为您找到与高中数学不等式计算题相关的共202个结果:
学习重在积累,知识的积累和经验、方法的积累,尤其是要把问题类型、分析方法和典范例题等作为一个统一整体来进行积累。下面小编跟大家聊聊关于高中数学不等式复习,欢迎大家阅读!
生动形象的策略
在教学中,对不等式知识的呈现和表达,要力求具体生动形象,要将学生难以理解的数学符号用学生日常生活中经常使用的语言来表述,甚至生动的表述,使数学内容和具体物质关系联系起来,全面提高学生在不等式学习中对各种数学符号的理解、表达及应用的能力.对于那些逻辑思维能力较差的学生,采取这种方式更能够引起其注意,直观的表述和表达,更能引起其理解上的共鸣,并对不等式性质产生较为深刻的印象.
在不等式教学过程中,可通过引导学生对玩跷跷板的经验进行回顾,并探究天平两侧因物体质量的大小而倾斜的特点,借助这一情景来引导学生形象地认识不等式的基本性质.比如在教学中,可从学生身边的生活经验入手,以天平倾斜这一直观表现来导入不等式的教学.a、b两物体放在天平两侧,天平向物体a倾斜,而b、c两物体放上去时,天平向物体b倾斜,那么,物体a和物体c哪个质量大?如此运用学生有生活体验的事例进行不等式性质的直观讲解,引导学生进行传递性思考,然后通过作差比较法来进一步探讨,进行理性地理解;这使枯燥、抽象的符号表达,还原为生动形象的生活知识,有利于加深学生理解和掌握能力,提高学习兴趣.
不断积累的策略
学习重在积累,知识的积累和经验、方法的积累,尤其是要把问题类型、分析方法和典范例题等作为一个统一整体来进行积累.在积累的过程中才能发现新旧知识的关联,做到条件反射、快速迁移.此外我们还应注意到,不等式的学习当中,许多已经证实的结论或者证明题的结论,都可以积累下来,作为以后推断其他结论的重要依据,从而不断提升解题能力.
要积累就需要有反复.在学习不等式的性质时,可从简单内容入手,例如,不等式7>3的两侧同时乘以任意一个不为零的数(正数、负数,小数等),让学生观察不等号的方向的变化情况;然后用711与811、79与711来乘以任意不为零的数,引导学生自己多次试验、反复尝试,自行寻找相应的规律.经过简单引导,大部分学生都能够自己总结出不等式的一些基本性质:a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。接下来是小编为大家整理的高中数学基本不等式教案设计,希望大家喜欢!
一、教材分析
1、本节教材的地位和作用
“基本不等式”是必修5的重点内容,在课本封面上就体现出来了(展示课本和参考书封面)。它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究.在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想,有利于培养学生良好的思维品质。
2、 教学目标
(1)知识目标:探索基本不等式的证明过程;会用基本不等式解决最值问题。
(2)能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。?
(3)情感目标:培养学生严谨求实的科学态度,体会数与形的和谐统一,领略数学的应用价值,激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。
3、教学重点、难点
根据课程标准制定如下的教学重点、难点
重点: 应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索基本不等式。
难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘,用基本不等式求最值。
二、教法说明
本节课借助几何画板,使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景,激发学生开始尝试活动.运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的乐趣.课堂上主要采取对比分析;让学生边议、边评;组织学生学、思、练。通过师生和谐对话,使情感共鸣,让学生的潜能、创造性最大限度发挥,使认知效益最大。让学生爱学、乐学、会学、学会。
三、学法指导
为更好的贯彻课改精神,合理的对学生进行素质教育,在教学中,始终以学生主体,教师为主导.因此我在教学中让学生从不同角度去观察、分析,指导学生解决问题,感受知识的形成过程,培养学生数形结合的意识和能力,让学生学会学习。
四、教学设计
◆运用2002年国际数学家大会会标引入
◆运用分析法证明基本不等式
◆不等式的几何解释
◆基本不等式的应用
1、运用2002年国际数学家大会会标引入
如图,这是在北京召开的第24届国际数学家大会会标.会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。(展示风车)
正方形ABCD中,AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=__,Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形,它们的面积之和是S’=_
从图形中易得,s≥s’,即
问题1:它们有相等的情况吗?何时相等?
问题2:当 a,b为任意实数时,上式还成立吗?(学生积极思考,通过几何画板帮助学生理解)
一般地,对于任意实数a、b,我们有
当且仅当(重点强调)a=b时,等号成立(合情推理)
问题3:你能给出它的证明吗?(让学生独立证明)
设计意图
(1)运用2002年国际数学家大会会标引入,能让学生进一步体会中国数学的历史悠久,感受数学与生活的联系。
(2)运用此图标能较容易的观察出面积之间的关系,引入基本不等式很直观。
(3)三个思考题为学生创造情景,逐层深入,强化理解.
