高三数学上学期期末理试卷(汇总三篇)

在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开，切忌考前去在保证正确率的前提下提高解题速度，今天小编就给大家分享一下高三数学，希望大家阅读哦

第一学期高三数学理科期中考试题

一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.过双曲线 =1(a>0，b>0)的左焦点F(﹣c，0)(c>0)，作圆x2+y2= 的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若 =2 ﹣ ，则双曲线的离心率为( )

(A) (B) (C) (D)

2.在四面体P﹣ABC中，PA=PB=PC=1，∠APB=∠BPC=∠CP A=90°，则该四面体P﹣ABC的外接球的表面积为( )

(A)π(B) π(C)2π(D)3π

3. 下列结论正确的个数是( )

①若 ， 则 恒成立;②命题“ ”的否定是“ ”; ③“命 题 为真”是“命题 为真”的充分不必要条件.

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

4.已知平面直角坐标内的向量 ，若该平面内不是所有的向量都能写成 ( 的形式，则 的值为( )

(A) (B) (C)3 (D)—3

5. 下列四个图中,函数 的图象可能是( )

6. 在△ABC中,角A，B，C所对的边分别是 ，且 则 = ( )

(A) (B) (C) (D)

7. 已知等差数列 前 项为 ，若 ，则 ( )

(A) (B) (C ) (D)

8.设函 数 ，其中 ，则 的取值范围是( )

(A) (B) (C) (D)

9. 正三角形ABC内一点M满足 ， ，则 的值为( )

(A) (B) (C) (D)

10 . 已知函数 的导函数为 ，若使得 = 成立的 <1，则实数 的取值范围为 ( )

(A)( ， ) (B)(0， ) (C)( ， ) (D)(0， )

11. 已知数列 ，给定 ，若对任意正整数 ，恒有 ，则 的最小值为( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

12. 设函数 .若存在 的极值点 满足 ，则m的取值范围是( )

(A) (B) (C) (D)

第Ⅱ卷

二.填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13. 与向量 垂直且模长为 的向量为 .

14. 已知递增的等差数列 满足 ，则 .

15. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，且 ，则 为 .

16.已知函数 ，其中 。若函数 在定义域内有零点，则实数 的取值范围为 .

三.解答题:本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

在 中，角 对边分别为 ，且 .

(Ⅰ)求角 ;

(Ⅱ) 若 ，求 周长 的取值 范围.

18.(本小题满分12分)

已知向量 ， 满足 ， ，函数 • .

(Ⅰ)将 化成 的形式;

(Ⅱ)求函数 的单调递减区间;

(Ⅲ) 求函数 在 的值域 .

19.(本小题满分12分)

已知数列 的前 项和 ( )，数列 的前 项和 ( ).

(Ⅰ)求数列 的前 项和;

(Ⅱ)求数列 的前 项和.

20.(本小题满分12分)

已知 中，

， 为角分线.

(Ⅰ)求 的长度;

(Ⅱ)过点 作直线交 于不同两点 ，且满足 ，求证： .

21.(本小题满分12分)

已知函数

(1) 求 的单调区间和极值;

(2)若对于任意的 ，都存在 ，使得 ，求 的取值范围.

22.(本小题满分12分)

已知函数 .

(I)若 函数 在区间 上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数 的取值范围;

(II)若 ，设 ，求 证：当 时，不等式 成立.

答案:

1-12 C DBDC DAADA AC

13.

14. 15.6 16.

17.(1)由正弦定理得 ，得

(2)由正弦定理得

所以

周长 或者用均值不等式

18.(1) ，周期为 (2) (3)

19. (1) (2)

20.(1)由角分线定理 ，两边平方可得

(2) ，所以

21解(1)由已知有 令 ，解得 或 ，列表如下：

的增区间是 ，减区间 。当 时， 取 极小值0，当 时， 取极大值

(2)由 及(1)知，当 时， ;当 时，

设集合 ， ，则对任意的 ，都存在 ，使得 等价于 ，显然

当 即 时，由 可知 而 ，不满足 ;

当 即 时，有 且此时 在 递减，

，由 ，有 在 上的取值范围包含 ;

