为您找到与高中数学几何计算公式相关的共200个结果:
在高中数学知识体系中,平面解析几何是其中很大的一块,涉及到直线及其方程、线性规划、圆及其方程、椭圆及其方程、抛物线及其方程、双曲线及其方程以及曲线与方程的关系及其图像等具体的知识点。下面是百文网小编给大家带来的怎样学习高中数学平面解析几何怎样才最有效,供大家参考!
高中期间学习是需要同学们的毅力和努力的所以说我们一定要有一个好的方法和技巧才可以更好的使我们的学习成绩变好。特别是数学,有很多同学都会有偏科的情况出现,所以我们一定要找对方法去学习。
学会配合老师主动学习。 高中学生学习的主动性要强。作为一个小学生就是今天做作业了就出去玩,高中生也是这样,对于一个高中生来说,如果你还这么做的话,每天写完作业就出去玩的话,是远远不够的,高中的知识是特别多的,他需要你不停的积累知识,不停地把做题的方法和解题思路完善,这样才可以把你的数学学好。高中学生必须提高自己的学习主动性。
合理规划步步为营。 高中的学习是非常紧张的,所以说我们每一个人都不要松懈,每个学生都要投入自己的几乎全部的精力。如果你想要自己的数学成绩越来越好,你需要做的就是给自己制定一个较长远的学习目标和计划,安排好自己的时间,并及时作出合理的调整,你的学习时间才可以用得更加充分。
我们在学习高中数学的时候,除了上课认真听老师讲解外,我们的学习方法,学习习惯也很重要,只要学生认真努力,数学成绩提高是很容易的。数学的学习过程中千万不要有心理上的压力和顾虑,任何学科也是一样,是一个慢慢学习和积累的过程。
高中学习但要记住的一点,这个过程我们是否能真正的学好数学,除了以上的方法,还有很多的方法,但是我们的最终的目的就是养成一个好的学习习惯,有一套属于自己的学习方法。
高中数学立体几何一直是数学的一大难点。因为它要求学生有立体感,在一个平面内把几何图形的立体感想象出来。同时,立体几何题目也是高考数学核心考点,那么,有什么技巧呢?小编整理了相关资料,希望能帮助到您。
第一要建立空间观念,提高空间想象力。从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃,要有一个过程。有的同学自制一些空间几何模型并反复观察,这有益于建立空间观念,是个好办法。有的同学有空就对一些立体图形进行观察、揣摩,并且判断其中的线线、线面、面面位置关系,探索各种角、各种垂线作法,这对于建立空间观念也是好方法。此外,多用图表示概念和定理,多在头脑中“证明”定理和构造定理的“图”,对于建立空间观念也是很有帮助的。
第二要掌握基础知识和基本技能。要用图形、文字、符号三种形式表达概念、定理、公式,要及时不断地复习前面学过的内容。这是因为《立体几何》内容前后联系紧密,前面内容是后面内容的根据,后面内容既巩固了前面的内容,又发展和推广了前面内容。在解题中,要书写规范,如用平行四边形ABCD表示平面时,可以写成平面AC,但不可以把平面两字省略掉;要写出解题根据,不论对于计算题还是证明题都应该如此,不能想当然或全凭直观;对于文字证明题,要写已知和求证,要画图;用定理时,必须把题目满足定理的条件逐一交待清楚,自己心中有数而不把它写出来是不行的。要学会用图(画图、分解图、变换图)帮助解决问题;要掌握求各种角、距离的基本方法和推理证明的基本方法——分析法、综合法、反证法。
第三要不断提高各方面能力。通过联系实际、观察模型或类比平面几何的结论来提出命题;对于提出的命题,不要轻易肯定或否定它,要多用几个特例进行检验,最好做到否定举出反面例子,肯定给出证明。欧拉公式的内容是以研究性课题的形式给出的,要从中体验创造数学知识。要不断地将所学的内容结构化、系统化。所谓结构化,是指从整体到局部、从高层到低层来认识、组织所学知识,并领会其中隐含的思想、方法。所谓系统化,是指将同类问题如平行的问题、垂直的问题、角的问题、距离的问题、惟一性的问题集中起来,比较它们的异同,形成对它们的整体认识。牢固地把握一些能统摄全局、组织整体的概念,用这些概念统摄早先偶尔接触过的或是未察觉出明显关系的已知知识间的联系,提高整体观念。
要注意积累解决问题的策略。如将立体几何问题转化为平面问题,又如将求点到平面距离的问题,或转化为求直线到平面距离的问题,再继而转化为求点到平面距离的问题;或转化为体积的问题。要不断提高分析问题、解决问题的水平:一方面从已知到未知,另方面从未知到已知,寻求正反两个方面的知识衔接点——一个固有的或确定的数学关系。要不断提高反省认知水平,积极反思自己的学习活动,从经验上升到自动化,从感性上升到理性,加深对理论的认识水平,提高解决问题的能力和创造性。
在平时的学习过程中,对于证明过的一些典型命题,可以把其作为结论记下来。利用这些结论可以很快地求出一些运算起来很繁琐的题目,尤其是在求解选择或填空题时更为方便。对于一些解答题虽然不能直接应用这些结论,但其也会帮助我们打开解题思路,进而求解出答案。
高中数学平面解析几何知识点有哪些你知道吗?近年的高中数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”,解答时不必一气审到底,应走一步解决一步,一起来看看高中数学平面解析几何知识点,欢迎查阅!