2、运用分析法证明基本不等式
如果 a>0,b>0 ,
用 和 分别代替a,b。可以得到
也可写成
(强调基本不等式成立的前提条件“正”)(演绎推理)
问题4:你能用不等式的性质直接推导吗?
要证 = 1 GB3 ①
只要证 = 2 GB3 ②
要证② ,只要证 = 3 GB3 ③
要证 = 3 GB3 ③ ,只要证 = 4 GB3 ④
显然, ④是成立的.当且仅当a=b时, 不等式中的等号成立.
(强调基本不等式取等的条件“等”)
设计意图
(1)证明过程课本上是以填空形式出现的,学生能够独立完成,这也能进一步培养学生的自学能力,符合课改精神;
(2)证明过程印证了不等式的正确性,并能加深学生对基本不等式的理解;
(3)此种证明方法是“分析法”,在选修教材的《推理与证明》一章中会重点讲解,此处有必要让学生初步了解。
3、不等式的几何解释
如图,AB是圆的直径,C是AB上任一点,AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连AD,BD,则CD= ,半径为
问题5: 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? (学生积极思考,通过几何画板帮助学生理解)
设计意图
几何直观能启迪思路,帮助理解,因此,借助几何直观学习和理解数学,是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解,才是真正的理解。
4、基本不等式的应用
例1.证明
(学生自己证明)
设计意图
(1)这道例题很简单,多数学生都会仿照课本上的分析思路重新证明,能够练习“分析法”证明不等式的过程;
(2)学生能够加深对基本不等式的理解,a和b不仅仅是一个字母,而是一个符号,它们可以是a、b,也可以是x、y,也可以是一个多项式;
(3)此例不是课本例题,比课本例题简单,这样,循序渐进, 有利于学生理解不等式的内涵。
例2:(1)把36写成两个正数的积,当两个正数取什么值时,它们的和最小?
(2)把18写成两个正数的和,当两个正数取什么值时,它们的积最大?
(让学生分组合作、探究完成)
以往的教师在把握教材是,大都是有什么教什么,不能够灵活的使用教材。而今的数学教学要求把学生的生活经验带到课堂,要求在简单的知识框架和结构上创造性的使用教材,让课堂变得有血有肉。接下来是小编为大家整理的2020高中数学基本不等式教学教案,希望大家喜欢!
【教学目标】
1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;
2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式;
3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式 的证明过程;
【教学难点】
基本不等式 等号成立条件
【教学过程】
1.课题导入
基本不等式 的几何背景:
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系
2.讲授新课
1.探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样,4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式: 。
当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有 。
2.得到结论:一般的,如果
3.思考证明:你能给出它的证明吗?
证明:因为
当
所以, ,即
4.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式
特别的,如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ,可得 ,
通常我们把上式写作:
2)从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明:
要证 (1)
只要证 a+b (2)
要证(2),只要证 a+b- 0 (3)
要证(3),只要证 ( - ) (4)
显然,(4)是成立的。当且仅当a=b时,(4)中的等号成立。
3)理解基本不等式 的几何意义
探究:课本第98页的“探究”
在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?
易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD2=CA·CB
即CD= .
这个圆的半径为 ,显然,它大于或等于CD,即 ,其中当且仅当点C与圆心重合,即a=b时,等号成立.
因此:基本不等式 几何意义是“半径不小于半弦”
评述:1.如果把 看作是正数a、b的等差中项, 看作是正数a、b的等比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2.在数学中,我们称 为a、b的算术平均数,称 为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
例1 已知x、y都是正数,求证:
(1) ≥2;
(2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.
分析:在运用定理: 时,注意条件a、b均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件),进行变形.
解:∵x,y都是正数 ∴ >0, >0,x2>0,y2>0,x3>0,y3>0
(1) =2即 ≥2.
(2)x+y≥2 >0 x2+y2≥2 >0 x3+y3≥2 >0
∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2 ·2 ·2 =8x3y3
即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.
3.随堂练习
1.已知a、b、c都是正数,求证
(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
分析:对于此类题目,选择定理: (a>0,b>0)灵活变形,可求得结果.
解:∵a,b,c都是正数
∴a+b≥2 >0
b+c≥2 >0
c+a≥2 >0
数学在高考中是占有非常大的分数比重的,那么学好高中数学就显得尤为重要了,你会写数学提纲吗?下面小编给大家分享一些高中数学必修五不等式提纲,希望能够帮助大家,欢迎阅读!
