为您找到与高中数学等差数列题目相关的共203个结果:
函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发,知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数,等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题,常能起到化难为易的功效。以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用,仅供考生阅读。
1.转化与化归思想:
是把那些待解决或难解决的问题化归到已有知识范围内可解问题的一种重要的基本数学思想.这种化归应是等价转化,即要求转化过程中的前因后果应是充分必要的,这样才能保证转化后所得结果仍为原题的结果. 高中数学中新知识的学习过程,就是一个在已有知识和新概念的基础上进行化归的过程.因此,化归思想在数学中无处不在. 化归思想在解题教学中的的运用可概括为:化未知为已知,化难为易,化繁为简.从而达到知识迁移使问题获得解决.但若化归不当也可能使问题的解决陷入困境. 例证
2.逻辑划分思想(即分类与整合思想):
是当数学对象的本质属性在局部上有不同点而又不便化归为单一本质属性的问题解决时,而根据其不同点选择适当的划分标准分类求解,并综合得出答案的一种基本数学思想.但要注意按划分标准所分各类间应满足互相排斥,不重复,不遗漏,最简洁的要求. 在解题教学中常用的划分标准有:按定义划分;按公式或定理的适用范围划分;按运算法则的适用条件范围划分;按函数性质划分;按图形的位置和形状的变化划分;按结论可能出现的不同情况划分等.需说明的是: 有些问题既可用分类思想求解又可运用化归思想或数形结合思想等将其转化到一个新的知识环境中去考虑,而避免分类求解.运用分类思想的关键是寻找引起分类的原因和找准划分标准. 例证
3. 函数与方程思想(即联系思想或运动变化的思想):
就是用运动和变化的观点去分析研究具体问题中的数量关系,抽象其数量特征,建立函数关系式,利用函数或方程有关知识解决问题的一种重要的基本数学思想.
4. 数形结合思想:
将数学问题中抽象的数量关系表现为一定的几何图形的性质(或位置关系);或者把几何图形的性质(或位置关系)抽象为适当的数量关系,使抽象思维与形象思维结合起来,实现抽象的数量关系与直观的具体形象的联系和转化,从而使隐蔽的条件明朗化,是化难为易,探索解题思维途径的重要的基本数学思想.
5. 整体思想:
处理数学问题的着眼点或在整体或在局部.它是从整体角度出发,分析条件与目标之间的结构关系,对应关系,相互联系及变化规律,从而找出最优解题途径的重要的数学思想.它是控制论,信息论,系统论中“整体—部分—整体”原则在数学中的体现.在解题中,为了便于掌握和运用整体思想,可将这一思想概括为:记住已知(用过哪些条件?还有哪些条件未用上?如何创造机会把未用上的条件用上?),想着目标(向着目标步步推理,必要时可利用图形标示出已知和求证);看联系,抓变化,或化归;或数形转换,寻求解答.一般来说,整体范围看得越大,解法可能越好.
在整体思想指导下,解题技巧只需记住已知,想着目标, 步步正确推理就够了.
中学数学中还有一些数学思想,如:
集合的思想;
补集思想;
归纳与递推思想;
对称思想;
逆反思想;
类比思想;
参变数思想
有限与无限的思想;
特殊与一般的思想.
它们大多是本文所述基本数学思想在一定知识环境中的具体体现.所以在中学数学中,只要掌握数学基础知识,把握代数,三角,立体几何,解析几何的每部分的知识点及联系,掌握几个常用的基本数学思想和将它们统一起来的整体思想,就定能找到解题途径.提高数学解题能力。
高三数学知识点特别多,要学会汇总整理,方便记忆与复习,小编为你准备了以下文章高三数学等差数列的前n项和教案,在浩瀚的学海里,助你一臂之力!
