高三数学上学期期末理试卷(汇总三篇)
在考试前要做好准备,练练常规题,把自己的思路展开,切忌考前去在保证正确率的前提下提高解题速度,今天小编就给大家分享一下高三数学,希望大家阅读哦
第一学期高三数学理科期中考试题
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.过双曲线 =1(a>0,b>0)的左焦点F(﹣c,0)(c>0),作圆x2+y2= 的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若 =2 ﹣ ,则双曲线的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
2.在四面体P﹣ABC中,PA=PB=PC=1,∠APB=∠BPC=∠CP A=90°,则该四面体P﹣ABC的外接球的表面积为( )
(A)π(B) π(C)2π(D)3π
3. 下列结论正确的个数是( )
①若 , 则 恒成立;②命题“ ”的否定是“ ”; ③“命 题 为真”是“命题 为真”的充分不必要条件.
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
4.已知平面直角坐标内的向量 ,若该平面内不是所有的向量都能写成 ( 的形式,则 的值为( )
(A) (B) (C)3 (D)—3
5. 下列四个图中,函数 的图象可能是( )
6. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是 ,且 则 = ( )
(A) (B) (C) (D)
7. 已知等差数列 前 项为 ,若 ,则 ( )
(A) (B) (C ) (D)
8.设函 数 ,其中 ,则 的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
9. 正三角形ABC内一点M满足 , ,则 的值为( )
(A) (B) (C) (D)
10 . 已知函数 的导函数为 ,若使得 = 成立的 <1,则实数 的取值范围为 ( )
(A)( , ) (B)(0, ) (C)( , ) (D)(0, )
11. 已知数列 ,给定 ,若对任意正整数 ,恒有 ,则 的最小值为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
12. 设函数 .若存在 的极值点 满足 ,则m的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
二.填空题: 本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13. 与向量 垂直且模长为 的向量为 .
14. 已知递增的等差数列 满足 ,则 .
15. 在 中,角 的对边分别为 ,已知 ,且 ,则 为 .
16.已知函数 ,其中 。若函数 在定义域内有零点,则实数 的取值范围为 .
三.解答题:本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
在 中,角 对边分别为 ,且 .
(Ⅰ)求角 ;
(Ⅱ) 若 ,求 周长 的取值 范围.
18.(本小题满分12分)
已知向量 , 满足 , ,函数 • .
(Ⅰ)将 化成 的形式;
(Ⅱ)求函数 的单调递减区间;
(Ⅲ) 求函数 在 的值域 .
19.(本小题满分12分)
已知数列 的前 项和 ( ),数列 的前 项和 ( ).
(Ⅰ)求数列 的前 项和;
(Ⅱ)求数列 的前 项和.
20.(本小题满分12分)
已知 中,
, 为角分线.
(Ⅰ)求 的长度;
(Ⅱ)过点 作直线交 于不同两点 ,且满足 ,求证: .
21.(本小题满分12分)
已知函数
(1) 求 的单调区间和极值;
(2)若对于任意的 ,都存在 ,使得 ,求 的取值范围.
22.(本小题满分12分)
已知函数 .
(I)若 函数 在区间 上都是单调函数且它们的单调性相同,求实数 的取值范围;
(II)若 ,设 ,求 证:当 时,不等式 成立.
答案:
1-12 C DBDC DAADA AC
13.
14. 15.6 16.