平面解析几何初步:
①直线与方程是解析几何的基础,是高考重点考查的内容,单独考查多以选择题、填空题出现;间接考查则以直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识综合为主,多为中、高难度试题,往往作为把关题出现在高考题目中。直接考查主要考查直线的倾斜角、直线方程,两直线的位置关系,点到直线的距离,对称问题等,间接考查一定会出现在高考试卷中,主要考查直线与圆锥曲线的综合问题。
②圆的问题主要涉及圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的'集合性质的讨论,难度中等或偏易,多以选择题、填空题的形式出现,其中热点为圆的切线问题。③空间直角坐标系是平面直角坐标系在空间的推广,在解决空间问题中具有重要的作业,空间向量的坐标运算就是在空间直角坐标系下实现的。空间直角坐标系也是解答立体几何问题的重要工具,一般是与空间向量在坐标运算结合起来运用,也不排除出现考查基础知识的选择题和填空题。
高中数学平面解析几何知识点
平面解析几何,又称解析几何(英语:Analytic geometry)、坐标几何(英语:Coordinategeometry)或卡氏几何(英语:Cartesiangeometry),早先被叫作笛卡儿几何,是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线,使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面,同时研究它们的方程,并定义一些图形的概念和参数。
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坐标
在解析几何当中,平面给出了坐标系,即每个点都有对应的一对实数坐标。最常见的是笛卡儿坐标系,其中,每个点都有x-坐标对应水平位置,和y-坐标对应垂直位置。这些常写为有序对(x,y)。这种系统也可以被用在三维几何当中,空间中的每个点都以多元组呈现(x,y,z)。坐标系也以其它形式出现。在平面中最常见的另类坐标系是极坐标系,其中每个点都以从原点出发的半径r和角度θ表示。在三维空间中,最常见的另类坐标系统是圆柱坐标系和球坐标系。
曲线方程
在解析几何当中,任何方程都包含确定面的子集,即方程的解集。例如,方程y=x在平面上对应的是所有x-坐标等于y-坐标的解集。这些点汇集成为一条直线,y=x被称为这道方程的直线。总而言之,线性方程中x和y定义线,一元二次方程定义圆锥曲线,更复杂的方程则阐述更复杂的形象。通常,一个简单的方程对应平面上的一条曲线。但这不一定如此:方程x=x对应整个平面,方程x2+y2=0只对应(0,0)一点。在三维空间中,一个方程通常对应一个曲面,而曲线常常代表两个曲面的交集,或一条参数方程。方程x2+y2=r代表了是半径为r且圆心在(0,0)上的所有圆。
距离和角度
在解析几何当中,距离、角度等几何概念是用公式来表达的。这些定义与背后的欧几里得几何所蕴含的主旨相符。例如,使用平面笛卡儿坐标系时,两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离d(又写作|AB|被定义为
上述可被认为是一种勾股定理的形式。类似地,直线与水平线所成的角可以定义为
其中m是线的斜率。
变化
变化可以使母方程变为新方程,但保持原有的特性。
交集
主题问题编辑解析几何中的重要问题:
向量空间
平面的定义
距离问题
点积求两个向量的角度
外积求一向量垂直于两个已知向量(以及它们的空间体积)
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平面解析几何基本理论
平面解析几何初步综合检测
高中数学平面几
1圆的知识应用
圆的方程有这两个表达方式,
(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,其中(a,b)是圆心坐标,r是圆的半径。
(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2+4F>0),圆心坐标为:(-2/D,-2/E),半径为:r=。
例:设f(x)=(x-2005)(x+2006)的图像与坐标有三个交点A、B、C,则过圆与坐标轴的另一交点D坐标为多少?我们可以进行如下分析:
若求得函数f(x)=(x-2005)(x+2006)与坐标轴的交点A(2005,0)B(-2006,0),C(0,-2005×2006),然后求出A、B、C三点的圆的方程,最后求圆与坐标轴的另一交点显然运算量过大,若考虑过三点A、B、C的圆与O点的关系,设另一交点D,则可借助相交弦定理:|OA|·|OB|=|OC|·|OD|,可以得到2005×2006=2005×2006·|OD|,则|OD|=1,因此D点的坐标为(0,1),因此在做题时应当注意思维的发散运用。
3.2双曲线的知识应用
由双曲线的标准方程为:
(1)-=1(a>1,b>0)焦点为(±c,0)
(2)-=1(a>0,b>0)焦点为(0,±c)
A、b、c的关系为:c2=a2+b2