教学准备
教学目标
数列求和的综合应用
教学重难点
数列求和的综合应用
教学过程
典例分析
3.数列{an}的前n项和Sn=n2-7n-8,
(1)求{an}的通项公式
(2)求{|an|}的前n项和Tn
4.等差数列{an}的公差为,S100=145,则a1+a3+a5+…+a99=
5.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|=
6.数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12
(1)求{an}的通项公式
(2)令bn=anxn,求数列{bn}前n项和公式
7.四数中前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项之和为21,中间两项之和为18,求此四个数
8.在等差数列{an}中,a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n为何值时,Sn有值,并求出它的值
.已知数列{an},an∈N,Sn=(an+2)2
(1)求证{an}是等差数列
(2)若bn=an-30,求数列{bn}前n项的最小值
0.已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(n∈N)
(1)设f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列{an},求证数列{an}是等差数列
(2设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{dn},求数列{dn}的前n项和sn.
11.购买一件售价为5000元的商品,采用分期付款的办法,每期付款数相同,购买后1个月第1次付款,再过1个月第2次付款,如此下去,共付款5次后还清,如果按月利率0.8%,每月利息按复利计算(上月利息要计入下月本金),那么每期应付款多少?(精确到1元)
12.某商品在最近100天内的价格f(t)与时间t的
函数关系式是f(t)=
销售量g(t)与时间t的函数关系是
g(t)=-t/3+109/3(0≤t≤100)
求这种商品的日销售额的值
注:对于分段函数型的应用题,应注意对变量x的取值区间的讨论;求函数的值,应分别求出函数在各段中的值,通过比较,确定值
高中数列,有规律可循的类型无非就是两者,等差数列和等比数列,这两者的题目还是比较简单的,要把公式牢记住,求和,求项也都是比较简单的,公式的运用要熟悉。下面小编给大家整理了关于高中数学数列方法和技巧,希望对你有帮助!
首先、准备好笔记本和草稿本,笔记本不是让你记公式记概念,那些东西书上都有,没必要再誊一遍到笔记本上,笔记本上主要记老师给的例题。毕竟老师是很有经验的,他们给的例题一定是很有代表性的,必要的时候可以背一背例题的解题方法,理解思路。
草稿本就是有些不是很重要的题,老师让举一反三这类的东西,就没必要写在笔记上,但是一定要跟着算,在纸上写两笔算一下绝对比你光看光想的效果要好得多。
其次、上课一定集中注意力,要和老师有一定的互动,时间长了,上课百分之九十的时间老师都是在看着你讲课,你不点头表示明白了她就不往下讲。。毕竟一节课四十分钟,一个老师一节课平均分给每个学生也就不到一分钟,所以自私点说,就是要给自己争取时间。
课下有问题就问,最好不要问同学,尤其是以为脑子很聪明所以数学学的好的同学,这种人千万别问,倒不是说人家不愿意给你讲,而是现在毕竟是应试教育,那些聪明的同学上课不一定听讲有多认真,有些人做题就是根据自己的思路走,那些解题方法可能适合于他们并不适合你,所以问题一定找老师,老师会给你一套最适合应试的解题方法。
等差数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列,常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。接下来是小编为大家整理的高中数学等差数列教案大全,希望大家喜欢!