17.(1)由正弦定理得 ,得
(2)由正弦定理得
所以
周长 或者用均值不等式
18.(1) ,周期为 (2) (3)
19. (1) (2)
20.(1)由角分线定理 ,两边平方可得
(2) ,所以
21解(1)由已知有 令 ,解得 或 ,列表如下:
的增区间是 ,减区间 。当 时, 取 极小值0,当 时, 取极大值
(2)由 及(1)知,当 时, ;当 时,
设集合 , ,则对任意的 ,都存在 ,使得 等价于 ,显然
当 即 时,由 可知 而 ,不满足 ;
当 即 时,有 且此时 在 递减,
,由 ,有 在 上的取值范围包含 ;
当 即 时有 且此时 在 递减,
不满足
综上,
22.解:(I) ,
∵函数 在区间 上都是单调函数且它们的 单调性相同,
∴当 时, 恒成立,
即 恒成立,
∴ 在 时恒成立,或 在 时恒成立,
∵ ,∴ 或 ……………………………………6
(II) ,
∵ 定义域是 , ,即
∴ 在 是增函数,在 上是减函数,在 是增函数
∴当 时, 取极大值 ,
当 时, 取极小值 ,
∵ ,∴
设 ,则 ,
∴ ,∵ ,∴
∴ 在 是增函数,∴
∴ 在 也是增函数
∴ ,即 ,
而 ,∴
∴当 时,不等式 成立. ……………………………12
上学期高三理科数学期中联考试卷
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的
1.若复数 满足 ,则 的共轭复数的虚部是( )
2.已知全集为 ,集合 , ,则集合 ( )
3.若幂函数 的图象不过原点,则 的取值是( )
4.设 ,则 是 的( )
充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分又不必要条件
5.已知向量 , , ,若 ,则 ( )
6.已知数列 满足 , ,则 ( )
7.已知 为区域 内的任意一点,当该区域的面积为 时, 的最大值是( )
8.设 , , ,则( )
9.数列 满足 ,对任意的 都有 ,则 ( )
10.一个四棱锥的三视图如图所示,则这个四棱锥的表面积是( )
11.在直三棱柱 中,若 , , , , 为 的中点, 为 的中点, 在线段 上, .则异面直线 与 所成角的正弦值为( )
12.对于任意实数 ,定义 ,定义在 上的偶函数 满足 ,且当 时, ,若方程 恰有两个根,则 的取值范围是( )
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案写在答题卡上相应的位置
13.
14.在 中,角 的对边分别为 ,若 ,则 _______________
15.已知 ,满足 ,则 的取值范围________
16.已知三棱柱 的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为 , , ,则此球的表面积等于_______________.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17.(本小题满分10分)
极坐标系的极点为直角坐标系 的原点,极轴为 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线 的极坐标方程为 .
(1)求 的直角坐标方程;
(2)直线 ( 为参数)与曲线 交于 两点,与 轴交于 ,求 .
18.(本小题满分12分)
在△ 中, 所对的边分别为 , , .
(1)求 ;
(2)若 ,求 .
19.(本小题满分12分)
已知数列 的前 项和 满足: ,数列 满足:对任意 有
(1)求数列 与数列 的通项公式;
(2)记 ,数列 的前 项和为 ,证明:当 时,
20.(本小题满分12分)
如图, 是直角梯形, , , ,
又 , ,直线 与直线 所成的角为
(1)求证:平面 ⊥平面 ;
(2)求三棱锥 的体积.
21.(本小题满分12分)
已知各项均不相等的等差数列 的前五项和 ,且 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 为数列 的前 项和,若存在 ,使得 成立.
22.(本小题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ)当 时,求函数 的极值;
(Ⅱ) 时,讨论 的单调性;
(Ⅲ)若对任意的 恒有 成立,
求实数 的取值范围.
高三理科数学期中考试答案
选择:1-5 CDBAD,6-10 CABBA, 11-12 CA
填空:
解答题:17(1)由 得 ,得直角坐标方程为 ,即 ;
(2)将 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,化简得 ,点E对应的参数 ,设点A,B对应的参数分别为 ,则 , ,所以 .
18.(1)因为 ,即 ,
所以 ,
即 ,
得 .所以 ,或 (不成立).
即 , 得 ,所以. .
又因为 ,则 ,或 ,(舍去) 得 .
(2) ,又 , 即 ,
得
19.(1)当 时, ,所以 , 当 时, , 又 成立
所以数列 是以 ,公比 的等比数列,通项公式为 .由题意有 ,得 .
当 时,
,验证首项满足,于是得 故数列 的通项公式为 .
(2) 证明: = = ,所以 = ,
错位相减得 = ,所以 ,即 ,
下证:当 时, ,令 = , = =
当 时, ,即当 时, 单调减,又 ,
所以当 时, ,即 ,即当 时,
20.
(1) ,
(2)
21.(1)设 的公差为 ,由已知得
即 , ,故
(2)
∵存在 ,使得 成立
∴存在 ,使得 成立,即 有解
而 , 时取等号
.
22.试题解析:(Ⅰ)函数 的定义域为 .