双曲线的渐近线方程:y=±x
例:已知双曲线-=1(a>1,b>0)的左右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=|PF2|。求双曲线离心率e的最大值,并写出此时双曲线的渐近线方程。我们可以这样考虑:
由|PF1|=3|PF2|,|PF1|-|PF2|=2a得到|PF2|=a,c-a≤|PF2|,則c≤2a,所以e=≤2,当e取最大值2时,==
所以双曲线的渐近线方程为:y=±
3.3线性关系证明应用
如下图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F,证明∠DEN=∠F。分析如下:
以M为原点,AB为X轴,以垂直方向线段为Y轴建立坐标系,可以把CD看做是圆周上的动点,设AD=BC=r,则C点可以看做是以B为圆心,r为半径的圆周上的动点,D点同样对待,这样我们就可以得到:
C(rcosθ,rsinθ)、D(-a+rcosφ,rsinφ),由此可得,
N(,)所以=tan
从而证明出∠DEN=∠F。
何的学习技巧
几何学被广泛应用在科学研究和生活建筑的各个方面,要学好平面几何,可以从以下几个方面把握相关技巧:
第一,在概念和定理的学习中,概念要学会转化成几何语言来表述,定理要分清适用条件和适用图形。例如一个简单的例子,对于线段中点的定义,我们可以转化成这样的几何方式:点A、B、C在同一直线上,由于AC=BC,所以C点是线段中点,我们还可以倒过来想,若C是中点,可以得到2AC=2BC=AB,这样我们就能清楚地看到其包含的计算关系。
第二,在例题和练习题的学习中,例题能够促进课文中基本概念、定理等基础知识的掌握,练习题则可以考验学生对其运用的灵活度,若能有效地进行练习,就能达到举一反三的效果。
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立体几何这类题需要比较强的空间思维想象力,所以对部分同学来说也是挺头疼的类型题。那么下面小编给大家分享一些高中数学立体几何知识点,希望能够帮助大家!
几何体的三视图和直观图
1.空间几何体的三视图:
定义:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右);俯视图(从上向下)。
注:正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽带;侧视图反映了物体的高度和宽带。
球的三视图都是圆;长方体的三视图都是矩形。
2.空间几何体的直观图——斜二测画法
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相较于点O。画直观图时,把它们画成对应的x’轴和y’轴,两轴交于点O’,且使<x’o’y’=45度(或135度),它们确定的平面表示水平面。< p="">
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画呈平行于x’轴或y’轴的线段。
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半。
(4)z轴方向的长度不变
1用点斜式、斜截式求直线的方程时,你是否注意到不存在的情况?
2到角公式时,易将直线l1、l2的斜率k1、k2的顺序弄颠倒。
3线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。
4定比分点的坐标公式是什么?(起点,中点,分点以及值可要搞清),在利用定比分点解题时,你注意到了吗?
5不重合的两条直线
(建议在解题时,讨论后利用斜率和截距)
6线在两坐标轴上的截距相等,直线方程可以理解为,但不要忘记当时,直线在两坐标轴上的截距都是0,亦为截距相等。
7决线性规划问题的基本步骤是什么?请你注意解题格式和完整的文字表达.(①设出变量,写出目标函数②写出线性约束条件③画出可行域④作出目标函数对应的系列平行线,找到并求出最优解⑦应用题一定要有答。)
8种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质,椭圆与双曲线中的两个特征三角形你掌握了吗?
9圆、和椭圆的参数方程是怎样的?常用参数方程的方法解决哪一些问题?
10圆锥曲线第二定义解题时,你是否注意到定义中的定比前后项的顺序?如何利用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式?如何应用焦半径公式?
11是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.(想一想在双曲线中的结论?)
12锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程中要注意:二次项的系数是否为零?椭圆,双曲线二次项系数为零时直线与其只有一个交点,判别式的限制.(求交点,弦长,中点,斜率,对称,存在性问题都在下进行).
13几何问题的求解中,平面几何知识利用了吗?题目中是否已经有坐标系了,是否需要建立直角坐标系?
