等差数列求和公式【推荐五篇】
遇到等差数列求和的题目时,要注意观察数列的特点和规律,找到合适的解题方法。下面小编为大家带来等差数列求和公式,欢迎大家参考阅读,希望能够帮助到大家!
等差数列求和解题技巧
一.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的`和,这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:等差数列前n项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。
例题1:设等差数列{an},公差为d,求证:{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2
解:Sn=a1+a2+a3+...+an①
倒序得:Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ②
①+②得:2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1
∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2
二.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列,求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数列之后,再计算。
三.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从而求出数列的前n项和。
四.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
五.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下,可把这个式子变成an+1-an=f(n),代入各项,得到一系列式子,把所有的式子加到一起,经过整理,可求出an ,从而求出Sn。
六.用分组求和法求数列的前n项和
分组求和法就是对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。
七.用构造法求数列的前n项和
构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项的特征,构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式,从而求出数列的前n项和。
等差数列公式
公式:an=a1+(n-1)d
前n项和公式:Sn=na1+n(n-1)d/2=n(a1+an)/2
通项公式:首项+[公差×(项数-1)]
第n项的值an=首项+(项数-1)×公差
an=am+(n-m)d ,若已知某一项am,可列出与d有关的式子求解an
例如 a10=a4+6d或者a3=a7-4d
前n项的和Sn=首项×n+项数(项数-1)公差/2
公差d=(an-a1)÷(n-1)(其中n大于或等于2,n属于正整数)
项数=(末项-首项)÷公差+1
末项=首项+(项数-1)×公差
当数列为奇数项时,前n项的和=中间项×项数
数列为偶数项,前n项的和=(首尾项相加×项数)÷2
等差数列中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列
等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2
等差数列口诀
等差数列有特点,相邻两数差不变。
欲求公差位值减,除以位差才算完。
求和首尾和一半,乘以位数再运算。
混合数列求和难,错位相消巧转换;
高斯算法补长短,单独运算和相连。
特别说明:
相邻两数之间的差为公差
公差=(末位数-首位数)/(位数-1),且“位前”就是“位数-1”
和=“首位+末尾”Х位数/2
“位值”指等差数列位数上的值。“位值减”等差数列位数上的值相减;
位差指等差数列的位数相减,也就是等差数列数值的序号
等差数列推论
(1)从通项公式可以看出,a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由前n项和公式知,S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0。
(2)从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1),(类似:p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1)),k∈{1,2,…,n}。
(3)若m,n,p,q∈N_,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q),S(2n-1)=(2n-1)_a(n),S(2n+1)=(2n+1)_a(n+1),S(k),S(2k)-S(k),S(3k)-S(2k),…,S(n)_k-S(n-1)_k…成等差数列,等等。若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2_a(p)。
证明:p(m)+p(n)=b(0)+b(1)_m+b(0)+b(1)_n=2_b(0)+b(1)_(m+n);p(p)+p(q)=b(0)+b(1)_p+b(0)+b(1)_q=2_b(0)+b(1)_(p+q);因为m+n=p+q,所以p(m)+p(n)=p(p)+p。
(4)其他推论:
①和=(首项+末项)×项数÷2;
②项数=(末项-首项)÷公差+1;
③首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×(项数-1);
④末项=2x和÷项数-首项;
⑤末项=首项+(项数-1)×公差;
⑥2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和。
等差数列求和公式
1、等差数列基本公式:末项=首项+(项数-1)_公差项数=(末项-首项)÷公差+1首项=末项-(项数-1)_公差和=(首项+末项)_项数÷2末项:最后一位数首项:第一位数项数:一共有几位数和:求一共数的总和。
2、Sn=na(n+1)/2n为奇数
sn=n/2(An/2+An/2+1)n为偶数
3、等差数列如果有奇数项,那么和就等于中间一项乘以项数,如果有偶数项,和就等于中间两项和乘以项数的一半,这就是中项求和。
4、公差为d的等差数列{an},当n为奇数是时,等差中项为一项,即等差中项等于首尾两项和的二分之一,也等于总和Sn除以项数n。将求和公式代入即可。当n为偶数时,等差中项为中间两项,这两项的和等于首尾两项和,也等于二倍的总和除以项数n。