1.选准一本与教材同步的辅导书或练习册,做完一节的全部练习后,对照答案进行批改。千万别做一道对一道的答案,因为这样会造成思维中断和对答案的依赖心理;先易后难,遇到不会的题一定要先跳过去,以平稳的速度过一遍所有题目,先彻底解决会做的题;不会的题过多时,千万别急躁、泄气,其实你认为困难的题,对其他人来讲也是。
2.题不在多,而在于精,学会“解剖麻雀”。充分理解题意,注意对整个问题的转译,深化对题中某个条件的认识;看看与哪些数学基础知识相联系,有没有出现一些新的功能或用途?再现思维活动经过,分析想法的产生及错因的由来,要求用口语化的语言真实地叙述自己的做题经过和感想,想到什么就写什么,以便挖掘出一般的数学思想方法和数学思维方法;一题多解,一题多变,多元归一。
3.复习:“温故而知新”,把一些比较“经典”的题重做几遍,把做错的题当作一面“镜子”进行自我反思,也是一种高效率的、针对性较强的学习方法。
构成我们做七年级数学不等式练习题最大障碍的是已知的东西,而不是未知的东西。下面小编给大家分享一些七年级数学不等式计算题,大家快来跟小编一起看看吧。
1、下列各式是一元一次不等式的是( )
A. 4x-2y≤0
B. x≥-11
C. x2-1≤0
D.
判断一个式子是不是一元一次不等式,必须满足四个条件:
①式中只含有一个未知数;
②未知数的次数是1;
③式子用不等号连接
④分母中不含未知数
2、有下列数学表达式:
①-1<0; ②3m-2n>0;③x=4;④x≠7;⑤5x+4=x+5;
⑥x2+xy+y2;⑦x+2>y+3;⑧x2>4;⑨3x-2>4x-3;⑩3+5<7;
其中是不等式的有 ( )
是一元一次不等式的有( )(只填序号)
3、下列说法中错误的是( )
A.不等式x<5的解有无数个
B.不等式x<5的正整数解有有限个
C.x=-4是不等式-3x>9的一个解
D.x>5是不等式x+3>6的解集
4、用不等式表示:
⑴ a与1的和是正数;
⑵ y的2倍与1的和小于3;
⑶ y的3倍与x的2倍的和是非负数
⑷ x乘以3的积加上2最多为5.
5、用数轴表示下列不等式的解集:
⑴ x>-1; ⑵ x≥ -1; ⑶ x< -1; ⑷ x≤ -1.
6、根据以下图形,写出不等式的解集:
7、你能求出适合不等式-1≤x<4的整数解吗?其中的x的最大整数值是多少呢?
7、等式的性质
等式的基本性质1:在等式两边都加上(或减去)同一个数或整式,结果仍相等.
如果a=b,那么a±c=b±c
等式的基本性质2:在等式两边都乘以或除以同一个数(除数不为0),结果仍相等.
如果a=b,那么ac=bc或 (c≠0)
8、不等式的性质
不等式是否具有类似的性质呢?
如果 5 > 3
那么 5+2 ____ 3+2 , 5 -2____3-2
如果-1< 3,
那么-1+2____3+2, -1- 3____3 - 3
性质1 :如果 a>b, 那么 a+c>b+c 或 a-c>b-c
即:不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.
猜想1: 不等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,不等号的方向是否改变?
如果 6 >2
那么 6×5 ____ 2× 5 ,
6 ×(-5)____2×(-5),
6÷5 ____ 2÷ 5 ,
6 ÷ (-5)____2÷ (-5)
如果-2< 3,
那么-2×6____3×6,
-2×(- 6)____3×( - 6),
-2÷2____3÷2,
-2÷ (- 4)____3÷ ( - 4)
猜想2:不等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,不等号的方向是否改变?
将不等式 7>4 的两边都乘以同一个数,比较所得结果的大小,用 >、< 、= 填空
结论:同乘以一个正数,不等号方向不变,同乘以一个负数不等号方向改变,同乘以0的时候相等.