高中数学空间几何体的学习一直是高中数学教学的重、难点,学生要重点掌握相关知识点,下面百文网小编给大家带来高中数学必修2空间几何体知识点,希望对你有帮助。
一本书
就是教科书,这是基础的基础,但是被中等生最忽视的。笔者高中时,先看教科书再做题,所以往往同学做到第5题,我才刚开始,但当我做了20题时,反过来发现同学做到第17题,这就是磨刀不误砍柴工。最后不仅省时,而且比同学多巩固了书本知识,然后从书本原理到题目及从题目到原理走了一个来回,培养了以理论解决实际问题的能力,提高了以不变应万变的能力。一句话,省时又高效。为摆脱题海打下了基础。
两方法
1)找到已知与求解的“桥梁”。主要针对中等题及难题,利用已知,推一步或几步,完成转化,从求解往后推几步,看看还缺什么,再去回忆脑袋里的知识点及解过的经典题,把已知与求解的差距补上,这个就是“桥梁”原理。
2)有些题按上述方法还遇到困难,可能需要另辟蹊径,如从定义出发或需要再审视已知条件,可能还未用尽已知条件或有些暗含的已知条件未挖掘出来。
三步骤
1)先看教科书,真正搞懂课本例题,并做课后练习(虽然看上去很简单,但是实质上就是要你检查自己是否真的掌握这些基本知识点。),
2)利用历年高考真题, 这些题很有价值,先掩着答案,根据你之前课本学的基础内容,尝试自己亲自动手做一下,再对答案,明白其原理,真正弄懂它,看看能否举一反三,可问老师及同学,也可请家教,最后达到触类旁通。
3)同步练习,必须紧跟课程,不能赖下来的,一步一个脚印去做。
数学知识点较多,容易忘记,但以上的步骤你都能做到的话,那么就不那么容易遗忘,即使忘记,你也可以翻阅以前的内容重新巩固一遍。
四层次
1)基本知识点。含概念、定义、定理、公式等,这是基础,这个不过关,其他免谈。笔者平时先看教科书,就是这个道理。--这部分,虽然重要,但笔者辅导不作重点,只是检查与提醒,因为可自学及问自己老师同学。会这个的人太容易找到了。
2)数学思想与数学技能。数学思想如方程函数思想、数形结合思想、对称思想、分类讨论思想,化归思想;数学技能如配方、待定系数法等。笔者由于这方面强,故多年不做题或见到陌生题均不慌,因为这些思想能力是深入骨髓的。
3)数学模型与中间结论。数学模型就是具体题目的解题套路,中间结论可使学生减少解题步骤,加快解题速度,减少出错机会。这些有了2数学思想与数学技能,就能自己推导出来,但要注意总结与积累。
4)特殊解题技巧。这个要求以上3方面都较强,聪明加灵感,平时善于总结与归纳,看透事物本源,熟能生巧,触类旁通。故对中等生不作过高要求,所谓可遇而不可求。笔者对高考实考试卷的选择与填空,特别是选择,有相当部分,有的试卷甚至一半以上可在题读完后,几秒得出正确答案。凭的就是这个本事。
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立体几何是数学的常考的知识点,下面百文网的小编将为大家带来高中数学的立体几何的解题的技巧介绍,希望能够帮助到大家。
1.做题之后加强反思
2.主动复习总结提高
3.重视改错错不重犯
4.积累资料随时整理
5.配合老师主动学习
6.合理规划步步为营。
高中数学的主要的考点归纳
一:集合
考点1:集合的基本运算
考点2:集合之间的关系
二:函数
考点3:函数及其表示
考点4:函数的基本性质
考点5:一次函数与二次函数.
考点6:指数与指数函数
考点7:对数与对数函数
考点8:幂函数
考点9:函数的图像
考点10:函数的值域与最值
考点11:函数的应用
三:立体几何初步
考点12:空间几何体的结构、三视图和直视图
考点13:空间几何体的表面积和体积
考点14:点、线、面的位置关系
考点15:直线、平面平行的性质与判定
考点16:直线、平面垂直的判定及其性质
考点17:空间中的角
考点18:空间向量
四:直线与圆
考点19:直线方程和两条直线的关系
考点20:圆的方程
考点21:直线与圆、圆与圆的位置关系
五:算法初步与框图
考点22:算法初步与框图
六:三角函数
考点23:任意角的三角函数、同三角函数和诱导公式
考点24:三角函数的图像和性质
考点25:三角函数的最值与综合运用
考点26:三角恒等变换
考点27:解三角形
七:平面向量
考点28:平面向量的概念与运算
考点29:向量的运用
八:数列
考点30:数列的概念及其表示
考点31:等差数列
考点32:等比数列
考点33:数列的综合运用
九:不等式
考点34:不等关系与不等式
考点35:不等式的解法
考点36:线性规划
考点37:不等式的综合运用
十:计数原理
考点38:排列与组合
考点39:二项式定理
十一:概率与统计
考点40:古典概型与几何概型
考点41:概率
考点42:统计与统计案例
十二:常用逻辑用语
考点43:简单逻辑
考点44:充分条件与必要条件
十三:圆锥曲线
考点45:椭圆
考点46:双曲线
考点47:抛物线
考点48:直线与圆锥曲线的位置关系
考点49:圆锥曲线方程
考点50:圆锥曲线的综合问题
十四:导数及其应用
考点51:导数与积分
考点52:导数的应用
十五:推理与证明
考点53:合情推理与演绎推理
考点54:直接证明与间接证明
考点55:数学归纳法
十六:数系的扩充与复数的引入
考点56:数系的扩充与复数的引入
十七:选考内容
考点57:几何证明选讲
考点58:坐标系与参数方程
考点59:不等式选讲
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方差是指各个数据与平均数之差的平方的平均数,同时这也是高中数学必修三课本的重点内容,下面百文网小编给大家带来数学必修三方差计算公式,希望对你有帮助。
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分层抽样
(1)分层抽样(类型抽样):
先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,最后,将这些子样本合起来构成总体的样本。
两种方法:
①先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
②先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列,最后用系统抽样的方法抽取样本。
(2)分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体,所有的样本进而代表总体。
分层标准:
①以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。
②以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。
③以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
高中数学必修3统计知识点:系统抽样
(1)系统抽样(等距抽样或机械抽样):
把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。 K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模)
前提条件:总体中个体的排列对于研究的变量来说,应是随机的,即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下,从不同的样本开始抽样,对比几次样本的特点。如果有明显差别,说明样本在总体中的分布承某种循环性规律,且这种循环和抽样距离重合。
(2)系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低,实施也比较简单。更为重要的是,如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用,总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话,使用系统抽样可以大大提高估计精度。
简单随机抽样
(1)总体和样本
①在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体.②把每个研究对象叫做个体.③把总体中个体的总数叫做总体容量.