等差数列的教学设计
教学理念: 数学教学是思维过程的教学,如何引导学生参与到教学过程中来,尤其是在思维上深层次的 参与,是促进学生良好的认知结构,培养能力,全面提高素质的关键。数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非常重要的意义。
设计思想:本节借助多媒体辅助手段,创设问题的情境,让探究式教学走进课堂,保障学生的主体地位,唤醒学生的主体意识,发展学生的主体能力,塑造学生的主体人格,让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。
一、教材分析:高考资源网
教学内容:
高中数学必修第五模块第二章第二节,等差数列,两课时内容,本节是第一课时,研究等差数列的定义、通项公式的推导,借助生活中丰富的典型实例,让学生通过分析、推理、归纳等活动过程,从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。
教学地位:
本节是第二章的基础,为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础,是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一,并且在实际生活中有着广泛的应用,它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始,它对后续 内容的学习,无论在知识上,还是在方法上都具有积极的意义。高考资源网
教学重点:
理解等差数列概念,探索并掌握等差数列的通项公式,会用公式解决一些简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的关系。
教学难点:
对等差数列概念的理解及从函数、方程角度理解通项公式,概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
二、学习者分析:
高二学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力,且对数列的知识有了初步的接触和认识,对数学公式的运用已具备一定的技能,已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程,对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展,但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。
三、教学目标:高考资源网
知识目标:
理解等差数列定义,掌握等差数列的通项公式。
能力目标:高考资源网
培养学生观察、归纳能力,在学习过程中,体会数形结合思想、归纳思想和化归思想并加深认识;通过概念的引入与通项 公式的推导,培养学生分析探索能力,增强运用公式解决实际问题的能力。
情感目标:
①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。
②通过师生、生生的合作学习,增强学生团队协作能力的培养,增强主动与他人合作交流的意识。
③体验从特殊到一般,又到特殊的认知规律,培养学生勇于创新的科学精神。
四、教法和学法的分析:高考资源网
通过探究式教学方法充分利用现实 情景,尽可能的增加教学过程的趣味性、实践性。利用多媒体课件和实例等丰富学生的学习资源,强调学生动手操作试验和主动参与,在教师的启发指导下,让学生自己去分析、探索,在探索过程中研究和领悟得出的结论,从而使学生即获得知识又发展智能的目的。
2、在学法上,引导学生多角度,多层面认识事物,学会探究。教师是学生的学习的组织者、促进着、合作者,在本节课的备课和教学过程中,为学生的动手实践,自主探索与合作交流的机会搭建平台,鼓励学生提出自己的见解,学会提出问题解决问题,通过恰当的教学方式让学生学会自我调适,自我选择。
五、教学媒体和教学技术的选用
多媒体计算机和几何画板
通过计算机模拟演示,使学生获得感性知识的同时,为掌握理性知识创造条件,这样做,可以使学生有兴趣地学习,注意力也容易集中,符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。本节课打破传统的一言堂的格局代之以人为本、民主、开放、特色和建立在信息网络平台上的现代教学格局。
六、教学程序:
(一)设置问题,引导发现形成概念w。
师:看大屏幕。高考资源网
情景1(播放奥运会女子举重场面)
2008年北京奥运会,女子举重共设置7个级别,其中较轻的4个级别体重组成数列(单位:kg):
48,53,58,63
情景2水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位18m,自然放水每天水位下降2.5m,最低降至5m。那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:m)
18,15.5,13,10.5,8,5.5
情景3 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是:
本利和=本金 (1+利率 存期)
时间 年初本金(元) 年末本利和(元) 第1年 10000 10072 第2年 10000 10144 第3年 10000 10216 第4年10000 10288 第5年 10000 10360例如,按活期存入10000元,年利率是0.72%,那么按照单利,5年内各年末本利和分别是:如下表(假设5年既不加存款也不取款,且不扣利息税)
各年末本利和(单位:元)高考资源网
10072,10144,10216,10288,10360
师:思考上述各组数据反映了什么样的信息?
每行数有何共同特点?请同学们互相讨论。
(学生纷纷议论,有的几个人在一起商量)高考资源网
(从宏观上 : 情景1 让学生体验成功申办奥运会的喜悦心情,激发勇于拼搏的坚强意志;情景2让学生认识到保护水资源,保护生态平衡的意识;情景3倡导节约意识,纳税意识。)
从微观上,数学研究的对象是数,我们抛开具体的背景,从表格中抽象出一般数列。
48 53 58 63 18 15.5 13 10.5 8 5.5 10072 10144 10216 10288 10360师:(启发学生)你能用数学语言来描述上述数列的共同特征吗?
学生1:后一项与它的前一项的差等于常数。
师:反例:1,3,5,6,12,这样的数列特征和上述数列的特征一样吗?
学生1:不一样,要加上同一个常数。
学生2:每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
师:反例:1,3,4,5,6,7,这样的数列特征和上述数列的特征一样吗?
学生2:不一样,必须从第二项开始。
学生3:从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
(教师把学生的回答写在黑板上,通过反例,使学生深刻理解几组数列的共同特征:
= 1 GB3 ① 同一个常数; = 2 GB3 ② 从第二项起)
师:能不能用数学语言表示?