当 即 时有 且此时 在 递减，

不满足

综上，

22.解：(I) ，

∵函数 在区间 上都是单调函数且它们的 单调性相同，

∴当 时， 恒成立，

即 恒成立，

∴ 在 时恒成立，或 在 时恒成立，

∵ ，∴ 或 ……………………………………6

(II) ，

∵ 定义域是 ， ，即

∴ 在 是增函数，在 上是减函数，在 是增函数

∴当 时， 取极大值 ，

当 时， 取极小值 ，

∵ ，∴

设 ，则 ，

∴ ，∵ ，∴

∴ 在 是增函数，∴

∴ 在 也是增函数

∴ ，即 ，

而 ，∴

∴当 时，不等式 成立. ……………………………12

上学期高三理科数学期中联考试卷

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的

1.若复数 满足 ，则 的共轭复数的虚部是( )

2.已知全集为 ，集合 ， ，则集合 ( )

3.若幂函数 的图象不过原点，则 的取值是( )

4.设 ，则 是 的( )

充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分又不必要条件

5.已知向量 ， ， ，若 ，则 ( )

6.已知数列 满足 ， ，则 ( )

7.已知 为区域 内的任意一点，当该区域的面积为 时， 的最大值是( )

8.设 ， ， ，则( )

9.数列 满足 ，对任意的 都有 ，则 ( )

10.一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的表面积是( )

11.在直三棱柱 中，若 ， ， ， ， 为 的中点， 为 的中点， 在线段 上， .则异面直线 与 所成角的正弦值为( )

12.对于任意实数 ，定义 ，定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ，若方程 恰有两个根，则 的取值范围是( )

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案写在答题卡上相应的位置

13.

14.在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 _______________

15.已知 ，满足 ，则 的取值范围________

16.已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为 ， ， ，则此球的表面积等于_______________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17.(本小题满分10分)

极坐标系的极点为直角坐标系 的原点，极轴为 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线 的极坐标方程为 .

(1)求 的直角坐标方程;

(2)直线 ( 为参数)与曲线 交于 两点，与 轴交于 ，求 .

18.(本小题满分12分)

在△ 中， 所对的边分别为 ， , .

(1)求 ;

(2)若 ,求 .

19.(本小题满分12分)

已知数列 的前 项和 满足： ，数列 满足：对任意 有

(1)求数列 与数列 的通项公式;

(2)记 ，数列 的前 项和为 ，证明：当 时，

20.(本小题满分12分)

如图， 是直角梯形， ， ， ，

又 ， ，直线 与直线 所成的角为

(1)求证：平面 ⊥平面 ;

(2)求三棱锥 的体积.

21.(本小题满分12分)

已知各项均不相等的等差数列 的前五项和 ，且 成等比数列.

(1)求数列 的通项公式;

(2)设 为数列 的前 项和，若存在 ，使得 成立.

22.(本小题满分12分)

已知函数 .

(Ⅰ)当 时，求函数 的极值;

(Ⅱ) 时，讨论 的单调性;

(Ⅲ)若对任意的 恒有 成立，

求实数 的取值范围.

高三理科数学期中考试答案

选择：1-5 CDBAD，6-10 CABBA， 11-12 CA

填空：

解答题：17(1)由 得 ，得直角坐标方程为 ，即 ;

(2)将 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化简得 ，点E对应的参数 ，设点A，B对应的参数分别为 ，则 ， ，所以 .

18.(1)因为 ，即 ，

所以 ，

即 ，

得 .所以 ,或 (不成立).

即 , 得 ，所以. .

又因为 ，则 ，或 ,(舍去) 得 .

(2) ,又 , 即 ，

得

19.(1)当 时， ，所以 ， 当 时， ， 又 成立

所以数列 是以 ，公比 的等比数列，通项公式为 .由题意有 ，得 .

当 时，

，验证首项满足，于是得 故数列 的通项公式为 .

(2) 证明： = = ，所以 = ，

错位相减得 = ，所以 ，即 ，

下证：当 时， ，令 = ， = =

当 时， ，即当 时， 单调减，又 ，

所以当 时， ，即 ，即当 时，

20.

(1) ,

(2)

21.(1)设 的公差为 ，由已知得

即 ， ，故

(2)

∵存在 ，使得 成立

∴存在 ，使得 成立,即 有解

而 ， 时取等号

.

22.试题解析：(Ⅰ)函数 的定义域为 .

