第八节 直线与圆锥曲线问题(教师版)
第八节直线与圆锥曲线问题知识点归纳1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离;相交有两个交点(特殊情况除外),相切有一个交点,相离无交点.(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).①当a≠0时,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有Δ>0时,直线l与曲线C相交;Δ=0时,直线l与曲线C相切;Δ<0时,直线l与曲线C相离.②当a=0时,即得到一个一次方程,则l与C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.2.圆锥曲线的弦长公式设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=eq\r(1+k2)|x1-x2|=eq\r((1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2])或|AB|=eq\r(1+\f(1,k2))|y1-y2|=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,k2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((y1+y2)2-4y1y2))),k为直线斜率且k≠0.[常用结论]与椭圆有关的结论:(1)通径的长度为eq\f(2b2,a);(2)过原点的直线交椭圆于A,B两点,P是椭圆上异于A,B的任一点,则kPA·kPB=-eq\f(b2,a2);(3)若点P(x0,y0)在椭圆上,过点P的切线方程为eq\f(x0x,a2)+eq\f(y0y,b2)=1.题型归类题型一直线与圆锥曲线位置关系的判断例1已知直线l:y=2x+m,椭圆C:eq\f(x2,4)+eq\f(y2,2)=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个不同的公共点;(2)有且只有一个公共点.解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=2x+m, ①,\f(x2,4)+\f(y2,2)=1,②))将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.③方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.(1)当Δ>0,即-3eq\r(2)b>0).连接F1A,令|F2B|=m,则|AF2|=2m,|BF1|=3m.由椭圆的定义知,4m=2a,得m=eq\f(a,2),故|F2A|=a=|F1A|,则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图,不妨设A(0,-b),由F2(1,0),eq\o(AF2,\s\up6(→))=2eq\o(F2B,\s\up6(→)),得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),\f(b,2))).由点B在椭圆上,得eq\f(\f(9,4),a2)+eq\f(\f(b2,4),b2)=1,得a2=3,b2=a2-c2=2,椭圆C的方程为eq\f(x2,3)+eq\f(y2,2)=1.角度2 中点弦例3已知P(1,1)为椭圆eq\f(x2,4)+eq\f(y2,2)=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,则此弦所在的直线方程为________________.答案 x+2y-3=0解析 法一 易知此弦所在直线的斜率存在,∴设斜率为k,弦所在的直线与椭圆相交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则eq\f(xeq\o\al(2,1),4)+eq\f(yeq\o\al(2,1),2)=1,①eq\f(xeq\o\al(2,2),4)+eq\f(yeq\o\al(2,2),2)=1,②①-②得eq\f((x1+x2)(x1-x2),4)+eq\f((y1+y2)(y1-y2),2)=0.∵x1+x2=2,y1+y2=2,∴eq\f(x1-x2,2)+y1-y2=0.又x2-x1≠0,∴k=eq\f(y1-y2,x1-x2)=-eq\f(1,2).经检验,k=-eq\f(1,2)满足题意.∴此弦所在的直线方程为y-1=-eq\f(1,2)(x-1),即x+2y-3=0.法二 易知此弦所在直线的斜率存在,∴设其方程为y-1=k(x-1),弦所在的直线与椭圆相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y-1=k(x-1),,\f(x2,4)+\f(y2,2)=1,))消去y得,(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0,∴x1+x2=eq\f(4k(k-1),2k2+1).又∵x1+x2=2,∴eq\f(4k(k-1),2k2+1)=2,解得k=-eq\f(1,2).经检验,k=-eq\f(1,2)满足题意.故此弦所在的直线方程为y-1=-eq\f(1,2)(x-1),即x+2y-3=0.角度3 一般弦例4如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2),过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时,|AB|=4.(1)求椭圆的方程;(2)若|AB|+|CD|=eq\f(48,7),求直线AB的方程.解 (1)由题意知e=eq\f(c,a)=eq\f(1,2),2a=4.又a2=b2+c2,解得a=2,b=eq\r(3),所以椭圆方程为eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时,另一条弦所在直线的斜率不存在,由题意知|AB|+|CD|=7,不满足条件.②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),则直线CD的方程为y=-eq\f(1,k)(x-1).将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=eq\f(8k2,3+4k2),x1·x2=eq\f(4k2-12,3+4k2),所以|AB|=eq\r(k2+1)|x1-x2|=eq\r(k2+1)·eq\r((x1+x2)2-4x1x2)=eq\f(12(k2+1),3+4k2).同理,|CD|=eq\f(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)+1)),3+\f(4,k2))=eq\f(12(k2+1),3k2+4).所以|AB|+|CD|=eq\f(12(k2+1),3+4k2)+eq\f(12(k2+1),3k2+4)=eq\f(84(k2+1)2,(3+4k2)(3k2+4))=eq\f(48,7),解得k=±1,所以直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.感悟提升 1.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系:直线与椭圆或双曲线方程联立,消元,利用根与系数关系表示中点;(2)点差法:利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程,作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标,可求弦所在直线的斜率.2.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下几种:①|AB|=eq\r(1+k2)|x1-x2|=eq\r((1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]);②|AB|=eq\r(1+\f(1,k2))|y1-y2|(k≠0)=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,k2)))[(y1+y2)2-4y1y2]).题型三圆锥曲线的切线问题例5已知椭圆eq\f(x2,25)+eq\f(y2,9)=1,直线l:4x-5y+40=0,椭圆上是否存在一点,使得它到直线l的距离最小或最大?并求最小值与最大值?解 设与直线l:4x-5y+40=0平行的直线l′:4x-5y+m=0,当直线l′与椭圆相切于A点时,此时A到l距离最小;当直线l′与椭圆相切于B点时,此时B到l的距离最大.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x-5y+m=0,,\f(x2,25)+\f(y2,9)=1,))消去y得25x2+8mx+m2-225=0,Δ=64m2-100(m2-225)=0,∴m=±25.当直线经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-4,\f(9,5)))时,l1:4x-5y+25=0,此时距离最小,dmin=eq\f(|40-25|,\r(41))=eq\f(15\r(41),41).当直线经过点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4,-\f(9,5)))时,l2:4x-5y-25=0,此时距离最大,dmax=eq\f(|40+25|,\r(41))=eq\f(65\r(41),41).感悟提升 1.处理圆锥曲线的切线问题的常用方法为代数法,即联立直线与圆锥曲线的方程,根据Δ=0来求解.2.(1)过椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为eq\f(x0x,a2)+eq\f(y0y,b2)=1;(2)过双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为eq\f(x0x,a2)-eq\f(y0y,b2)=1;(3)过抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为y0y=p(x+x0).题型四 直线与圆锥曲线的综合例6已知椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2),短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点,若△ABO的面积为eq\f(3,5)(O为坐标原点),求直线l的方程.解 (1)由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)=\f(\r(3),2),,2b=2,,c2=a2-b2,))解得a2=4,b2=1,故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)+y2=1.(2)由