学生4:
师:等价吗?
学生4:应加上(d是常数), .
(让学生充分讨论,注意文字语言与数学符号语言的转化的严谨性)
师:对式子进行变形可得 。
这样的数列在生活中的例子,谁能再举几个?
学生5:某剧场前8排的座位数分别是
52,50,48,46,44,42,40,38.
学生6:全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是
21,21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25
学生7:马路边的路灯,相邻两盏之间的距离构成的数列。
师:如何用数列表示?
学生8:设相邻两盏之间的距离为a,该数列为
a,a,a,a,……,为常数列,即常数列都具有这种特征。
(让学生举例,加深感性认识)
师:满足这种特征的数列很多,我们有必要为这样的数列取一个名字?
学生(共同):等差数列。
师:(学生叙述,板书定义)高考资源网
一般的,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,d为公差,a1为数列的首相。
提出课题《等差数列》
对定义进行分析,强调: = 1 GB3 ① 同一个常数; = 2 GB3 ② 从第二项起。注意对概念严谨性的分析。
师:回到表格中,分别说出它们的公差。
学生9:依次是d=7,d=1,d=8,d=-6,d=5,d=-2.5,d=72.
师:在计算年末本利和的问题中求 时,能不能不按本利和=本金 (1+利率 存期)
求而按数列的特征求呢?
学生:若能求得通项公式,问题就很好解决。
(再提出问题,引导发现求通项公式的必要性)
(二)启发、引导推出等差数列的通项公式
师:把问题推广到一般情况。若一个数列 是等差数列,它的公差是d,那么数列 的通项公式是什么?高考资源网
启发学生:(归纳、猜想)可用首相与公差表示数列中任意一项。
学生10: 即:
即:
即:
由此可得:
师:从第几项开始归纳的?
学生10:第二项,所以n≥2。
师:n=1时呢?
教案是教师为顺利而有效地开展教学活动,根据课程标准,教学大纲和教科书要求及学生的实际情况,以课时或课题为单位,对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。接下来是小编为大家整理的2020高中数学等差数列教案,希望大家喜欢!
一.教材依据
《江苏教育出版社》必修5 第二章 第二节“等差数列”
二.设计思想
数列是刻画一类离散现象的数学模型,在我们的日常生活中,会遇到如存款利息、构房贷款、资产折旧等一些计算问题,数列模型可以帮助我们解决这类实际问题,学习数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要的意义。
本章主要通过对日常生活中大量的实际问题的分析,建立等差数列和等比数列这两种数列模型,探索并掌握它们的一些性质,感受这两种数列模型的广泛应用,并利用它们解决一些实际问题。
“等差数列”第一课时是以概念为主的一节课,内容主要是等差数列的定义和通项公式。等差数列的通项公式与前n项和的公式的导出都离不开等差数列的定义,因此,教学中首先要讲清等差数列的定义,并且自始自终都要紧扣这个定义。
由于等差数列的定义学生较易理解,而且学生也具备这方面的基础,所以在本节内容的教学设计上,充分体现学生是学习的主体这一特点,首先从实际问题和学生已有知识出发,提供一组具体数列,然后引导学生通过观察、分析它们的规律,归纳出等差数列的定义。紧接着教师提出一个开放性的问题:“在等差数列中,若公差为d,请根据等差数列的定义,写出与之相关的等式”。并用实物投影展示有代表性的学生的列式,由学生评价、补充。在这过程中,学生通过数学符号语言与文字语言的互译,加深了对定义的理解。而且用不同的方法推导出了通项公式,把等差数列的定义与通项公式有机地联系起来。让学生充分体验数学知识的形成过程,尽可能地让学生通过观察、分析、猜想、归纳、类比、推理等在发现探索知识的过程中体验数学,让学生在自主探求知识的同时,获得了分析问题、解决问题的能力,培养了创新意识。在教学设计上突出了数学思想方法,如对数列概念的介绍和通项公式的探究中充分体现函数思想和类比思想;在公式的运算中体现方程思想和数形结合思想。
在通项公式的应用中,有针对性地选择例题,充分挖掘教材例题的内涵。通过例1(教材例4)的教学,让学生感受等差数列与一次函数的关系,联系教材36页的“思考”进行教学设计,引导学生发现等差数列的公差d便是数列的各点所在直线的斜率,进一步得出公差d与等差数列函数单调性的关系。在例2(教材例2)的教学中,让学生初步感受数列通项公式的应用,并引导学生发现a6=a3+6d,进一步探索通项公式更一般的形式。
三.教学目标
1.认知目标:理解等差数列的定义,掌握等差数列通项公式的推导方法以及它的简单应用。
2.能力目标:在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中,培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维能力。