，令 ，

得 ; (舍去). 2分

当 变化时， 的取值情况如下：

— 0

减 极小值 增

所以，函数 的极小值为 ，无极大值. 4分

(Ⅱ) ，

令 ，得 ， ， 5分

当 时， ，函数 的在定义域 单调递增; 6分

当 时，在区间 ， ，上 ， 单调递减，

在区间 ，上 ， 单调递增; 7分

当 时，在区间 ， ，上 ， 单调递减，

在区间 ，上 ， 单调递增. 8分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知当 时，函数 在区间 单调递减;

所以，当 时， ，

问题等价于：

对任意的 ，恒有 成立， 1即 ， ，所以 12分

关于高三数学上期中质量检测

第Ⅰ卷(共50分)

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

【题文】1.集合A={0，2，a}，B={1，2, }，若A∪B={-4，0，1，2，16}，则a的值为()

A.1 B.2 C.-4 D.4

【知识点】集合及其运算A1

【答案解析】C ∵集合A={0，2，a}，B={1，2，a2}，A∪B={-4，0，1，2，16}，

∴a∈{-4，16}，a2∈{-4，16}，故a=-4，或a2=-4(舍去)，故a=-4，故选C

【思路点拨】由A={0，2，a}，B={1，2，a2}，若A∪B={-4，0，1，2，16}，可得：a=-4，或a2=-4，讨论后，可得答案.

【题文】2.

A..2 B.-2 C.6 D.-6

【知识点】函数的奇偶性与周期性B4

【答案解析】B ∵函数f(x)=ax5-bx3+cx，∴f(-x)=-f(x)∵f(-3)=2，∴f(3)=-2，故选B

【思路点拨】函数f(x)=ax5-bx3+cx，可判断奇函数，运用奇函数定义式求解即可.

【题文】3

【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切C5

【答案解析】A 由三角函数的定义可得cosα= ，又∵cosα= x，∴ = x，

又α是第二象限角，∴x<0，故可解得x=-3∴cosα=- ，sinα= = ，

∴tanα= =- ∴tan2α= = 故选A

【思路点拨】由三角函数的定义可得x的方程，解方程可得cosα，再由同角三角函数的基本关系可得tanα，由二倍角的正切公式可得.

【题文】4.

【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2

【答案解析】D ∵ =(2， 3)， =(-1， 2)

∴m +4 =(2m-4，3m+8); -2 =(4，-1)∵(m +4 )∥( -2 )∴4-2m=4(3m+8)解得m=-2故答案为D

【思路点拨】利用向量的坐标运算求出两个向量的坐标;利用向量共线的充要条件列出方程求出m的值.

【题文】5.若定义在R上的函数 满足 且 则对于任意的 ，都有

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【知识点】函数的单调性与最值B3

【答案解析】C ∵ ∴f(x)=f(5-x)，

即函数y=f(x)的图象关于直线x= 对称.又因(x- )f′(x)>0，

故函数y=f(x)在( ，+∞)上是增函数.再由对称性可得，函数y=f(x)在(-∞， )上是减函数.

∵任意的x1f(x2)，故x1和x2在区间(-∞， )上，

∴x1+x2<5.反之，若 x1+x2<5，则有x2 - < -x1，故x1离对称轴较远，x2 离对称轴较近，

由函数的图象的对称性和单调性，可得f(x1)>f(x2).

综上可得，“任意的x1f(x2)”是“x1+x2<5”的充要条件，故选C.

【思路点拨】由已知中 可得函数y=f(x)的图象关于直线x= 对称，

由(x- )f′(x)<0可得函数y=f(x)在( ，+∞)上是增函数，在(-∞， )上是减函数，

结合函数的图象和性质和充要条件的定义，可判断f(x1)>f(x2)和x1+x2>5的充要关系，得到答案.

【题文】6.如图，阴影区域的边界是直线y=0，x=2，x=0及曲线

，则这个区域的面积是

A 4 B 8 C D

【知识点】定积分与微积分基本定理B13

【答案解析】B 这个区域的面积是 3x2dx= =23-0=8，故选B.

【思路点拨】将阴影部分的面积是函数在[0，2]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案.

【题文】7. ，三角形的面积 ，则三角形外接圆的半径为

【知识点】解三角形C8

【答案解析】B △ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S= = bc•sinA=c• ，

∴c=2=b，故B= (180°-A)=30°.再由正弦定理可得 =4，

∴三角形外接圆的半径R=2，故选B.

【思路点拨】由条件求得 c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值.

【题文】8.已知 ，若 是 的最小值，则 的取值范围为

A.[-1,2] B.[-1,0] C.[1,2] D.[0,2]

【知识点】函数的单调性与最值B3

【答案解析】D 法一：排除法.当t=0时，结论成立，排除C;

当t=-1时，f(0)不是最小值，排除A、B，选D.

