第十一讲 圆锥曲线中的最值与范围问题(原卷版)
第十一节圆锥曲线中的最值与范围问题题型归纳题型一 最值问题角度1 基本不等式法求最值例1(12分)(2023·青岛调研)已知椭圆Γ:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(6),3),左、右焦点分别为F1,F2,过F2作不平行于坐标轴的直线交Γ于A,B两点,且△ABF1的周长为4eq\r(6).(1)求Γ的方程;(2)若AM⊥x轴于点M,BN⊥x轴于点N,直线AN与BM交于点C,求△ABC面积的最大值.[满分规则]❶得步骤分:由①②③准确运用椭圆定义,求出a,b,c可分别得1分,第一问共4分,由④联立椭圆和直线方程,写出根与系数关系式得1分,⑤设直线方程可得1分;❷得关键分:由⑥联立两直线求出C点横坐标得2分,⑦表示△ABC面积得1分;❸得计算分:由⑧通过根与系数关系化简面积表达式得1分,由⑨利用换元后,由基本不等式求出最值得3分.训练1已知点A(0,-2),椭圆E:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2),F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为eq\f(2\r(3),3),O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.角度2 函数法求最值例2在平面直角坐标系中,O为坐标原点,圆O交x轴于点F1,F2,交y轴于点B1,B2,以B1,B2为顶点,F1,F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(\r(2),2))).(1)求椭圆E的标准方程;(2)设经过点(-2,0)的直线l与椭圆E交于M,N两点,求△F2MN的面积的最大值.感悟提升 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.训练2(2023·济南联考节选)已知抛物线C:y2=4x,F为焦点,点Q在直线x=-1上,点P是抛物线上一点,且P点在第一象限,满足FP⊥FQ,记直线OP,OQ,PQ的斜率分别为k1,k2,k3,求k1·k2·k3的最小值.题型二 范围问题例3(2023·辽宁省六校联考)在平面直角坐标xOy中,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆:eq\f(x2,2)+y2=1的右焦点重合.(1)求抛物线C的方程及其准线方程;(2)记P(4,0),若抛物线C上存在两点B,D,且直线BD的斜率存在,使△PBD为以P为顶点的等腰三角形,求直线BD的斜率的取值范围.故直线BD的斜率的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2),+∞)).感悟提升 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.训练3(2023·武汉调研)过双曲线Γ:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A,B两点,设Γ的右焦点为F2.(1)若△ABF2可以是边长4的正三角形,求此时Γ的标准方程;(2)若存在直线l,使得AF2⊥BF2,求Γ的离心率的取值范围.课时训练一、单选题1.设点A,,的坐标分别为,,,动点满足:,给出下列四个结论:①点P的轨迹方程为;②;③存在4个点P,使得的面积为;④.则正确结论的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.42.设、分别是椭圆的左、右焦点,若是该椭圆上的一个动点,则的最大值和最小值分别为( )A.与 B.与 C.与 D.与3.已知M,N是椭圆上关于原点O对称的两点,P是椭圆C上异于M,N的点,且的最大值是,则椭圆C的离心率是( )A. B. C. D.4.已知,,若圆上存在点P,使得,则实数r的取值范围是( )A.[3,5] B.(0,5] C.[4,5] D.[16,25]5.已知曲线:,为上一点,①的取值范围为; ②的取值范围为;③不存在点,使得; ④的取值范围为.则上述命题正确的个数是( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.设双曲线:的离心率为,过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于,,则有.若,为的中点,则直线斜率的最小值是( )A. B. C. D.7.已知是抛物线上的一个动点,则点到直线和的距离之和的最小值是( )A.3 B.4 C. D.68.已知圆过点,且与直线相切,是圆心的轨迹上的动点,为直线上的动点,则的最小值为( )A. B. C. D.二、多选题9.已知双曲线的左,右焦点分别为,,点P是双曲线C的右支上一点,过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M,N,则( )A.的最小值为8B.若直线l经过,且与双曲线C交于另一点Q,则的最小值为6C.为定值D.若直线l与双曲线C相切,则点M,N的纵坐标之积为10.双曲线具有如下光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得,过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知,分别为双曲线的左,右焦点,过右支上一点作直线交轴于点,交轴于点,则( )A.的渐近线方程为 B.C.过点作,垂足为,则 D.四边形面积的最小值为三、解答题11.在平面直角坐标系中,已知,分别是椭圆C:的左焦点和右焦点.(1)设T是椭圆C上的任意一点,求取值范围;(2)设,直线l与椭圆C交于B,D两点,若是以A为直角顶点的等腰直角三角形,求直线l的方程.12.在平面直角坐标系中,已知椭圆C:.(1)设是椭圆上的一个动点,求的取值范围;(2)设与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点,试问:是否存在满足条件的直线,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由.13.已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点,直线分别交于(不同于点),直线分别交轴于两点.(1)设,求证:是定值;(2)求的取值范围.14.已知双曲线:的离心率为;(1)求此双曲线的渐近线方程;(2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点,,求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围;15.已知双曲线的方程为:,左右焦点分别为,是线段的中点,过点作斜率为的直线,l与双曲线的左支交于两点,连结与双曲线的右支分别交于两点.(1)设直线的斜率为,求的取值范围.(2)求证:直线过定点,并求出定点坐标.16.已知O为坐标原点,双曲线C:的渐近线方程为.(1)求C的标准方程;(2)过点的直线l交C于M,N两点,交x轴于Q点.若,问是否存在?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.17.双曲线的左顶点为,焦距为4,过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点,且是直角三角形.(1)求双曲线的方程;(2)、是右支上的两动点,设直线、的斜率分别为、,若,求点到直线的距离的取值范围.18.求抛物线:上的点到直线:的最小距离.19.如图,已知椭圆,抛物线,点A是椭圆与抛物线的一个交点,过点A的直线l交椭圆于点B,交抛物线于点M(B、M不同于A).(1)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,求p的值;(2)若直线l过椭圆的右焦点,求面积的最大值及此时直线l的方程;(3)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.20.已知为抛物线上不同两点,为坐标原点,,过作于,且点.(1)求直线的方程及抛物线的方程;(2)若直线与直线关于原点对称,为抛物线上一动点,求到直线的距离最短时,点的坐标.