3.情感目标:通过学生自主的探索活动,获得新知识,让学生感受到成功的喜悦,从中培养他们的创新意识。
四.教学重点:
理解等差数列的定义,掌握等差数列通项公式的推导方法。
五.教学难点:
对等差数列通项公式的透彻理解以及通项公式的函数意义。
六.教学准备:
1、认真研读“数列”这一章新旧教材,比较它们的异同,以便备课时能更好地体现新课程理念。
2、课前发给每位同学一张白纸,要求学生带黑色水笔,以备课堂实物投影所需。
3、老师制作投影片,课前检查实物投影仪。
七.教学过程:
㈠引言:
从学生上一课所学的“剧场座位”的数列实例(教材P29)导入新课。
教师出示【投影片1】某剧场有30排座位,第一排有20个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位,那么各排的座位数依次为20,22,24,26,28,…。
思考:第30排有多少个座位?
㈡关于等差数列定义的学习过程:
实例展示,引出定义
⑴教师出示【投影片2】并提出问题:观察下列数列有何共同特点?
(设计目的:①逐步引导学生自己描述出这些数列的共同特征,从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数。②培养学生的观察能力和归纳、表达能力。)
⑵教师:揭示课题(板书),出示【投影片3】:
如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列。
(设计目的:加深对定义中关键词的理解。)
对定义的再认识:
⑴教师再次出示【投影片2】,并提出问题:以上四个等差数列从第2项起,每一项与前一项的差是多少?
(设计目的:引出公差的概念及符号表示。)
⑵教师提出问题:如果等差数列 :,公差为d,根据等差数列的定义,写出与之相关的等式,选择列式有代表性的学生板演。(估计学生会出现以下几种状况)
状况一: 状况二:
教案中对每个课题或每个课时的教学内容,教学步骤的安排,教学方法的选择,板书设计,教具或现代化教学手段的应用,各个教学步骤教学环节的时间分配等等,都要经过周密考虑,精心设计而确定下来,体现着很强的计划性。接下来是小编为大家整理的2020高中数学等比数列教案设计大全,希望大家喜欢!
教材分析:
1、内容简析:
本节主要内容是等比数列的概念及通项公式,它是继等差数列后有一个特殊数列,是研究数列的重要载体,与实际生活有密切的联系,如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决,在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想,在高考中占有重要地位。
2、教学目标确定:
从知识结构来看,本节核心内容是等比数列的概念及通项公式,可从等比数列的“等比”的特点入手,结合具体的例子来学习等比数列的概念,同时,还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上,导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标(三维目标):
第一课时:
(1)理解等比数列的概念 ,掌握等比数列的通项公式及公式的推导
(2)在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想,提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力
(3)通过对等比数列通项公式的推导,培养学生发现意识、创新意识
第二课时:
(1)加深对等比数列概念理解,灵活运用等比数列的定义及通项公式,了解等比中项概念,掌握等比数列的性质
(2)运用等比数列的定义及通项公式解决问题,增强学生的应用
3、教学重点与难点:
第一课时:
重点:等比数列的定义及通项公式
难点:应用等比数列的定义及通项公式,解决相关简单问题
第二课时:
重点:等比中项的理解与运用,及等比数列定义及通项公式的应用
难点:灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题
学情分析:
从整个中学数学教材体系安排分析,前面已安排了函数知识的学习,以及等差数列的有关知识的学习,但是对于国际象棋故事中的问题,学生还是不能解决,存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突,产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法,于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。
高一学生正处于从初中到高中的过度阶段,对数学思想和方法的认识还不够,思维能力比较欠缺,他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时,高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此,本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律,另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。