法二：直接法.由于当x>0时，f(x)=x+ +t在x=1时取得最小值为2+t，由题意当x≤0时，f(x)=(x-t)2，若t≥0，此时最小值为f(0)=t2，故t2≤t+2，

即t2-t-2≤0，解得-1≤t≤2，此时0≤t≤2，若t<0，则f(t)

【思路点拨】法1利用排除法进行判断，法2根据二次函数的图象以及基本不等式的性质即可得到结论.

【题文】9.已知

【知识点】导数的应用B12

【答案解析】A 由题意得 为奇函数，所以排除B D，当x= , ,所以排除D，故选A

【思路点拨】求出导数判断奇偶性，然后利用特殊值求出结果。

【题文】10.已知 ，符号 表示不超过x的最大整数，若函数 有且仅有3个零点，则 的取值范围是( )

【知识点】函数与方程B9

【答案解析】B 关于x的方程 -a=0等价于[x]=ax.分x>0和x<0的情况讨论，显然有a≥0.

若x>0，此时[x]≥0;若[x]=0，则 =0;若[x]≥1，因为[x]≤x<[x]+1，故 < ≤1，

即

若x<-1，因为[x]≤x<-1，[x]≤x<[x]+1，故1≤ < ，

即1≤a< ，且 <随着[x]的减小而增大.为使函数f(x)= -a有且仅有3个零点，

只能使[x]=1，2，3;或[x]=-1，-2，-3.若[x]=1，有

若[x]=3，有 1;

若[x]=-2，有1≤a<2;若[x]=-3，有1≤a< ，若[x]=-4，有1≤a<

综上所述

【思路点拨】关于x的方程 -a=0等价于[x]=ax.分x>0和x<0的情况讨论，

确定为使函数f(x)= -a有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3;或[x]=-1，-2，-3，即可得出结论.

第Ⅱ卷 (共100分)

【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答案纸的相应位置上。

【题文】11.将函数 的图像向右平移 个单位后得到函数 -的图像

【知识点】函数 的图象与性质C4

【答案解析】y=3sin3x 将函数y=3sin(3x+ )的图象向右平移 个单位，

所得图象对应的函数解析式为：y=3sin[3(x- )+ ]=3sin3x.故答案为y=3sin3x.

【思路点拨】直接在原函数解析式中取x=x- ，整理后得答案

【题文】12.已知 ，且 的夹角为锐角，则 的取值范围是 。

【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2

【答案解析】(-∞，- )∪(- ， )

由题意可得 >0，且 与 不共线，即-3λ+10>0，且 ≠ ，

解得 λ∈(-∞，- )∪(- ， )，故答案为：(-∞，- )∪(- ， ).

【思路点拨】由题意可得 • >0，且 与 不共线，即-3λ+10>0，且 ≠ ，

求出λ的取值范围.

【题文】13.已知函数 ，若直线 对任意的 都不是曲线 的切线，则 的取值范围为 。

【知识点】导数的应用B12

【答案解析】a< f(x)=x3-3ax(a∈R)，则f′(x)=3x2-3a

若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线，

则直线的斜率为-1，f(x)′=3x2-3a与直线x+y+m=0没有交点，

又抛物线开口向上则必在直线上面，即最小值大于直线斜率，则当x=0时取最小值，-3a>-1，

则a的取值范围为a< 即答案为a< .

【思路点拨】首先分析对任意的m直线x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线的含义，即可求出函数f(x)=x3-3ax(a∈R)的导函数，使直线与其不相交即可.

【题文】14.已知 ，定义 。经计算 …，照此规律，则

【知识点】合情推理与演绎推理M1

【答案解析】

求导数分母都是 ，分子是正负相间，并且第一个是1-x，分子为x-n,

所以 。

【思路点拨】根据求导公式找出规律，发现分母不变，分子是正负相间，得到结果。

【题文】15.下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点m，如图①：将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图②：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)，如图③，图③中直线AM与x轴交于点N(n，0)，则m的象就是n，记作 。

下列说法中正确命题的序号是 (填出所有正确命题的序号)

① ② 是奇函数 ③ 在定义域上单调递增

④ 是图像关于点 对称。

【知识点】函数及其表示B1

【答案解析】③④ 由题意①是错误命题，因为当m= 此时M恰好处在左半圆弧的中点上，

此时直线AM的方程为y=x+1，即f( )= ;

②是错误命题，由函数是奇函数，其定义域必关于原点对称，而m∈(0，1)，不是奇函数;

③是正确命题，由图3可以看出，m由0增大到1时，M由A运动到B，此时N由x的负半轴向正半轴运动，由此知，N点的横坐标逐渐变大，故f(x)在定义域上单调递增是正确的;

④是正确命题，由图3可以看出，当M点的位置离中间位置相等时，N点关于Y轴对称，即此时函数值互为相反数，故可知f(x)的图象关于点( ，0)对称综上知，③④是正确命题，

【思路点拨】由题中对映射运算描述，对四个命题逐一判断其真伪，

①m= 此时M恰好处在左半圆弧的中点上，求出直线AM的方程后易得N的横坐标.

