第十二讲 圆锥曲线中的求值、证明与探索性问题(原卷版)
第十二节圆锥曲线中的求值、证明与探索性问题题型归纳题型一 求值问题例1(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2,1)在双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,a2-1)=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=2eq\r(2),求△PAQ的面积.感悟提升 求值问题即是根据条件列出对应的方程,通过解方程求解.训练1(2022·北京卷)已知椭圆E:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),焦距为2eq\r(3).(1)求椭圆E的方程;(2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N.当|MN|=2时,求k的值.题型二 证明问题例2(2023·济南模拟)双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)经过点(eq\r(3),1),且渐近线方程为y=±x.(1)求a,b的值;(2)点A,B,D是双曲线C上不同的三点,且B,D两点关于y轴对称,△ABD的外接圆经过原点O.求证:直线AB与圆x2+y2=1相切.感悟提升 圆锥曲线中的证明问题常见的有:(1)位置关系方面的:如证明直线与曲线相切,直线间的平行、垂直,直线过定点等.(2)数量关系方面的:如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下,一般采用直接法,通过相关的代数运算证明.训练2如图,圆C与x轴相切于点T(2,0),与y轴正半轴相交于M,N两点(点M在点N的下方),且|MN|=3.(1)求圆C的方程;(2)过点M任作一条直线与椭圆eq\f(x2,8)+eq\f(y2,4)=1相交于A,B两点,连接AN,BN,求证:∠ANM=∠BNM.题型三 探索性问题例3(2023·南阳模拟)已知O为坐标原点,椭圆Γ:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的右顶点为A,离心率为eq\f(\r(3),2).动直线l:y=eq\f(1,m)(x-1)与Γ相交于B,C两点,点B关于x轴的对称点为B′,点B′到Γ的两焦点的距离之和为4.(1)求Γ的标准方程;(2)若直线B′C与x轴交于点M,△OAC,△AMC的面积分别为S1,S2,问:eq\f(S1,S2)是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.感悟提升 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件,则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.训练3(2023·广州模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-2,0),B(2,0),点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为-eq\f(3,4),点M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)已知点F(1,0),直线l:x=4与x轴交于点D,直线AM与l交于点N,是否存在常数λ,使得∠MFD=λ∠NFD?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由.课时训练一、单选题1.已知点是椭圆上非顶点的动点,,分别是椭圆的左、右焦点,是坐标原点,若是的平分线上一点,且,则的取值范围是( )A. B. C. D.2.设抛物线的顶点为,焦点为,准线为.是抛物线上异于的一点,过作于,则线段的垂直平分线( ).A.经过点 B.经过点C.平行于直线 D.垂直于直线3.若直线与直线的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( )A. B. C. D.4.祖暅(公元5-6世纪,祖冲之之子,是我国齐梁时代的数学家).他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现,比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图将底面直径皆为,高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上,用平行于平面的平面于距平面任意高处截得到及两截面,可以证明总成立据此,短轴长为,长轴为的椭球体的体积是().A. B. C. D.5.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆:的蒙日圆方程为,,分别为椭圆的左、右焦点.离心率为,为蒙日圆上一个动点,过点作椭圆的两条切线,与蒙日圆分别交于P,Q两点,若面积的最大值为36,则椭圆的长轴长为( )A. B. C. D.6.运用祖暅原理计算球的体积时,夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意一个平面所截,若截面面积都相等,则这两个几何体的体积相等,构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱,与半球(如图①)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图②),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图③),类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于( ).A. B. C. D.二、填空题7.如图,F1、F2分别是双曲线C:y2=1的左、右焦点,过F2的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A、B两点,若,•0,则双曲线C的焦距|F1F2|为_____.8.设椭圆:,直线过的左顶点交轴于点,交于点,若是等腰三角形(为坐标原点),且,则的长轴长等于_________.9.已知直线与圆,则圆上各点到的距离的最小值为_____________.三、解答题10.已知曲线,过点作直线和曲线交于A、B两点.(1)求曲线的焦点到它的渐近线之间的距离;(2)若,点在第一象限,轴,垂足为,连结,求直线倾斜角的取值范围;(3)过点作另一条直线,和曲线交于、两点,问是否存在实数,使得和同时成立?如果存在,求出满足条件的实数的取值集合,如果不存在,请说明理由.11.已知过抛物线的焦点,斜率为的直线交抛物线于和两点,且.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若,求的值.12.已知椭圆:()四个顶点恰好是边长为,一内角为的菱形的四个顶点.(1)求椭圆的方程;(2)若直线交椭圆于、两点,在直线:上存在点,使得为等边三角形,求的值.13.已知抛物线和圆,抛物线的焦点为.(1)求的圆心到的准线的距离;(2)若点在抛物线上,且满足,过点作圆的两条切线,记切点为,求四边形的面积的取值范围;(3)如图,若直线与抛物线和圆依次交于四点,证明:的充要条件是“直线的方程为”14.已知双曲线的焦距为4,直线与交于不同的点D、E,且时l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.(1)求双曲线的方程;(2)若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部,求实数m的取值范围.15.已知椭圆的两个焦点分别为、,且椭圆经过点.(1)求该椭圆的方程;(2)若A为椭圆的左顶点,直线AM、AN与椭圆分别交于点M、N,且,连接MN,试问:直线MN是否恒过x轴上的一个定点?若是,求出该点的坐标;若不是,请说明理由.16.等轴双曲线是离心率为的双曲线,可建立合适的坐标平面使之为反比例函数.(1)在等轴双曲线上有三点,,,其横坐标依次是,,.设,,分别为,,的中点,试求的外接圆圆心的横坐标.(2)双曲线的渐近线为和,上有三个不同的点,,,直线、直线、直线与分别交于,,,过,,分别作直线、直线、直线的垂线,,.(i)当为等轴双曲线时,证明:,,三线共点.(ii)当不为等轴双曲线时,记,,分别是与,与,与的交点,类似地从另一条渐近线出发来定义,,.证明:.17.给出如下的定义和定理:定义:若直线l与抛物线有且仅有一个公共点P,且l与的对称轴不平行,则称直线l与抛物线相切,公共点P称为切点.定理:过抛物线上一点处的切线方程为.完成下述问题:如图所示,设E,F是抛物线上两点.过点E,F分别作抛物线的两条切线,,直线,交于点C,点A,B分别在线段,的延长线上,且满足,其中.(1)若点E,F的纵坐标分别为,,用,和p表示点C的坐标.(2)证明:直线与抛物线相切;(3)设直线与抛物线相切于点G,求.