多数学生愿意积极参与,积极思考,表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生,让学生在参与的过程中,学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。
教法选择与学法指导:
由于等比数列与等差数列仅一字之差,在知识内容上是平行的,可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上,牢固掌握数列的相关知识。因此,在教法和学法上可做如下考虑:
1、教法:采用问题启发与比较探究式相结合的教学方法
教法构思如下:提出问题 引发认知冲突 观察分析 归纳概括 得出结论总结提高。在教师的精心组织下,对学生各种能力进行培养,并以促进学生发展,又以学生的发展带动其学习。同时,它也能促进学生学会如何学习,因而特别有利于培养学生的探索能力。
2、学法指导:
学生学习的目的在于学会学习、思考,达到创新的目的,掌握科学有效的学习方法,可增强学生的学习信心,培养其学习兴趣,提高学习效率,从而激发强烈的学习积极性。我考虑从以下几方面来进行学法指导:
把隐含在教材中的思想方法显化。如等比数列通项公式的推导体现了从特殊到一般的方法。其通项公式是以n为字变量的函数,可利用函数思想来解决数列有关问题。思想方法的显化对提高学生数学修养有帮助。
注重从科学方法论的高度指导学生的学习。通过提问、分析、解答、总结,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。训练逻辑思维的严密性和深刻性的目的。
教学过程设计:
第一课时
1、创设情境,提出问题 (阅读本章引言并打出幻灯片)
情境1:本章引言内容
提出问题:同学们,国王有能力满足发明者的要求吗?
引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为:
1,2, ……, (1)
于是发明者要求的麦粒总数是
情境2:某人从银行贷款10000元人民币,年利率为r,若此人一年后还款,二年后还款,三年后还款,……,还款数额依次满足什么规律?
10000(1+r),10000 ,10000 ,…… (2)
情境3:将长度为1米的木棒取其一半,将所得的一半再取其一半,再将所得的木棒继续取其一半,……各次取得的木棒长度依次为多少? …… (3)
问:你能算出第7次取一半后的长度是多少吗?观察、归纳、猜想得
2、自主探究,找出规律:
学生对数列(1),(2),(3)分析讨论,发现共同特点:从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起,每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义:
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比常用字母 表示,即。
如数列(1),(2),(3)都是等比数列,它们的公比依次是2,1+r,
点评:等比数列与等差数列仅一字之差,对比知从第二项起,每一项与前一项之“差”为常数,则为等差数列,之“比”为常数,则为等比数列,此常数称为“公差”或“公比”。
3、观察判断,分析总结:
观察以下数列,判断它是否为等比数列,若是,找出公比,若不是,说出理由,然后回答下面问题:
1,3,9,27,……
……
1,-2,4,-8,……
-1,-1,-1,-1,……
1,0,1,0,……
思考:①公比 能为0吗?为什么?首项能为0吗?
②公比 是什么数列?
③ 数列递增吗? 数列递减吗?
④等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式:
这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。
选题分析;因为等差数列公差 可以取任意实数,所以学生对公比往往忘却它不能取0和能取1的特殊情况,以致于在不为具体数字(即为字母运算)时不会讨论以上两种情况,故给出问题以揭示学生对公比 有防患意识,问题③是让学生明白时等比数列的单调性不定,而 时数列为摆动数列,要注意与等差数列的区别。
备选题:已知 则 …… ,……成等比数列的从要条件是什么?
4、观察猜想,求通项:
方法1:由定义知道 ……归纳得:等比数列的通项公式为:
(说明:推得结论的这一方法称为归纳法,不是公式的证明,要想对这一方式的结论给出严格的证明,需在学习数学归纳法后完成,现阶段我们只承认它是正确的就可以了)
方法2:迭代法
根据等比数列的定义有
……
方法3:由递推关系式或定义写出: …… ,通过观察发现 …… ……
,即:
(此证明方法称为“累商法”,在以后的数列证明中有重要应用)
公式 的特征及结构分析:
数列是以正整数集为定义域的函数,是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。下面小编给大家分享一些数学数列知识点,希望能够帮助大家,欢迎阅读分享!