②可由偶函数的定义域关于原点对称来确定正误，

③可由图3，由M的运动规律观察出函数值的变化，得出单调性，

④可由图3中圆关于Y轴的对称判断出正误

【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

【题文】16.(本小题满分12分)

已知集合 ，集合 ，

集合 。命题 ,命题

(Ⅰ)若命题p为假命题，求实数a的取值范围。

(Ⅱ)若命题 为真命题，求实数a的取值范围。

【知识点】集合及其运算A1

【答案解析】(Ⅰ)a>3(Ⅱ)0≤a≤3

∵y=x2-2x+a=(x-1)2+a-1≥a-1

∴A={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={y|y≥a-1}，C={x|x2-ax-4≤0}，

(1)由命题p为假命题可得A∩B=∅∴a-1>2∴a>3

(2)∵命题p∧q为真命题命题∴p，q都为真命题即A∩B≠∅且A⊆C.

∴ 解可得0≤a≤3

【思路点拨】由题意可得A={x|1≤x≤2}，B={y|y≥a-1}，C={x|x2-ax-4≤0}，

(1)由命题p为假命题可得A∩B=∅，可求a

(2)由题意可得A∩B≠∅且A⊆C，结合集合之间的基本运算可求a的范围

【题文】17.(本小题满分12分)

已知函数 的导函数。

求函数 的最小值和相应的x值。

若 ，求 。

【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2

【答案解析】(1)最小值为1- ，此时x=kπ- ，k∈Z(2)

(1)∵f(x)= sin(x- )=sinx-cosx

∴f′(x)=cosx+sinx

∵F(x)=[f′(x)]2-f(x)f′(x)，

∴F(x)=(cosx+sinx)2-(cosx+sinx)(sinx-cosx)=cos2x+sin2x+1= sin(2x+ )+1，

其最小值为1- ，此时x=kπ- ，k∈Z，

(2)∵f(x)=2f′(x)，∴cosx+sinx=2(cosx-sinx)，∴tanx=

∴ = = =

【思路点拨】(1)先化简，再求导，再化简F(x)，继而求出最值，

(2)由题意求出tanx= ，化简求值即可.

【题文】18.(本小题满分12分)

已知 为定义在 上的奇函数，当 时，函数解析式为

。

求b的值，并求出 在 上的解析式。

求 在 上的值域。

【知识点】函数的奇偶性B4

【答案解析】(1)f(x)=2x-4x (2) [-2，2]

(1)∵f(x)为定义在[-1，1]上的奇函数，且f(x)在x=0处有意义，

∴f(0)=0，即f(0)=1-b，∴b=1.

设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]∴f(-x)= =4x-2x，f(x)=2x-4x，.

所以f(x)=2x-4x在[0，1]上的解析式为f(x)=2x-4x，

(2)当x∈[0，1]，f(x)=2x-4x=2x-(2x)2，∴设t=2x(t>0)，则g(t)=-t2+t，

∵x∈[0，1]，t∈[1，2]当t=1时，最大值为1-1=0，当t=0时，取最小值-2，

∴函数在[0，1]上取最小值-2，最大值为0，∵f(x)为定义在[-1，1]上的奇函数，

∴函数在[-1，0]上取最小值0，最大值为2，所以f(x)在[-1，1]上的值域[-2，2]

【思路点拨】(1)f(x)为定义在[-1，1]上的奇函数，且f(x)在x=0处有意义，f(0)=0，求出b的值，利用奇函数定义求出解析式.

(2)设t=2x(t>0)，则g(t)=-t2+t，x∈[0，1]，t∈[1，2]转化为二次函数求解，再利用奇性求出整个区间上的最值，即可得到值域.