,令 ,
得 ; (舍去). 2分
当 变化时, 的取值情况如下:
— 0
减 极小值 增
所以,函数 的极小值为 ,无极大值. 4分
(Ⅱ) ,
令 ,得 , , 5分
当 时, ,函数 的在定义域 单调递增; 6分
当 时,在区间 , ,上 , 单调递减,
在区间 ,上 , 单调递增; 7分
当 时,在区间 , ,上 , 单调递减,
在区间 ,上 , 单调递增. 8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知当 时,函数 在区间 单调递减;
所以,当 时, ,
问题等价于:
对任意的 ,恒有 成立, 1即 , ,所以 12分
关于高三数学上期中质量检测
第Ⅰ卷(共50分)
一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
【题文】1.集合A={0,2,a},B={1,2, },若A∪B={-4,0,1,2,16},则a的值为()
A.1 B.2 C.-4 D.4
【知识点】集合及其运算A1
【答案解析】C ∵集合A={0,2,a},B={1,2,a2},A∪B={-4,0,1,2,16},
∴a∈{-4,16},a2∈{-4,16},故a=-4,或a2=-4(舍去),故a=-4,故选C
【思路点拨】由A={0,2,a},B={1,2,a2},若A∪B={-4,0,1,2,16},可得:a=-4,或a2=-4,讨论后,可得答案.
【题文】2.
A..2 B.-2 C.6 D.-6
【知识点】函数的奇偶性与周期性B4
【答案解析】B ∵函数f(x)=ax5-bx3+cx,∴f(-x)=-f(x)∵f(-3)=2,∴f(3)=-2,故选B
【思路点拨】函数f(x)=ax5-bx3+cx,可判断奇函数,运用奇函数定义式求解即可.
【题文】3
【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切C5
【答案解析】A 由三角函数的定义可得cosα= ,又∵cosα= x,∴ = x,
又α是第二象限角,∴x<0,故可解得x=-3∴cosα=- ,sinα= = ,
∴tanα= =- ∴tan2α= = 故选A
【思路点拨】由三角函数的定义可得x的方程,解方程可得cosα,再由同角三角函数的基本关系可得tanα,由二倍角的正切公式可得.
【题文】4.
【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2
【答案解析】D ∵ =(2, 3), =(-1, 2)
∴m +4 =(2m-4,3m+8); -2 =(4,-1)∵(m +4 )∥( -2 )∴4-2m=4(3m+8)解得m=-2故答案为D
【思路点拨】利用向量的坐标运算求出两个向量的坐标;利用向量共线的充要条件列出方程求出m的值.
【题文】5.若定义在R上的函数 满足 且 则对于任意的 ,都有
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【知识点】函数的单调性与最值B3
【答案解析】C ∵ ∴f(x)=f(5-x),
即函数y=f(x)的图象关于直线x= 对称.又因(x- )f′(x)>0,
故函数y=f(x)在( ,+∞)上是增函数.再由对称性可得,函数y=f(x)在(-∞, )上是减函数.
∵任意的x1
∴x1+x2<5.反之,若 x1+x2<5,则有x2 - < -x1,故x1离对称轴较远,x2 离对称轴较近,
由函数的图象的对称性和单调性,可得f(x1)>f(x2).
综上可得,“任意的x1
【思路点拨】由已知中 可得函数y=f(x)的图象关于直线x= 对称,
由(x- )f′(x)<0可得函数y=f(x)在( ,+∞)上是增函数,在(-∞, )上是减函数,
结合函数的图象和性质和充要条件的定义,可判断f(x1)>f(x2)和x1+x2>5的充要关系,得到答案.
【题文】6.如图,阴影区域的边界是直线y=0,x=2,x=0及曲线
,则这个区域的面积是
A 4 B 8 C D
【知识点】定积分与微积分基本定理B13
【答案解析】B 这个区域的面积是 3x2dx= =23-0=8,故选B.
【思路点拨】将阴影部分的面积是函数在[0,2]上的定积分的值,再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案.
【题文】7. ,三角形的面积 ,则三角形外接圆的半径为
【知识点】解三角形C8
【答案解析】B △ABC中,∵b=2,A=120°,三角形的面积S= = bc•sinA=c• ,
∴c=2=b,故B= (180°-A)=30°.再由正弦定理可得 =4,
∴三角形外接圆的半径R=2,故选B.
【思路点拨】由条件求得 c=2=b,可得B的值,再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值.
【题文】8.已知 ,若 是 的最小值,则 的取值范围为
A.[-1,2] B.[-1,0] C.[1,2] D.[0,2]
【知识点】函数的单调性与最值B3
【答案解析】D 法一:排除法.当t=0时,结论成立,排除C;
当t=-1时,f(0)不是最小值,排除A、B,选D.