④为了研究总体 的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分: x1,x2 , ....研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.
(2)简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随
机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等),样本的每个单位完全独立,彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法。
(3)简单随机抽样常用的方法:
①抽签法②随机数表法③计算机模拟法③使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度。
(4)抽签法:
①给调查对象群体中的每一个对象编号;②准备抽签的工具,实施抽签;
③对样本中的每一个个体进行测量或调查
程序框图
程序框图的概念:
程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形;
程序框图的构成:
一个程序框图包括以下几部分:实现不同算法功能的相对应的程序框;带箭头的流程线;程序框内必要的说明文字。
设计程序框图的步骤:
第一步,用自然语言表述算法步骤;
第二步,确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构,并用相应的程序框图表示,得到该步骤的程序框图;
第三步,将所有步骤的程序框图用流程线连接起来,并加上终端框,得到表示整个算法的程序框图。
画程序框图的规则:
(1)使用标准的框图符号;
(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画;
(3)除判断框外,大多数程序框图中的程序框只有一个进入点和一个退出点,判断框是具有超过一个退出点的唯一符号;
(4)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
几种重要的结构:
顺序结构、条件结构、循环结构。
几何是数学中学习的重要的内容,在数学几何中求参数取值范围的方法有几种,下面是百文网小编给大家带来的有关于这些的方法介绍 ,希望能够帮助到大家。
一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式
曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.
例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)
求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.
解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1
又∵线段AB的垂直平分线方程为
y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )
令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2
又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点
∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a
∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF?FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.
分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.
解: 依题意有
∴tanθ=2S
∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4
又∵0≤θ≤π
∴π4 <θ< p>
例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 ( )
A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>
分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.
解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a
得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0
∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立
又∵ y02≥0
而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )
二、利用判别式构造不等式
在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.
例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是 ( )
A [-12 ,12 ] B [-2,2] C [-1,1] D [-4,4]
分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0
解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2)
由 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0
∵直线L与抛物线有公共点
∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 (C)
例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B,求实数k的取值范围.
分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.
解:由 得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0
∵直线与双曲线的右支交于不同两点,则
解得 -2<-2< p>
三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式
曲线把坐标平面分成三个区域,若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系:若P在曲线上,则f(x0,y0)=0;若P在曲线内,则f(x0,y0)<0;若P在曲线外,则f(x0,y0)>0;可见,平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题.
例6已知椭圆2x2 + y2 = a2 (a>0)与连结两点A(1,2)、B(2,3)的线段没有公共点,求实数a的取值范围.
分析:结合点A,B及椭圆位置,可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件.
解:依题意可知,当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。
当A、B同时在椭圆内,则
解得a >17
当A、B同时在椭圆外,则
解得0<6< p>
综上所述,解得0<6 或a>17
例7若抛物线y2=4mx (m≠0)的焦点在圆(x-2m)2+(y-1)2=4的内部,求实数m的取值范围.
分析:由于焦点(m,0)在圆内部,则把(m,0)代入可得.
解:∵抛物线的焦点F(m,0)在圆的内部,
∴(m-2m)2+(0-1)2<4 即m2<3
又∵m≠0
∴-3 <0或0<3< p>
四、利用三角函数的有界性构造不等式
曲线的参数方程与三角函数有关,因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程,后利用三角函数的有界性构造不等式求解。
例8 若椭圆x2+4(y-a)2 = 4与抛物线x2=2y有公共点,
求实数a的取值范围.
