高一数学教材下册《向量的数量积》练习及解析
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高一数学《向量的数量积》练习及解析
一、选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)
1.设i,j是互相垂直的单位向量,向量a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,(a+b)⊥(a-b),则实数m的值为()
A.-2 B.2
C.-12 D.不存在
解析:由题设知:a=(m+1,-3),b=(1,m-1),
∴a+b=(m+2,m-4),
a-b=(m,-m-2).
∵(a+b)⊥(a-b),
∴(a+b)•(a-b)=0,
∴m(m+2)+(m-4)(-m-2)=0,
解之得m=-2.
故应选A.
答案:A
2.设a,b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)•(a-xb)的图象是一条直线,则必有()
A.a⊥b B.a∥b
C.|a|=|b| D.|a|≠|b|
解析:f(x)=(xa+b)•(a-xb)的图象是一条直线,
即f(x)的表达式是关于x的一次函数.
而(xa+b)•(a-xb)=x|a|2-x2a•b+a•b-x|b|2,
故a•b=0,又∵a,b为非零向量,
∴a⊥b,故应选A.
答案:A
3.向量a=(-1,1),且a与a+2b方向相同,则a•b的范围是()
A.(1,+∞) B.(-1,1)
C.(-1,+∞) D.(-∞,1)
解析:∵a与a+2b同向,
∴可设a+2b=λa(λ>0),
则有b=λ-12a,又∵|a|=12+12=2,
∴a•b=λ-12•|a|2=λ-12×2=λ-1>-1,
∴a•b的范围是(-1,+∞),故应选C.
答案:C
4.已知△ABC中, a•b<0,S△ABC=154,
|a|=3,|b|=5,则∠BAC等于()
A.30° B.-150°
C.150° D.30°或150°
解析:∵S△ABC=12|a||b|sin∠BAC=154,
∴sin∠BAC=12,
又a•b<0,∴∠BAC为钝角,
∴∠BAC=150°.
答案:C
5.(2010•辽宁)平面上O,A,B三点不共线,设 则△OAB的面积等于()
A.|a|2|b|2-(a•b)2
B.|a|2|b|2+(a•b)2
C.12|a|2|b|2-(a•b)2
D.12|a|2|b|2+(a•b)2
解析:cos〈a,b〉=a•b|a|•|b|,
sin∠AOB=1-cos2〈a,b〉=1-a•b|a|•|b|2,
所以S△OAB=12|a||b|
sin∠AOB=12|a|2|b|2-(a•b)2.
答案:C
6.(2010•湖南)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则 等于()
A.-16 B.-8
C.8 D.16
解析:解法一:因为cosA=ACAB,
故 cosA=AC2=16,故选D.
解法二: 在 上的投影为| |cosA=| |,
故 cosA=AC2=16,故选D.
答案:D
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