法二:直接法.由于当x>0时,f(x)=x+ +t在x=1时取得最小值为2+t,由题意当x≤0时,f(x)=(x-t)2,若t≥0,此时最小值为f(0)=t2,故t2≤t+2,
即t2-t-2≤0,解得-1≤t≤2,此时0≤t≤2,若t<0,则f(t)
【思路点拨】法1利用排除法进行判断,法2根据二次函数的图象以及基本不等式的性质即可得到结论.
【题文】9.已知
【知识点】导数的应用B12
【答案解析】A 由题意得 为奇函数,所以排除B D,当x= , ,所以排除D,故选A
【思路点拨】求出导数判断奇偶性,然后利用特殊值求出结果。
【题文】10.已知 ,符号 表示不超过x的最大整数,若函数 有且仅有3个零点,则 的取值范围是( )
【知识点】函数与方程B9
【答案解析】B 关于x的方程 -a=0等价于[x]=ax.分x>0和x<0的情况讨论,显然有a≥0.
若x>0,此时[x]≥0;若[x]=0,则 =0;若[x]≥1,因为[x]≤x<[x]+1,故 < ≤1,
即
若x<-1,因为[x]≤x<-1,[x]≤x<[x]+1,故1≤ < ,
即1≤a< ,且 <随着[x]的减小而增大.为使函数f(x)= -a有且仅有3个零点,
只能使[x]=1,2,3;或[x]=-1,-2,-3.若[x]=1,有
若[x]=3,有 1;
若[x]=-2,有1≤a<2;若[x]=-3,有1≤a< ,若[x]=-4,有1≤a<
综上所述
【思路点拨】关于x的方程 -a=0等价于[x]=ax.分x>0和x<0的情况讨论,
确定为使函数f(x)= -a有且仅有3个零点,只能使[x]=1,2,3;或[x]=-1,-2,-3,即可得出结论.
第Ⅱ卷 (共100分)
【题文】二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答案纸的相应位置上。
【题文】11.将函数 的图像向右平移 个单位后得到函数 -的图像
【知识点】函数 的图象与性质C4
【答案解析】y=3sin3x 将函数y=3sin(3x+ )的图象向右平移 个单位,
所得图象对应的函数解析式为:y=3sin[3(x- )+ ]=3sin3x.故答案为y=3sin3x.
【思路点拨】直接在原函数解析式中取x=x- ,整理后得答案
【题文】12.已知 ,且 的夹角为锐角,则 的取值范围是 。
【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2
【答案解析】(-∞,- )∪(- , )
由题意可得 >0,且 与 不共线,即-3λ+10>0,且 ≠ ,
解得 λ∈(-∞,- )∪(- , ),故答案为:(-∞,- )∪(- , ).
【思路点拨】由题意可得 • >0,且 与 不共线,即-3λ+10>0,且 ≠ ,
求出λ的取值范围.
【题文】13.已知函数 ,若直线 对任意的 都不是曲线 的切线,则 的取值范围为 。
【知识点】导数的应用B12
【答案解析】a< f(x)=x3-3ax(a∈R),则f′(x)=3x2-3a
若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,
则直线的斜率为-1,f(x)′=3x2-3a与直线x+y+m=0没有交点,
又抛物线开口向上则必在直线上面,即最小值大于直线斜率,则当x=0时取最小值,-3a>-1,
则a的取值范围为a< 即答案为a< .
【思路点拨】首先分析对任意的m直线x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线的含义,即可求出函数f(x)=x3-3ax(a∈R)的导函数,使直线与其不相交即可.
【题文】14.已知 ,定义 。经计算 …,照此规律,则
【知识点】合情推理与演绎推理M1
【答案解析】
求导数分母都是 ,分子是正负相间,并且第一个是1-x,分子为x-n,
所以 。
【思路点拨】根据求导公式找出规律,发现分母不变,分子是正负相间,得到结果。
【题文】15.下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程:区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点m,如图①:将线段AB围成一个圆,使两端点A,B恰好重合,如图②:再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在y轴上,点A的坐标为(0,1),如图③,图③中直线AM与x轴交于点N(n,0),则m的象就是n,记作 。
下列说法中正确命题的序号是 (填出所有正确命题的序号)
① ② 是奇函数 ③ 在定义域上单调递增
④ 是图像关于点 对称。
【知识点】函数及其表示B1
【答案解析】③④ 由题意①是错误命题,因为当m= 此时M恰好处在左半圆弧的中点上,
此时直线AM的方程为y=x+1,即f( )= ;
②是错误命题,由函数是奇函数,其定义域必关于原点对称,而m∈(0,1),不是奇函数;
③是正确命题,由图3可以看出,m由0增大到1时,M由A运动到B,此时N由x的负半轴向正半轴运动,由此知,N点的横坐标逐渐变大,故f(x)在定义域上单调递增是正确的;
④是正确命题,由图3可以看出,当M点的位置离中间位置相等时,N点关于Y轴对称,即此时函数值互为相反数,故可知f(x)的图象关于点( ,0)对称综上知,③④是正确命题,
【思路点拨】由题中对映射运算描述,对四个命题逐一判断其真伪,
①m= 此时M恰好处在左半圆弧的中点上,求出直线AM的方程后易得N的横坐标.