分析: 利用椭圆的参数方程及抛物线方程,得到实数a与参数θ的关系,再利用三角函数的有界性确定a的取值情况.
解:设椭圆的参数方程为 (θ为参数)
代入x2=2y 得
4cos2θ= 2(a+sinθ)
∴a = 2cos2θ-sinθ=-2(sinθ+ 14 )2+ 178
又∵-1≤sinθ≤1,∴-1≤a≤178
例9 已知圆C:x2 +(y-1)2= 1上的点P(m,n),使得不等式m+n+c≥0恒成立,求实数c的取值范围
分析:把圆方程变为参数方程,利用三角函数的有界性,确定m+n的取值情况,再确定c的取值范围.
解:∵点P在圆上,∴m = cosβ,n = 1+sinβ(β为参数)
∵m+n = cosβ+1+sinβ = 2 sin(β+ π4 )+1
∴m+n最小值为1-2 ,
∴-(m+n)最大值为2 -1
又∵要使得不等式c≥-(m+n) 恒成立
∴c≥2 -1
五、利用离心率构造不等式
我们知道,椭圆离心率e∈(0,1),抛物线离心率e = 1,双曲线离心率e>1,因而可利用这些特点来构造相关不等式求解.
例10已知双曲线x2-3y2 = 3的右焦点为F,右准线为L,直线y=kx+3通过以F为焦点,L为相应准线的椭圆中心,求实数k的取值范围.
分析:由于椭圆中心不在原点,故先设椭圆中心,再找出椭圆中各量的关系,再利用椭圆离心率0<1,建立相关不等式关系求解.< p>
解:依题意得F的坐标为(2,0),L:x = 32
设椭圆中心为(m,0),则 m-2 =c和 m-32 = a2c
两式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e2
∵0<1,∴0<1,解得m>2,
又∵当椭圆中心(m,0)在直线y=kx+3上,
∴0 = km+3 ,即m = - 3k ,
∴- 3k >2,解得-32 <0< p>
在高中数学学习中,几何问题是整体数学中分数占比很大的一部分,接下来百文网小编为你整理了高中数学几何试题及答案,一起来看看吧。
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立体几何是高中数学的重点内容之一,如何学好立体几何一直是学生、家长和教师比较关注的问题,而学好立体几何的目的之一是学会如何解决立体几何问题。下面是百文网小编为你整理的高中数学立体几何学习方法,一起来看看吧。
我个人觉得,解立体几何的问题,主要是充分运用“转化”这种数学思想,要明确在转化过程中什么变了,什么没变,有什么联系,这是非常关键的。例如:
(1)两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。
(2)异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离,也可以转化为两平行平面的距离,即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。而面面距离可以转化为线面距离,再转化为点面距离,点面距离又可转化为点线距离。
(3)面和面平行可以转化为线面平行,线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到,它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直,进而转化为线线垂直。
(4)三垂线定理可以把平面内的两条直线垂直转化为空间的两条直线垂直,而三垂线逆定理可以把空间的两条直线垂直转化为平面内的两条直线垂直。
以上这些都是数学思想中转化思想的应用,通过转化可以使问题得以大大简化。
数学几何在整个高中数学学习中占有重要的份量,相关的练习题及答案有哪些内容呢?下面是百文网小编为你整理的高中数学几何练习题和答案,一起来看看吧。
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几何是高中数学中最基本的内容,有哪些解题技巧呢?接下来百文网小编为你整理了高中数学几何题解题技巧,一起来看看吧。
1.平行、垂直位置关系的论证的策略:
(1)由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。
(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高,在证明线线垂直时应优先考虑。
2.空间角的计算方法与技巧:
主要步骤:一作、二证、三算;若用向量,那就是一证、二算。
(1)两条异面直线所成的角①平移法:②补形法:③向量法:
(2)直线和平面所成的角
①作出直线和平面所成的角,关键是作垂线,找射影转化到同一三角形中计算,或用向量计算。
②用公式计算.
(3)二面角
①平面角的作法:(i)定义法;(ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。
②平面角的计算法:
(i)找到平面角,然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;(ii)射影面积法 ;(iii)向量夹角公式.
