第六节 双曲线方程与性质(教师版)
第六节双曲线的方程与性质知识框架知识点归纳1.双曲线的定义(1)平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.(2)其数学表达式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.①若ac,则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)eq\f(y2,a2)-eq\f(x2,b2)=1(a>0,b>0)图形性质范围x≥a或x≤-a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±eq\f(b,a)xy=±eq\f(a,b)x离心率e=eq\f(c,a),e∈(1,+∞)实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长度|A1A2|=2a;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长度|B1B2|=2b;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2=a2+b2[常用结论]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq\f(2b2,a).2.离心率e=eq\f(c,a)=eq\f(\r(a2+b2),a)=eq\r(1+\f(b2,a2)).3.若渐近线方程为y=±eq\f(b,a)x,则双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=λ(λ≠0).4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.5.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=c+a,|PF2|min=c-a.6.焦点三角形的面积:P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为eq\f(b2,tan\f(θ,2)).题型归类题型一双曲线的定义及应用例1(1)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆答案 B解析 如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,又O为F1F2的中点,所以|MF2|=2.因为点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,所以||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|,所以由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.(2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为________.答案 2eq\r(3)解析 不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2eq\r(2),在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=eq\f(|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)=eq\f(1,2),∴|PF1|·|PF2|=8,∴S△F1PF2=eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin60°=2eq\r(3).感悟提升 在焦点三角形中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.题型二双曲线的标准方程例2(1已知双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的焦距为2eq\r(5),点P(2,1)在C的一条渐近线上,则C的方程为( )A.x2-eq\f(y2,4)=1 B.eq\f(x2,4)-y2=1C.eq\f(3x2,20)-eq\f(3y2,5)=1 D.eq\f(x2,16)-eq\f(y2,4)=1答案 B解析 由题可知c=eq\r(5),故a2+b2=5,因为P(2,1)在C的一条渐近线上,所以eq\f(b,a)=eq\f(1,2),解得a=2,b=1,故双曲线C的方程为eq\f(x2,4)-y2=1.(2)(2023·潍坊调研)已知双曲线的离心率e=eq\f(\r(5),2),且该双曲线经过点(2,2eq\r(5)),则该双曲线的标准方程为________________.答案 eq\f(y2,4)-x2=1解析 由题意,知e=eq\f(c,a)=eq\r(1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))=eq\f(\r(5),2),解得a=2b,当焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0),∵点(2,2eq\r(5))在该双曲线上,∴eq\f(4,a2)-eq\f(20,b2)=1,即eq\f(4,4b2)-eq\f(20,b2)=1,此方程无解;当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为eq\f(y2,a2)-eq\f(x2,b2)=1(a>0,b>0),∵点(2,2eq\r(5))在该双曲线上,∴eq\f(20,a2)-eq\f(4,b2)=1,即eq\f(20,4b2)-eq\f(4,b2)=1,解得b=1,∴a=2,∴该双曲线的标准方程为eq\f(y2,4)-x2=1.感悟提升 1.用待定系数法求双曲线的标准方程时,先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点的位置不好确定,可将双曲线的方程设为eq\f(x2,m2)-eq\f(y2,n2)=λ(λ≠0)或mx2-ny2=1(mn>0),再根据条件求解.2.与双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)有相同渐近线时可设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=λ(λ≠0).题型三双曲线的简单几何性质角度1 渐近线例3(1)(2023·许昌模拟)已知双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的离心率为eq\r(5),则双曲线C的渐近线方程为________.答案 y=±2x解析 设双曲线C的焦半距为c,则由题可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)=\r(5),,c2=a2+b2,))则eq\f(a2+b2,a2)=5,即eq\f(b2,a2)=4,eq\f(b,a)=2,所以双曲线C的渐近线方程为y=±2x.(2)(2023·重庆诊断)设双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C及其渐近线在第一象限分别交于A,B两点,O为坐标原点,若eq\o(OA,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(OF,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))),则双曲线C的渐近线方程为________________.答案 y=±eq\f(\r(3),3)x解析 由题意,将x=c分别与eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1和y=eq\f(b,a)x联立,可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c,\f(b2,a))),Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c,\f(bc,a))),又F(c,0),且eq\o(OA,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(OF,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))),即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c,\f(b2,a)))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c,\f(bc,2a))),∴b=eq\f(c,2),eq\f(b,a)=eq\r(\f(b2,c2-b2))=eq\f(\r(3),3),∴渐近线方程为y=±eq\f(\r(3),3)x.角度2 离心率例4(1)(2023·沈阳调研)已知O为坐标原点,双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A(a,b),若|OA|=|FA|,则双曲线C的离心率为( )A.2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.eq\f(\r(5)+1,2)答案 A解析 由题知F(c,0).又A(a,b),|OA|=|FA|,所以a=eq\f(1,2)c,所以双曲线C的离心率e=eq\f(c,a)=2.(2)(2023·烟台调研)已知F1,F2分别是双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P是双曲线C上在第一象限内的一点,若sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,则双曲线C的离心率的取值范围为________.答案 (1,2)解析 在△PF1F2中,sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,由正弦定理得|PF1|=3|PF2|,又点P是双曲线C上第一象限内的一点,所以|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=3a,|PF2|=a,在△PF1F2中,由|PF1|+|PF2|>|F1F2|,得3a+a>2c,即2a>c,所以e=eq\f(c,a)<2,又e>1,所以1<e<2.感悟提升 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法:(1)直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解.2.双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的渐近线可由eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=0即得两渐近线方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)=0.训练3(1)(2023·武汉调研)如图,已知F为双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右焦点,平行于x轴的直线l分别交C的渐近线和右支于点A,B,且∠OAF=90°,∠OBF=∠OFB,则C的渐近线方程为________.答案 y=±x解析 依题意,设B(m,n),F(c,0),联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=n,,y=\f(b,a)x,))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,b),n)).∵∠OAF=90°,∴kAF·kOA=-1,即eq\f(n,\f(an,b)-c)·eq\f(b,a)=-1,∴n=eq\f(ab,c),又B(m,n)在双曲线C上,可得eq\f(m2,a2)-eq\f(n2,b2)=1,把n=eq\f(ab,c)代入,得m2=eq\f(a2c2+a4,c2).由∠OBF=∠OFB,得|OB|=|OF|,∴m2+n2=c2,即eq\f(a2c2+a4,c2)+eq\f(a2b2,c2)=c2,∴