λ-4=0,解得λ1=-1,λ2=4.(5分)
当λ1=-1时,-2x-3y=0,-2x-3y=0,取x=3,y=-2,所以属于λ1=-1的一个特征向量为3-2,
当λ2=4时,3x-3y=0,-2x+2y=0,取x=1,y=1,所以属于λ2=4的一个特征向量为11.(9分)
所以矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=4,对应的一个特征向量分别为3-2,11.(10分)
B. 直线l的普通方程为x-2y-1=0,曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2,(4分)
所以曲线C是圆心为C(1,1),半径为r=2的圆,(6分)
所以圆心C(1,1)到直线l的距离为d=|1-2-1|1+(-2)2=23,(8分)
所以直线l被曲线C所截的弦长为2r2-d2=22-23=433.(10分)
C. 因为a>0,b>0,由柯西不等式可得(a+b+1)(b+1+a)≥(ab+a+b)2,
当且仅当ab=b1=1a时取等号,所以(a+b+1)2≥(ab+a+b)2.
又因为a+b+1>0,ab+a+b>0,
所以a+b+1≥ab+a+b.(10分)
22. (1) 记直线AM与平面PAB所成的角为α,A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),
M0,12,1,则AB→=(1,1,0),PA→=(0,-1,-2),AM→=0,32,1,
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),所以n•AB→=0,n•PA→=0,即x+y=0,-y-2z=0,取n=(2,-2,1),
所以sinα=cos〈n,AM→〉=n•AM→|n|•|AM→|=23×132=41339,(5分)
即直线AM与平面PAB所成角的正弦值为41339.(6分)
(2) 设平面PBC的法向量为n1=(x,y,z),
BC→=(-1,1,0),PB→=(1,0,-2),
由n1•BC→=0,n1•PB→=0,即-x+y=0,x-2z=0,取n1=(2,2,1),所以cos〈n,n1〉=n•n1|n|•|n1|=13×3=19,(9分)
由图可知二面角APBC的余弦值为-19.(10分)
23. 在1•3•5+2•4•6+…+n(n+2)(n+4)=n(n+1)4(an2+bn+c)中,
令n=1,得15=24(a+b+c);
令n=2,得63=64(4a+2b+c);
令n=3,得168=124(9a+3b+c),
即a+b+c=30,4a+2b+c=42,9a+3b+c=56,解得a=1,b=9,c=20.(3分)
下面用数学归纳法证明:等式1•3•5+2•4•6+…+n(n+2)(n+4)=n(n+1)4(n2+9n+20)对于一切正整数n都成立.
当n=1时,等式成立;
假设当n=k时,等式成立,即
1•3•5+2•4•6+…+k(k+2)(k+4)=k(k+1)4•(k2+9k+20).(4分)
当n=k+1时,
1•3•5+2•4•6+…+k(k+2)(k+4)+(k+1)(k+3)(k+5)=k(k+1)4(k2+9k+20)+(k+1)(k+3)•(k+5)=14k(k+1)(k+4)(k+5)+(k+1)(k+3)(k+5)
=14(k+1)(k+5)(k2+8k+12)
=(k+1)(k+1+4)4[(k+1+1)(k+1+5)]
=(k+1)[(k+1)+1]4[(k+1)2+9(k+1)+20],
即等式对n=k+1也成立.(8分)
综上可得,等式1•3•5+2•4•6+…+n(n+2)•(n+4)=n(n+1)4(n2+9n+20)对于一切正整数n都成立.
所以存在实数a,b,c符合题意,且a=1,b=9,c=20.(10分)