3. 空间距离的计算方法与技巧:
(1)求点到直线的距离:经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线,然后在相关的三角形中求解,也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。
(2)求两条异面直线间距离:一般先找出其公垂线,然后求其公垂线段的长。在不能直接作出公垂线的情况下,可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。
(3)求点到平面的距离:一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面,利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线,进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时,我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离,从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。
4. 熟记一些常用的小结论,诸如:正四面体的体积公式是 ;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件,这可能是快速解答某些问题的前提。
5.平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题,要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。
6.与球有关的题型,只能应用“老方法”,求出球的半径即可。
7.立体几何读题:
(1)弄清楚图形是什么几何体,规则的、不规则的、组合体等。
(2)弄清楚几何体结构特征。面面、线面、线线之间有哪些关系(平行、垂直、相等)。
(3)重点留意有哪些面面垂直、线面垂直,线线平行、线面平行等。
①弄清问题。也就是明白“求证题”的已知是什么?条件是什么?未知是什么?结论是什么?也就是我们常说的审题。
②拟定计划。找出已知与未知的直接或者间接的联系。在弄清题意的基础上,从中捕捉有用的信息,并及时提取记忆网络中的有关信息,再将两组信息资源作出合乎逻辑的有效组合,从而构思出一个成功的计划。即是我们常说的思考。
③执行计划。以简明、准确、有序的数学语言和数学符号将解题思路表述出来,同时验证解答的合理性。即我们所说的解答。
④回顾。对所得的结论进行验证,对解题方法进行总结。
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高中立体几何概念内涵丰富,但是学生要想真正理解立体几何概念还需要空间想象能力。因此,立体几何概念的学习对于学生来说是一大难关。
一、填空题:
1、A,B,C为空间三点 , 经过这三点的平面有 _______ 个。
2、两个球的半径之比为1∶2,那么两个球的表面积之比为________。
3、已知 a,b 是两条异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么直线 c 与直线 b 的位置关系是____________。
4、 空间中直线 l 和三角形的两边AC,BC同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是________。
5、以下角:①异面直线所成角;②直线和平面所成角;③二面角的平面角,可能为钝角的有________个。
6、过平面外一点能作 _______ 条直线与这个平面平行。
7、已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为 9π/16 ,则正方体的棱长为________。
8、如图所示的水平放置的平面图形的直观图,它所表示的平面图形ABCD是 ________。
第8题图
9、如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′,若PA′∶AA′=3∶4,
则S△A′B′C′∶S△ABC=________。
第9题图
10、已知平面 α 外两点 A、B到平面 α 的距离分别是3和5,则A,B的中点P到平面α的距离是________。
11、若圆锥的全面积是底面积的3倍,则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为________度。
12、如图,已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,则三棱锥B1—ABC的体积为________。
第12题图
13、 在正四面体P-ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,下面四个结论中不成立的是________。
①BC∥面PDF;②面PDF⊥面ABC;③DF⊥面PAE;④面PAE⊥面ABC。
第13题图
14. 设α∥β,A∈α,C∈α,B∈β,D∈β,直线AB与CD交于O,若AO=8,BO=9,CD=51,则CO=________。
二、解答题
15、已知:平面α∩平面β=b,直线a∥α,a∥β,求证:a∥b。
第15题图
16、已知ABCD是空间四边形,AB=AD,CB=CD ,求证:AC⊥BD 。
第16题图
17、 如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD。
(1) 若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;(2) 求证:AD⊥PB。
第17题图
18、如图,在三棱锥 P-ABC 中,平面 PAB ⊥平面 PBC ,AB⊥BC,AP=AB,过 A 作 AF⊥PB 垂足为 F,点 E , G 分别是棱 PA ,
PC 的中点。
求证:(1)平面 EFG∥平面 ABC ; (2)BC⊥PA 。