高一数学要从掌握好基本知识点开始,并且要及时做好归纳总结。以下是百文网小编为您整理的关于高中数学基本不等式知识点的相关资料,供您阅读。
1.不等式性质比较大小方法:
(1)作差比较法(2)作商比较法
不等式的基本性质
①对称性:a > bb > a
②传递性: a > b, b > ca > c
③可加性: a > b a + c > b + c
④可积性: a > b, c > 0ac > bc
⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d
⑥乘法法则:a > b > 0, c > d > 0 ac > bd
⑦乘方法则:a > b > 0, an > bn (n∈N)
⑧开方法则:a > b > 0
2.算术平均数与几何平均数定理:
(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)
(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广:
如果为实数,则重要结论
(1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;
(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,和xy有最大值S2/4。
3.证明不等式的常用方法:
比较法:比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式,则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小,
则选择作商比较法;碰到绝对值或根式,我们还可以考虑作平方差。
综合法:从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。
分析法:不等式两边的联系不够清楚,通过寻找不等式成立的充分条件,逐步将欲证的不等式转化,直到寻找到易证或已知成立的结论。
4.不等式的解法
(1) 不等式的有关概念同解不等式:两个不等式如果解集相同,那么这两个不等式叫做同解不等式。同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形叫做同解变形。提问:请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形去分母、去括号、移项、合并同类项
(2) 不等式ax > b的解法①当a>0时不等式的解集是{x|x>b/a};②当a<0时不等式的解集是{x|x
(3) 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系
(4)绝对值不等式|x|0)的解集是{x|-aa(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a},几何表示为:o o-a 0 a小结:解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号(整体思想,分类讨论)转化为不含绝对值的不等式,
通常有下列三种解题思路:
(1)定义法:利用绝对值的意义,通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;
(2)公式法:| f(x) | > a f(x) > a或f(x) < -a;| f(x) | < a -a
(3)平方法:| f(x) | > a(a>0) f2(x) > a2;| f(x) | < a(a>0) f2(x) < a2;
(4)几何意义
(5)分式不等式的解法
(6)一元高次不等式的解法数轴标根法把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正),然后分解因式,再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来,从右边入手画线,最后根据曲线写出不等式的解。
(7)含有绝对值的不等式定理:|a| - |b|≤|a+b|≤|a| + |b|? |a| - |b|≤|a+b|中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立? |a+b|≤|a| + |b|中当且仅当ab≥0等号成立推论1:|a1 + a2 + a3| ≤|a1 | +| a2 | + | a3|推广:|a1 + a2 +...+ an| ≤|a1 | +| a2 | +...+ | an|推论2:|a| - |b|≤|a-b|≤|a| + |b|
对于不等式恒的问题,一直是个考察的热点,也是难点,下面是百文网小编给大家带来的高中数学必修五不等式的性质知识点,希望对你有帮助。
1.若a≠0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.(>)
2.若a>0,b>0且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(>)
3.判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)若a>b,则a2>b2;(假) (2)若a>b,则a3>b3;(真)
(3)若a>b,则ac2>bc2;(假) (4)若,则a>b;(真)
若a>b,c>d,则a-d>b-c.(真).
数学计算题是高考数学试卷的组成部分之一,所占的分数也不低,下面百文网的小编将为大家带来高中数学关于计算题的解题技巧的介绍,希望能够帮助到大家。
代入法
高考数学的选择题中大部分是数值类型的,为了节省时间,可以逆向去推算,把答案去带入到题中去,逐一验证总会找到答案的,这就是代入法,是快速且有效的一种高考数学选择题解题技巧。应用代入法的前提是正常解题时间比代入法时间长。
数形结合
高考数学题最常用的就是数形结合法,由题目条件,作出符合题意的图形或图象,借助图形或图象的直观性,经过简单的推理或计算,从而得出答案的方法。数形结合的好处就是直观,甚至可以用量角尺直接量出结果来,也是数学选择题最直观的解题技巧之一。
估值选择
有些高考数学选择题,由于题目条件限制,没有直接的条件进行精准的运算和判断,此时只能借助估算,通过观察、分析、比较、推算,从面得出正确判断的方法,这种方法最大的优点就是快。
蒙
对于自己实在不会的高考数学选择题,最常用的一招就是蒙了,但是蒙也是有技巧的,在蒙的时候如果是数值类型的,大多数要选择“0”或者“1”,或者选择数值最小的,这是高考数学选择题比较常见的答案,选择蒙是为了更好的节约时间用在下面的题目里面。
检验法
对于具有一般性的数学选择题问题,我们在解题过程中,可以将问题特殊化,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下不真这一原理,达到去伪存真的目的。
高中数学不等式是学习的重要内容,那么相关知识点有哪些呢?下面是百文网小编给大家带来的高中数学必修五不等式与不等式组知识点,希望对你有帮助。
对数不等式的解法
根据对数函数的单调性来解不等式。
例11:解不等式:log12(x+1)(2-x)>0
解:原不等式化为log12(x+1)(2-x)>log121
∴ (x+1)(2-x)>0 (1)(x+1)(2-x)<1 (2)
解①得-1 解②得x<1-52 或x>1+52
故原不等式解集(-1,1-52)∪(1+52,2).
简单高次不等式的解法
简单高次不等式可以利用数轴标根法来解不等式.