②可由偶函数的定义域关于原点对称来确定正误,
③可由图3,由M的运动规律观察出函数值的变化,得出单调性,
④可由图3中圆关于Y轴的对称判断出正误
【题文】三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
【题文】16.(本小题满分12分)
已知集合 ,集合 ,
集合 。命题 ,命题
(Ⅰ)若命题p为假命题,求实数a的取值范围。
(Ⅱ)若命题 为真命题,求实数a的取值范围。
【知识点】集合及其运算A1
【答案解析】(Ⅰ)a>3(Ⅱ)0≤a≤3
∵y=x2-2x+a=(x-1)2+a-1≥a-1
∴A={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},B={y|y≥a-1},C={x|x2-ax-4≤0},
(1)由命题p为假命题可得A∩B=∅∴a-1>2∴a>3
(2)∵命题p∧q为真命题命题∴p,q都为真命题即A∩B≠∅且A⊆C.
∴ 解可得0≤a≤3
【思路点拨】由题意可得A={x|1≤x≤2},B={y|y≥a-1},C={x|x2-ax-4≤0},
(1)由命题p为假命题可得A∩B=∅,可求a
(2)由题意可得A∩B≠∅且A⊆C,结合集合之间的基本运算可求a的范围
【题文】17.(本小题满分12分)
已知函数 的导函数。
求函数 的最小值和相应的x值。
若 ,求 。
【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2
【答案解析】(1)最小值为1- ,此时x=kπ- ,k∈Z(2)
(1)∵f(x)= sin(x- )=sinx-cosx
∴f′(x)=cosx+sinx
∵F(x)=[f′(x)]2-f(x)f′(x),
∴F(x)=(cosx+sinx)2-(cosx+sinx)(sinx-cosx)=cos2x+sin2x+1= sin(2x+ )+1,
其最小值为1- ,此时x=kπ- ,k∈Z,
(2)∵f(x)=2f′(x),∴cosx+sinx=2(cosx-sinx),∴tanx=
∴ = = =
【思路点拨】(1)先化简,再求导,再化简F(x),继而求出最值,
(2)由题意求出tanx= ,化简求值即可.
【题文】18.(本小题满分12分)
已知 为定义在 上的奇函数,当 时,函数解析式为
。
求b的值,并求出 在 上的解析式。
求 在 上的值域。
【知识点】函数的奇偶性B4
【答案解析】(1)f(x)=2x-4x (2) [-2,2]
(1)∵f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,且f(x)在x=0处有意义,
∴f(0)=0,即f(0)=1-b,∴b=1.
设x∈[0,1],则-x∈[-1,0]∴f(-x)= =4x-2x,f(x)=2x-4x,.
所以f(x)=2x-4x在[0,1]上的解析式为f(x)=2x-4x,
(2)当x∈[0,1],f(x)=2x-4x=2x-(2x)2,∴设t=2x(t>0),则g(t)=-t2+t,
∵x∈[0,1],t∈[1,2]当t=1时,最大值为1-1=0,当t=0时,取最小值-2,
∴函数在[0,1]上取最小值-2,最大值为0,∵f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,
∴函数在[-1,0]上取最小值0,最大值为2,所以f(x)在[-1,1]上的值域[-2,2]
【思路点拨】(1)f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,且f(x)在x=0处有意义,f(0)=0,求出b的值,利用奇函数定义求出解析式.
(2)设t=2x(t>0),则g(t)=-t2+t,x∈[0,1],t∈[1,2]转化为二次函数求解,再利用奇性求出整个区间上的最值,即可得到值域.