第18题图
19、已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1,P、Q 分别是正方形 AA1D1D 和 A1B1C1D1 的中心。
(1)证明:PQ∥平面DD1C1C;(2)求线段PQ的长;(3)求PQ与平面AA1D1D所成的角 。
第19题图
20、如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E、F分别是AB、BD的中点。
求证:(1)EF∥面ACD;(2) 面EFC⊥面BCD。
第20题图
高中数学立体几何章节检测题
一、 填空题:
① 1或无数个 ② 1∶4 ③ 相交或异面 ④ 垂直 ⑤ 1 ⑥ 无数条 ⑦ √3/2 ⑧ 直角梯形 ⑨ 9∶49 ⑩ 4或1
⑪ 180 ⑫ √3 ⑬ ② ⑭ 24或408
二、解答题
15、证明:
16、证明:
17、证明:
(1) 连结PG,由题知△PAD为正三角形,G是AD的中点,∴PG⊥AD。
又平面PAD⊥平面ABCD,∴PG⊥平面ABCD,∴PG⊥BG。
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,∴BG⊥AD。
又AD∩PG=G,∴BG⊥平面PAD。
(2) 由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD。
所以AD⊥平面PBG,所以AD⊥PB。
18、证明:
19、证明:
20、证明:
(1) ∵ E,F分别是AB,BD的中点,
∴ EF是△ABD的中位线,∴EF∥AD,
∵ EF⊄面ACD,AD⊂面ACD,∴ EF∥面ACD。
(2) ∵ AD⊥BD,EF∥AD,∴ EF⊥BD。
∵ CB=CD,F是BD的中点,∴ CF⊥BD。
又 EF∩CF=F,∴ BD⊥面EFC.∵ BD⊂面BCD,
∴ 面EFC⊥面BCD。
向量作为一种数学工具,可以起到联接几何与代数的作用。在涉及到立体几何的问题中,运用向量可以简洁的推导出或者证明一系列的诸如余弦定理、线面垂直、线面平行等命题。
数学知识不仅仅是日常生活中得到广泛使用的基础知识,也是其他高新知识和产业发展的基础,所以对于数学知识的学习显得至关重要。而对于学生而言,高中阶段的数学知识学习在整个学习过程中有更为关键性的意义。
数学上,立体几何(Solid geometry)是3维欧氏空间的几何的传统名称—- 因为实际上这大致上就是我们生活的空间。如果让你分析立体几何的大概内容与结构,你会怎样写呢?接下来百文网小编为你整理了高中数学论文立体几何,一起来看看吧。
高中数学的教学目的是使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习现代科学技术所必需的数学基础知识和技能,培养学生的运算能力。《立体几何》作为高中数学的重要组成部分,既是教学中的重点,又是教学中的难点。
一、上好第一堂课,激发学生学习《立体几何》这门课的兴趣
浓厚的学习兴趣不仅可以使学生积极主动地从事学习活动,而且学习起来还会心情愉快,能够做到全神贯注,长期坚持从而形成一种终身的学习习惯。另外,学生在学习立体几何之前,对立体几何普遍有一种畏惧心理。
所以立体几何的第一堂课是否能抓住学生,调动学生的学习积极性,激发学生学习立体几何的兴趣,非常关键。
二、帮助学生建立空间概念
学生由于受学平面几何的思维定势的影响,在学习立体几何时,要建立起空间概念,有一定的困难,只有尽早解决这个问题。才能学好立体几何。
1.识图与画图
在开始学习立体几何时,要让学生特别注意空间图形在平面内的画法,切不可把虚线再当作平面图形中的辅助线,要把平面图形中的角、线段与空间实例相对照。
2.亲自动手,制作模型
在解决有些问题时,可以把某些元素用实物来表示。对于一些折叠图形问题,学生不妨动手自己折一折,观察分析位置关系的变化,这样就容易看清元素间的位置关系。
三、培养学生空间想象的能力
在立体几何教学中,空间想象能力是重要的数学能力之一,也是一种基本的数学能力。它强调对图形的认识、理解和应用,既会用图形表现空间形体,又会由图形想象出直观的形象,立体几何承担着培养学生空间想象能力的独特功能。
1.教会学生看空间几何体
立体几何的概念教学要从实例引入,对图形的观察、分析来抓住它们的本质特征,抽象出数学概念。
2.重视画图基本功的训练
画出正确图形,是学生解决立体几何问题的前提和基础,画图基本功的训练,应贯穿在立体几何教学的全过程。
(1)教师利用教具、实物,让学生观察,分析抽象出概念后,然后画出相应概念的直观图。
(2)边说边画,让学生看到教师画图的过程,或者让学生在练习本上与教师同步绘制,那种把图形事先画在小黑板上的作法,在教学很长一段时间内是不宜使用的。
(3)让学生把教材中的示范图形,储存在头脑中。
四、证明题的证题思路
立体几何中,证明题占有很大的比例,即使在计算题中,也需要先通过证明以确定元素间的位置关系,然后再进行计算。所以尽快找到证题思路,是解决立体几何题的关键。
1.掌握证题必备的知识
首先掌握线线、线面平行、垂直的判定定理与性质定理本身,对定理本身揭示的内涵有深刻的理解,能熟练画出图形及写出定理的题设、结论。在这些基础上,还应掌握定理的结构及内在的联系。
2.分析证题思路的“十二字令:看结论、想判定;看条件,定取舍”
看结论:指的是命题欲证结论是哪一种结论,是线线平行还是线面垂直。
想判定:指的是依据结论,思考证明该结论的方法有哪些。
看条件,定取舍:指的是证明结论的方法有多种,要根据题目的具体条件来决定选用何种判定定理或性质定理。
3.走好证题起始第一步
一个复杂的命题,其证明过程一般要经过从低维到高维的渐进过程。即从线线关系推证出线面关系,再从线面关系推出面面关系。
五、坚持转化思想
最明显的是空间的三种角:异面直线所成的角、斜线和平面所成的角、二面角的度量,都是转化为平面几何中的角来解决。另外,定理的构成明显地显示出“低维”与“高维”、“简单”与“复杂”的转化。如判定定理的构成,遵循线线到线面再到面面的原则。逐步从简到繁,而性质定理的构成,则遵循面面到线面再到线线的原则,它显示出在整体认识的基础上,进一步研究它的局部与个体。