例12:解不等式(x+1)(x 2-5x+4)<0
解:原不等式化为:(x+1)(x-1)(x-4)<0
如图,由数轴标根法可得原不等式解集为(-∞,-1)∪(1,4)
三角不等式的解法
根据三角函数的单调性,先求出在同一周期内的解集,然后写出通值。
例13:解不等式:sinx≤-12
解:sinx≤-12在[0,2π]内的解是:76 π≤x≤116π
故原不等式的解集为[2kπ+76 ,2kπ+116 ](k∈z)。
含有字母系数不等式的解法
在解不等式过程中,还常常遇到含有字母系数的一些不等式,此时,一定要注意字母系数进行讨论,以保证解题的完备性。
例14:解不等式2 3x-2x 解:原不等式变形为2 2x(2 2x-1) ∴(2 2x-1) (2 2x-a)<0
∴原不等式等价于2 2x-1>02 2x-a<0 或2 2x-1<02 2x-a>0
①当a≤0时,x<0;
②当0 ③当a=1时,无解
④当a>1时,0 解不等式的基础是解一元一次不等式,解一元二次不等式,解由一元一次不等式和一元二次不等式组成的不等式组。解其它各式各样的不等式(三角不等式除外)关键在于根据有关的定义,定理,性质转化这些不等式为上述三类不等式。在具体转化的过程中,特别应该注意每一步都应是同解变形。像无理不等式中的开偶次方时的被开方数及对数不等式中的真数等,在去根号和去对数符号时,一定要使被开方数非负,真数大于零。
看了<高中数学必修五不等式与不等式组知识点>的人还看了:
不等式在高中数学教学中占有很重要的位置,在实际问题中的应用也非常广泛。下面是百文网小编为你整理的高中数学不等式习题,一起来看看吧。
不等式在高中数学教学中占有很重要的位置,在实际问题中的应用也非常广泛。它是数学基础理论的重要组成部分和数学研究的重要内容,接下来百文网小编为你整理了高中数学不等式知识点,一起来看看吧。
猜你感兴趣的:
不等式是高中数学的重要知识点,那么你掌握了吗?接下来百文网小编为你整理了高中数学不等式试题及答案,一起来看看吧。
猜你感兴趣的:
基本不等式的公式是高中数学的要点,大家都掌握了吗?下面百文网小编给你分享高中数学的基本不等式公式,欢迎阅读。
猜你感兴趣:
不等式是基础理论的重要组成部分,也是刻画日常生活、现实世界不等关系的数学模型,想必很多人都想知道高中数学不等式的论文。接下来百文网小编为你整理了高中数学不等式论文,一起来看看吧。
近年来,新课改进行得如火如荼,高中数学课堂改革也得到了普遍的开展,新课程改革是的重点环节就是课堂教学的改革,高中数学新课改明确要求教学过程要充分尊重学生的主体地位,教师要关注学生的发展,并根据学生的兴趣爱好与实际情况制定好科学合理的学习计划,改善教与学的方式,让学生能够积极主动地投入数学学习中。不等式是高中数学教学的重要组成部分,在问题的解决中也有着十分广泛的应用范畴,是数学基础理论的主要组成部分,是解决数学问题的有利工具,在传统的研究中很多教师往往将研究重点放置在不等式解法、性质与证明中,未设置好相应的情景,难以达到既定的教学目标。因此,对不等式教学进行改革显得十分必要,下面笔者就高中数学不等式高考试题分析,提出相应的教学策略。
一、不等式在高中数学教学过程中的重要位置
不等式是基础理论的重要组成部分,也是刻画日常生活、现实世界不等关系的数学模型,是研究数量关系的必备知识,在高中数学中占据着举足轻重的位置。不等式与函数、方程等教学内容有着极为密切的关系。如在研究函数时,常常会遇到对数真数大于0、分式分母不为零等不等式关系;在解决函数最值、定义域、单调性、数列前n项最值,空间线面、线线、面面距离与夹角范围、概率范围等都需要用到不等式。可以看出,不等式与充分必要条件、集合、数列、函数、立体几何等知识都存在交汇点,在整个高中数学的领域中有着十分广泛的应用范围。
二、高考试题中不等式的考查分析
不等式是解决数学问题的重要工具,也是高考的重点与热点。考查点一般以函数为背景,以实际为背景,不仅会考查到不等式的基本技能、知识与方法,还会考核学生的逻辑推理能力、测试运算能力以及分析问题和解决问题的能力。在时代的进步以及教育的发展之下,对于不等式知识点的考查也发生了一些变化。不等式一般不会以单独命题的方式出现,而会融合至其他题型中,分值约为10分。考查学生对不等关系的感受、建立与处理,降低了对性质阐述、证明、推导的技巧。就目前来看,关于不等式的考查大多为综合性的试题,填空题、选择题、不等式解集以及求最值为主,解答题大多为不等式与函数、数列、导数结合的综合试题,题目的广度、深入也不断提升。客观题主要考查线性规划与不等式的解法,这些问题既体现了数学思想、数学方法、数学知识的培养,也体现了优化思想的重要性,在实际的教学过程中应该予以必要的重视。
三、高中数学不等式的教学策略
在新课改理念的指导下,数学教学的本质已经发生了一定的变化。教学是一种沟通与创新的过程,不仅需要将知识传授给学生,更应该培养学生分析问题、解决问题的能力,让学生能够掌握相关的解题方法。在不等式的教学过程中,应该将教学重点放置在对学生空间想象能力、数学运算能力、实践能力与思维能力的培养上,设置好相应的教学情景,加强对相关知识的组合、迁移与融合,将不等式与其他的数学知识相结合,实现数学思想的提升。具体的策略包括以下几个方面:
1.从生活出发,提升学生解题的积极性
数学知识具有联系性与系统性的特征,不等式与现实生活与生产有着密切的联系。学生在初中阶段已经接触过基础的不等式知识,因此,在教学时,应该以学生现有的认知为出发点,制定好循序渐进的教学方案,找到初中与高中教学内容的衔接点,为此,可以设置好一定的教学情景,将实际的问题进行抽象化处理。在日常生活中,有着大量的不等关系,人们常常利用高矮、大小、长短、轻重、不小于等来描述数量不等的关系,例如,限速40km/h的路面,司机在行驶时,速度v应该不超过40km/h,用不等式表达就是v≤40km/h。将不等式生活化就能够让学生充分地意识到客观世界中存在的不等关系,理解不等模型的重要性以及应用价值。
2.注重解法的传授,提升学生的数学思维能力
不等式的解题是一种综合运算能力,学生只有掌握这项运算能力,才能创新性地解决问题。为此,教师在教学过程中应该将不等式的解题放置在大环境中,加强与方程、三角函数、解析几何、数列、立体几何知识之间的联系。
四、结语
总而言之,不等式是高中教学的重要组成部分,在实际的教学过程中,教师必须要尊重学生的主体地位,针对各部分教学的内容,设计出与生活联系的不等式问题,提升学生的综合数学水平,提升学生的思想能力,这样才能够提高学生的学习效率,也能够为其他知识的教学奠定良好的基础。
教师在设计教案的时候,教案逻辑思路清晰,符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。这样才能有效提高教学质量。下面是百文网小编分享给大家的高中数学不等式的证明复习教案,希望大家喜欢!
●知识梳理
1.|x|>a x>a或x<-a(a>0);
|x|0).0)中的a>0改为a∈R还成立吗?
更多精彩内容请点击:高中 > 高三 > 高三数学 > 高三数学教案
2.形如|x-a|+|x-b|≥c的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”.
3.含参不等式的求解,通常对参数分类讨论.
4.绝对值不等式的性质:
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
思考讨论
1.在|x|>a x>a或x<-a(a>0)、|x|
2.绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么?
●点击双基
1.设a、b是满足ab<0的实数,那么
A.|a+b|>|a-b|
B.|a+b|<|a-b|
C.|a-b|<||a|-|b||
D.|a-b|<|a|+|b|
解析:用赋值法.令a=1,b=-1,代入检验.
答案:B
2.不等式|2x2-1|≤1的解集为
A.{x|-1≤x≤1} B.{x|-2≤x≤2}
C.{x|0≤x≤2} D.{x|-2≤x≤0}
解析:由|2x2-1|≤1得-1≤2x2-1≤1.
∴0≤x2≤1,即-1≤x≤1.
答案:A
3.不等式|x+log3x|<|x|+|log3x|的解集为
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(0,+∞) D.(-∞,+∞)
解析:∵x>0,x与log3x异号,
∴log3x<0.∴0
答案:A
4.已知不等式a≤ 对x取一切负数恒成立,则a的取值范围是____________.
解析:要使a≤ 对x取一切负数恒成立,
令t=|x|>0,则a≤ .
而 ≥ =2 ,
∴a≤2 .
答案:a≤2
5.已知不等式|2x-t|+t-1<0的解集为(- , ),则t=____________.
解析:|2x-t|<1-t,t-1<2x-t<1-t,
2t-1<2x<1,t-
∴t=0.
答案:0
●典例剖析
【例1】 解不等式|2x+1|+|x-2|>4.
剖析:解带绝对值的不等式,需先去绝对值,多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令2x+1=0,x-2=0,得两个零点x1=- ,x2=2.
解:当x≤- 时,原不等式可化为
-2x-1+2-x>4,
∴x<-1.
当-
2x+1+2-x>4,
∴x>1.又-
∴1
当x>2时,原不等式可化为
2x+1+x-2>4,∴x> .
又x>2,∴x>2.
综上,得原不等式的解集为{x|x<-1或1
深化拓展
若此题再多一个含绝对值式子.如:
|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4,你又如何去解?
分析:令2x+1=0,x-2=0,x-1=0,
得x1=- ,x2=1,x3=2.
解:当x≤- 时,原不等式化为
-2x-1+2-x+1-x>4,∴x<- .
