数学高二函数的奇偶性知识点汇编三篇
函数奇偶性是数学学科知识之一,同学们在考试过程中也会常常碰到相关的题目,下面是百文网小编给大家带来的数学高二函数的奇偶性知识点,希望对你有帮助。
函数的奇偶性证明方法
⑴定义法:函数定义域是否关于原点对称,对应法则是否相同
⑵图像法:f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称点(x,y)→(-x,-y)f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y轴对称点(x,y)→(-x,y)
⑶特值法:根据函数奇偶性定义,在定义域内取特殊值自变量,计算后根据因变量的关系判断函数奇偶性。
⑷性质法:利用一些已知函数的奇偶性及以下准则(前提条件为两个函数的定义域交集不为空集):两个奇函数的代数和(差)是奇函数;两个偶函数的和(差)是偶函数;奇函数与偶函数的和(差)既非奇函数也非偶函数;两个奇函数的积(商)为偶函数;两个偶函数的积(商)为偶函数;奇函数与偶函数的积(商)是奇函数。
函数的奇偶性相关性质
1、大部分偶函数没有反函数(因为大部分偶函数在整个定义域内非单调函数),一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。
2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反,奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
3、奇±奇=奇偶±偶=偶奇X奇=偶偶X偶=偶奇X偶=奇(两函数定义域要关于原点对称)。
4、对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数且f(x)是偶函数,则F[x]是偶函数。
若g(x)奇函数且f(x)是奇函数,则F(x)是奇函数。
若g(x)奇函数且f(x)是偶函数,则F(x)是偶函数。
5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称。
函数的奇偶性基础定义
一般地,对于函数f(x)
⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(x)=f(-x)或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x)就叫做偶函数。关于y轴对称,f(-x)=f(x)。
⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)或f(x)/f(-x)=-1,那么函数f(x)就叫做奇函数。关于原点对称,-f(x)=f(-x)。
⑶如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(x)=f(-x)和f(-x)=-f(x),(x∈R,且R关于原点对称。)那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。
⑷如果对于函数定义域内的存在一个a,使得f(a)≠f(-a),存在一个b,使得f(-b)≠-f(b),那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。
定义域互为相反数,定义域必须关于原点对称
特殊的,f(x)=0既是奇函数,又是偶函数。
说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言。
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性。
(分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
④如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义,则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。
⑤如果函数定义域不关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如f(x)=x³【-∞,-2】或【0,+∞】(定义域不关于原点对称)
⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数,则叫做既奇又偶函数。例如f(x)=0
注:任意常函数(定义域关于原点对称)均为偶函数,只有f(x)=0是既奇又偶函数