等比数列
1.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。
有关系:
注:两个非零同号的实数的等比中项有两个,它们互为相反数,所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。
2.等比数列通项公式
an=a1--q’(n-1)(其中首项是a1,公比是q)
an=Sn-S(n-1)(n≥2)
前n项和
当q≠1时,等比数列的前n项和的公式为
Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1--q’n)/(1-q)(q≠1)
当q=1时,等比数列的前n项和的公式为
Sn=na1
3.等比数列前n项和与通项的关系
an=a1=s1(n=1)
an=sn-s(n-1)(n≥2)
4.等比数列性质
(1)若m、n、p、q∈N--,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq;
(2)在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列。
(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}
(4)等比中项:q、r、p成等比数列,则aq·ap=ar2,ar则为ap,aq等比中项。
记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
(5)等比数列前n项之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)
(6)任意两项am,an的关系为an=am·q’(n-m)
(7)在等比数列中,首项a1与公比q都不为零。
数列求和的七种方法:倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘公比错项相减(等差×等比)、公式法、迭加法。下面是小编给大家带来的数列求和的七种方法,希望能够帮助到大家!
1、倒序相加法
倒序相加法如果一个数列{an}满足与首末两项等“距离”的两项的和相等(或等于同一常数),那么求这个数列的前n项和,可用倒序相加法。
2、分组求和法
分组求和法一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成,求和时可用分组求和法,分别求和而后相加。
3、错位相减法
错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。
4、裂项相消法
裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和。
5、乘公比错项相减(等差×等比)
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an×bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列。
6、公式法
对等差数列、等比数列,求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数列之后,再计算。
7、迭加法
主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下,可把这个式子变成an+1-an=f(n),代入各项,得到一系列式子,把所有的式子加到一起,经过整理,可求出an,从而求出Sn。
数列前n项和求解的七种方法为:倒序相加法、公式法、裂项相消法、错位相减法、迭加法、分组求和法、构造法。下面给大家分享一些关于高中数学求数列前n项和的方法,希望对大家有所帮助。
1、当直线L的斜率存在时,斜截式y=kx+b,当x=0时,y=b。2、当直线L的斜率存在时,点斜式y2-y1=k(x2-x1)。3、对于任意函数上任意一点,其斜率等于其切线与x轴正方向所成的角,即k=tanα。4、斜率计算:ax+by+c=0中,k=-a/b。
曲线斜率相关知识点
1.曲线的上某点的斜率则反映了此曲线的变量在此点处的变化的快慢程度。
2.曲线的变化趋势仍可以用过曲线上一点的切线的斜率即导数来描述。导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。
3.当f'(x)>0时,函数在该区间内单调递增,曲线呈向上的趋势;当f'(x)<0时,函数在该区间内单调减,曲线呈向下的趋势。
4.在区间(a,b)中,当f''(x)<0时,函数在该区间内的图形是凸(从上向下看)的;当f''(x)>0时,函数在该区间内的图形是凹的。
在数学的学习中等差求和公式是学习的重点的内容,而且哟U币极爱哦多的公式需要学生记忆,下面百文网的小编将为大家带来等差求和公式的介绍,希望能够帮助到大家。
一、定义与定义式:
自变量x和因变量y有如下关系:
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。
特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。
即:y=kx(k为常数,k≠0)
二、一次函数的性质:
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即:y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)
2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质:
1.作法与图形:通过如下3个步骤
(1)列表;
(2)描点;
(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b.(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k,b与函数图像所在象限:
当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
当b>0时,直线必通过一、二象限;
当b=0时,直线通过原点
当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限
四、确定一次函数的表达式:
已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b.
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b.所以可以列出2个方程:y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
(3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用:
1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt.
2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S.g=S-ft.