当-
2x+1+2-x+1-x>4,4>4(矛盾).
当1
2x+1+2-x+x-1>4,∴x>1.
又1
∴1
当x>2时,原不等式可化为
2x+1+x-2+x-1>4,∴x> .
又x>2,∴x>2.
综上所述,原不等式的解集为{x|x<- 或x>1}.
【例2】 解不等式|x2-9|≤x+3.
剖析:需先去绝对值,可按定义去绝对值,也可利用|x|≤a -a≤x≤a去绝对值.
解法一:原不等式 (1) 或(2)
不等式(1) x=-3或3≤x≤4;
不等式(2) 2≤x<3.
∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.
解法二:原不等式等价于
或x≥2 x=-3或2≤x≤4.
∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.
【例3】 (理)已知函数f(x)=x|x-a|(a∈R).
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)解关于x的不等式:f(x)≥2a2.
解:(1)当a=0时,
f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
当a≠0时,f(a)=0且f(-a)=-2a|a|.
故f(-a)≠f(a)且f(-a)≠-f(a).
∴f(x)是非奇非偶函数.
(2)由题设知x|x-a|≥2a2,
∴原不等式等价于 ①
或 ②
由①得 x∈ .
由②得
当a=0时,x≥0.
当a>0时,
∴x≥2a.
当a<0时,
即x≥-a.
综上
a≥0时,f(x)≥2a2的解集为{x|x≥2a};
a<0时,f(x)≥2a2的解集为{x|x≥-a}.
(文)设函数f(x)=ax+2,不等式| f(x)|<6的解集为(-1,2),试求不等式 ≤1的解集.解:|ax+2|<6,
∴(ax+2)2<36,
即a2x2+4ax-32<0.
由题设可得
解得a=-4.
∴f(x)=-4x+2.
由 ≤1,即 ≤1可得 ≥0.
解得x> 或x≤ .
∴原不等式的解集为{x|x> 或x≤ }.
●闯关训练
夯实基础
1.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3
A.{a|3
C.{a|3
解析:由题意知 得3≤a≤4.
答案:B
2.不等式|x2+2x|<3的解集为____________.
解析:-3
∴-3
答案:-3
3.不等式|x+2|≥|x|的解集是____________.
解法一:|x+2|≥|x| (x+2)2≥x2 4x+4≥0 x≥-1.
解法二: 在同一直角坐标系下作出f(x)=|x+2|与g(x)=|x|的图象,根据图象可得x≥-1.
解法三:根据绝对值的几何意义,不等式|x+2|≥|x|表示数轴上x到-2的距离不小于到0的距离,∴x≥-1.
答案:{x|x≥-1}
评述:本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法,必须掌握.
4.当0
解:由0x-2.
这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集. ①
或 ②
解不等式组①得解集为{x| ≤x<2},
解不等式组②得解集为{x|2≤x<5},
所以原不等式的解集为{x| ≤x<5}.
5.关于x的方程3x2-6(m-1)x+m2+1=0的两实根为x1、x2,若|x1|+|x2|=2,求m的值.
解:x1、x2为方程两实根,
∴Δ=36(m-1)2-12(m2+1)≥0.
∴m≥ 或m≤ .
又∵x1•x2= >0,∴x1、x2同号.
∴|x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m-1|.
于是有2|m-1|=2,∴m=0或2.
∴m=0.
培养能力
6.解不等式 ≤ .
解:(1)当x2-2<0且x≠0,即当-
(2)当x2-2>0时,原不等式与不等式组 等价.
x2-2≥|x|,即|x|2-|x|-2≥0.
∴|x|≥2.∴不等式组的解为|x|≥2,
即x≤-2或x≥2.
∴原不等式的解集为(-∞,-2]∪(- ,0)∪(0, )∪[2,+∞).
7.已知函数f(x)= 的定义域恰为不等式log2(x+3)+log x≤3的解集,且f(x)在定义域内单调递减,求实数a的取值范围.
解:由log2(x+3)+log x≤3得
x≥ ,
即f(x)的定义域为[ ,+∞).
∵f(x)在定义域[ ,+∞)内单调递减,
∴当x2>x1≥ 时,f(x1)-f(x2)>0恒成立,即有(ax1- +2)-(ax2- +2)>0 a(x1-x2)-( - )>0
(x1-x2)(a+ )>0恒成立.
∵x10
a+ <0.
∵x1x2> - >- ,
要使a<- 恒成立,
则a的取值范围是a≤- .
8.有点难度哟!
已知f(x)=x2-x+c定义在区间[0,1]上,x1、x2∈[0,1],且x1≠x2,求证:
(1)f(0)=f(1);
(2)| f(x2)-f(x1)|<|x1-x2|;
(3)| f(x1)-f(x2)|< ;
(4)| f(x1)-f(x2)|≤ .