【题文】19.(本小题满分12分)

设函数 = - ，直线 与函数 图象相邻两交点的距离为 。

求 的值。

在 中，角 所对的边分别是 ，若点 是函数 图像的一个对称中心，且 ，求 面积的最大值。

【知识点】解三角形C8

【答案解析】(1)ω=2(2)

(1)函数f(x)=sin(ωx+ )-2sin2 x+1(ω>0)=sinωxcos +cosωxsin +cosωx = sinωx+ cosωx= sin(ωx+ )，

∵函数的最大值为 ，最小值为- ，直线y=- 与函数f(x)图象相邻两交点的距离为π，可得函数的最小正周期为 =π，求得ω=2.

(2)由于f(x)= sin(2x+ )，故有f(B)= sin(2B+ )=0，∴B= ，或B= .

若B= ，则cosB= = ，化简可得ac=a2+c2-9≥2ac-9，∴ac≤9，

故△ABC面积 ac•sinB的最大值为 ×9× = .

若B= ，则cosB=- = ，化简可得- ac=a2+c2-9≥2ac-9，

∴ac≤9(2- )，故△ABC面积 ac•sinB的最大值为 ×9×(2- )× =

【思路点拨】(1)利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f(x)= sin(ωx+ )，

根据函数的最小正周期为 =π，求得ω的值.

(2)在△ABC中，由f(B)= sin(2B+ )=0，求得B，可得cosB的值，再利用余弦定理、基本不等式求得ac的最大值，可得△ABC面积 ac•sinB的最大值.

【题文】20.(本小题满分13分)

5A级景区沂山为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入 万元之间满足：

，a、b为常数，当x=10万元，y=19.2万元;当x=50万元，y=74.4万元。(参考数据： ， ， )

求 的解析式。

求该景点改造升级后旅游利润 的最大值。(利润=旅游增加值-投入)

【知识点】函数模型及其应用B10

【答案解析】(1)f(x)=- + x-ln (x≥10)(2)24.4万元

(1)由条件可得 ，

解得a=- ，b=1.则f(x)=- + x-ln (x≥10).

(2)由T(x)=f(x)-x=- + x-ln (x≥10)，

则T′(x)=- + - =- ，

令T'(x)=0，则x=1(舍)或x=50，

当x∈(10，50)时，T'(x)>0，因此T(x)在(10，50)上是增函数;

当x>50时，T'(x)<0，因此T(x)在(50，+∞)上是减函数，

故x=50为T(x)的极大值点，也是最大值点，且最大值为24.4万元.

即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为T(50)=24.4万元.

【思路点拨】(1)由条件：“当x=10万元时，y=19.2万元;当x=20万元时，y=35.7万元”列出关于a，b的方程，解得a，b的值即得则求f(x)的解析式;

(2)先写出函数T(x)的解析式，再利用导数研究其单调性，进而得出其最大值，从而解决问题.

【题文】21.(本小题满分14分)

已知函数 = 的图像在点 处的切线为

求函数 的解析式。

当 时，求证： ;

若 对任意的 恒成立，求实数k的取值范围。

【知识点】导数的应用B12

【答案解析】(Ⅰ)f(x)=ex-x2-1(Ⅱ)略(Ⅲ)(-∞，0)

(Ⅰ)f(x)=ex-x2+a，f'(x)=ex-2x.

由已知 ⇒ ，f(x)=ex-x2-1.

(Ⅱ)令φ(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1，φ'(x)=ex-1，由φ'(x)=0，得x=0，

当x∈(-∞，0)时，φ'(x)<0，φ(x)单调递减;

当x∈(0，+∞)时，φ'(x)>0，φ(x)单调递增.

∴φ(x)min=φ(0)=0，从而f(x)≥-x2+x.…(8分)

(Ⅲ)f(x)>kx对任意的x∈(0，+∞)恒成立⇔ >k对任意的x∈(0，+∞)恒成立，

令g(x)= ， x>0，

∴g′(x)= = = .

由(Ⅱ)可知当x∈(0，+∞)时，ex-x-1>0恒成立，令g'(x)>0，得x>1;g'(x)<0，得0

∴g(x)的增区间为(1，+∞)，减区间为(0，1).g(x)min=g(1)=0.

∴k

【思路点拨】(Ⅰ)利用图象在点x=0处的切线为y=bx，求出a，b，即可求函数f(x)的解析式;

(Ⅱ)令φ(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1，确定函数的单调性，可得φ(x)min=φ(0)=0，

即可证明：f(x)≥-x2+x;

(Ⅲ)f(x)>kx对任意的x∈(0，+∞)恒成立⇔ >k对任意的x∈(0，+∞)恒成立，

k