六、常用公式:(不全,希望有人补充)
1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点:|x1-x2|/2
3.求与y轴平行线段的中点:|y1-y2|/2
4.求任意线段的长:√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)
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等差数列是常见数列的一种,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。
例如:1,3,5,7,9……1+2n-1。
通项公式为:an=a1+(n-1)*d。首项a1=1,公差d=2。
前n项和公式为:Sn=(a1+an)n/2=na1+n(n-1)d/2
若m+n=p+q则:存在am+an=ap+aq
若m+n=2p则:am+an=2ap
以上n均为正整数
文字翻译
第n项的值an=首项+(项数-1)×公差
前n项的和Sn=首项+末项×项数(项数-1)公差/2
公差d=(an-a1)÷(n-1)
项数=(末项-首项)÷公差+1
数列为奇数项时,前n项的和=中间项×项数
数列为偶数项,求首尾项相加,用它的和除以2
等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列
通项
首项=2×和÷项数-末项
末项=2×和÷项数-首项
末项=首项+(项数-1)×公差:a1+(n-1)d
项数=(末项-首项)/ 公差+1 :n=(an-a1)/d+1
公差= d=(an-a1)/(n-1)
如:1+3+5+7+……99 公差就是3-1
将a1推广到am,则为:
d=(an-am)/(n-m)
性质:
若 m、n、p、q∈N
①若m+n=p+q,则am+an=ap+aq
②若m+n=2q,则am+an=2aq(等差中项)
注意:上述公式中an表示等差数列的第n项。
如果一个 数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个 常数,这个数列就叫做等差数列。下面是百文网小编为大家整理的高中数学必修4第三章等差数列复习资料,希望对大家有所帮助!
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作者 | 纸盆
数学是理科没错,但是却有很多的数学公式和知识概念,对于这些公式和概念我们不仅要理解还要会背诵。这样考试才不怕忘记公式,还有试卷上给你的参考公式,大多都是有用的,有时候你没有答题的思路时,这些公式正好能为你指引答题的方向。
高中学习数学要按照计划去进行,要严格要求自己,重视细节,不要眼高手低。下面是小编为大家带来的高中数学学习经验和方法有哪些,希望大家能够喜欢!
一、学习数学千万不要害怕
很多人因为数学不好,就没有学习数学的兴趣和信心,甚至开始讨厌数学,导致数学更差了。虽然学数学需要一定的天分,但在高考中只要努力,没有天分也能考出一个不错的成绩,只要我们端正心态去努力,一定会有好结果的。
二、一定量的习题训练
数学跟其他科目不一样。如果平时不动手练习,就算明白思路,也不一定能准确计算,所以我们平时要做题来提高熟练度、速度和正确率。做题可以让我们更熟悉考点,明白出题者的意图,更快地解题。如果一种题型做了3~5道,那么等下次再遇到这类题,你就能很快明白方向,知道该采用哪种方法。
三、做相应章节的典型习题
做相应章节的习题一方面是易考,一方面是能够更熟悉本章考点及“陷阱”。
四、整理易错的题
我们大部分都是普通人,没办法对做错的题过目不忘,牢记于心。所以我们需要用笔记本把做错的题定期整理复习一下,尤其是高三的学生,不能再像以前一样学了又忘,反复犯错。
五、会的题赶紧动手做
1.不论是大题还是小题,先做会做的题,再做有一点把握的题,再做有困难的题,最后做实在不会的题。这样才能保证多拿分。
2.不要在小题上纠结。每道选择题平均控制在一分半内。
3.坚持“5、2、2原则”。优先做选择题的前5道,填空题的前2到3道,解答题的前2道。这些题都是简单送分的题。
4.如果有实在不会做的题,要学会舍弃,保证前面的题能拿到分数。
5.心算会比较容易出错,一定要心算笔算相结合。
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四、整理易错的题
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五、会的题赶紧动手做
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2.不要在小题上纠结。每道选择题平均控制在一分半内。
3.坚持“5、2、2原则”。优先做选择题的前5道,填空题的前2到3道,解答题的前2道。这些题都是简单送分的题。
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