【题文】19.(本小题满分12分)
设函数 = - ,直线 与函数 图象相邻两交点的距离为 。
求 的值。
在 中,角 所对的边分别是 ,若点 是函数 图像的一个对称中心,且 ,求 面积的最大值。
【知识点】解三角形C8
【答案解析】(1)ω=2(2)
(1)函数f(x)=sin(ωx+ )-2sin2 x+1(ω>0)=sinωxcos +cosωxsin +cosωx = sinωx+ cosωx= sin(ωx+ ),
∵函数的最大值为 ,最小值为- ,直线y=- 与函数f(x)图象相邻两交点的距离为π,可得函数的最小正周期为 =π,求得ω=2.
(2)由于f(x)= sin(2x+ ),故有f(B)= sin(2B+ )=0,∴B= ,或B= .
若B= ,则cosB= = ,化简可得ac=a2+c2-9≥2ac-9,∴ac≤9,
故△ABC面积 ac•sinB的最大值为 ×9× = .
若B= ,则cosB=- = ,化简可得- ac=a2+c2-9≥2ac-9,
∴ac≤9(2- ),故△ABC面积 ac•sinB的最大值为 ×9×(2- )× =
【思路点拨】(1)利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f(x)= sin(ωx+ ),
根据函数的最小正周期为 =π,求得ω的值.
(2)在△ABC中,由f(B)= sin(2B+ )=0,求得B,可得cosB的值,再利用余弦定理、基本不等式求得ac的最大值,可得△ABC面积 ac•sinB的最大值.
【题文】20.(本小题满分13分)
5A级景区沂山为提高经济效益,现对某一景点进行改造升级,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值y万元与投入 万元之间满足:
,a、b为常数,当x=10万元,y=19.2万元;当x=50万元,y=74.4万元。(参考数据: , , )
求 的解析式。
求该景点改造升级后旅游利润 的最大值。(利润=旅游增加值-投入)
【知识点】函数模型及其应用B10
【答案解析】(1)f(x)=- + x-ln (x≥10)(2)24.4万元
(1)由条件可得 ,
解得a=- ,b=1.则f(x)=- + x-ln (x≥10).
(2)由T(x)=f(x)-x=- + x-ln (x≥10),
则T′(x)=- + - =- ,
令T'(x)=0,则x=1(舍)或x=50,
当x∈(10,50)时,T'(x)>0,因此T(x)在(10,50)上是增函数;
当x>50时,T'(x)<0,因此T(x)在(50,+∞)上是减函数,
故x=50为T(x)的极大值点,也是最大值点,且最大值为24.4万元.
即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为T(50)=24.4万元.
【思路点拨】(1)由条件:“当x=10万元时,y=19.2万元;当x=20万元时,y=35.7万元”列出关于a,b的方程,解得a,b的值即得则求f(x)的解析式;
(2)先写出函数T(x)的解析式,再利用导数研究其单调性,进而得出其最大值,从而解决问题.
【题文】21.(本小题满分14分)
已知函数 = 的图像在点 处的切线为
求函数 的解析式。
当 时,求证: ;
若 对任意的 恒成立,求实数k的取值范围。
【知识点】导数的应用B12
【答案解析】(Ⅰ)f(x)=ex-x2-1(Ⅱ)略(Ⅲ)(-∞,0)
(Ⅰ)f(x)=ex-x2+a,f'(x)=ex-2x.
由已知 ⇒ ,f(x)=ex-x2-1.
(Ⅱ)令φ(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1,φ'(x)=ex-1,由φ'(x)=0,得x=0,
当x∈(-∞,0)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增.
∴φ(x)min=φ(0)=0,从而f(x)≥-x2+x.…(8分)
(Ⅲ)f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立⇔ >k对任意的x∈(0,+∞)恒成立,
令g(x)= , x>0,
∴g′(x)= = = .
由(Ⅱ)可知当x∈(0,+∞)时,ex-x-1>0恒成立,令g'(x)>0,得x>1;g'(x)<0,得0
∴g(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(0,1).g(x)min=g(1)=0.
∴k
【思路点拨】(Ⅰ)利用图象在点x=0处的切线为y=bx,求出a,b,即可求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)令φ(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1,确定函数的单调性,可得φ(x)min=φ(0)=0,
即可证明:f(x)≥-x2+x;
(Ⅲ)f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立⇔ >k对任意的x∈(0,+∞)恒成立,
k