证明:(1)f(0)=c,f(1)=c,
∴f(0)=f(1).
(2)| f(x2)-f(x1)|=|x2-x1||x2+x1-1|.
∵0≤x1≤1,∴0≤x2≤1,0
∴-1
∴| f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|.
(3)不妨设x2>x1,由(2)知
| f(x2)-f(x1)|
而由f(0)=f(1),从而
| f(x2)-f(x1)|=| f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)|≤| f(x2)-f(1)|+| f(0)-
f(x1)|<|1-x2|+|x1|<1-x2+x1. ②
①+②得2| f(x2)-f(x1)|<1,
即| f(x2)-f(x1)|< .
(4)|f(x2)-f(x1)|≤fmax-fmin=f(0)-f( )= .
探究创新
9.(1)已知|a|<1,|b|<1,求证:| |>1;
(2)求实数λ的取值范围,使不等式| |>1对满足|a|<1,|b|<1的一切实数a、b恒成立;
(3)已知|a|<1,若| |<1,求b的取值范围.
(1)证明:|1-ab|2-|a-b|2=1+a2b2-a2-b2=(a2-1)(b2-1).
∵|a|<1,|b|<1,∴a2-1<0,b2-1<0.
∴|1-ab|2-|a-b|2>0.
∴|1-ab|>|a-b|,
= >1.
(2)解:∵| |>1 |1-abλ|2-|aλ-b|2=(a2λ2-1)(b2-1)>0.
∵b2<1,∴a2λ2-1<0对于任意满足|a|<1的a恒成立.
当a=0时,a2λ2-1<0成立;
当a≠0时,要使λ2< 对于任意满足|a|<1的a恒成立,而 >1,
∴|λ|≤1.故-1≤λ≤1.
(3)| |<1 ( )2<1 (a+b)2<(1+ab)2 a2+b2-1-a2b2<0 (a2-1)(b2-1)<0.
∵|a|<1,∴a2<1.∴1-b2>0,即-1
●思悟小结
1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值.常用的方法是:(1)由定义分段讨论;(2)利用绝对值不等式的性质;(3)平方.
2.解含参数的不等式,如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关,就必须分类讨论.注意:(1)要考虑参数的总取值范围.(2)用同一标准对参数进行划分,做到不重不漏.
●教师下载中心
教学点睛
1.绝对值是历年高考的重点,而绝对值不等式更是常考常新.在教学中要从绝对值的定义和几何意义来分析,绝对值的特点是带有绝对值符号,如何去掉绝对值符号,一定要教给学生方法,切不可以题论题.
2.无理不等式在新课程书本并未出现,但可以利用不等式的性质把其等价转化为代数不等式.
3.指数、对数不等式能利用单调性求解.
拓展题例
【例1】 设x1、x2、y1、y2是实数,且满足x12+x22≤1,证明不等式(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).
分析:要证原不等式成立,也就是证(x1y1+x2y2-1)2-(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0.
证明:(1)当x12+x22=1时,原不等式成立.
(2)当x12+x22<1时,联想根的判别式,可构造函数f(x)=(x12+x22-1)x-2(x1y1+x2y2-1)x+(y12+y22-1),其根的判别式Δ=4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1).
由题意x12+x22<1,函数f(x)的图象开口向下.
又∵f(1)=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=(x1-y1)2+(x2-y2)2≥0,
因此抛物线与x轴必有公共点.
∴Δ≥0.
∴4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0,
即(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).
教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点,将教学诸要素有序安排,确定合适的教学方案的设想和计划。下面是百文网小编分享给大家的高中数学不等式的证明教案,希望大家喜欢!
整体设计
教学分析
本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展,也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中,将让学生回忆实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.
通过本节课的学习, 让学生从一系列的具体问题情境中,感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材,用数学观点进行观察、归纳、抽象,完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题,其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用,同时也能激发学生的学习兴趣,并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容,应用再现、回忆得出实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.
在本节教学中,教师可让学生阅读书中实例,充分利用数轴这一简单的数形结合工具,直接用实数与数轴上 点的一一对应关系,从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.
三维目标
1.在学生了解不等式产生的实际背景下,利用数轴回忆实数的基本理论,理解实数的大小关系,理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.
2.会用作差法判断实数与代数式的大小,会用配方法判断二次式的大小和范围.
3.通过温故知新,提高学生对不等式的认识,激发学生的学习兴趣,体会数学的奥秘与数学的结构美.
重点难点
教学重点:比较实数与代数式的大小关系,判断二次式的大小和范围.
教学难点:准确比较两个代数式的大小.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面,它将学生带入“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的,由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望,自然地引入新课.
思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例,描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想,教师组织不等关系的相关素材,让学 生用数学的观点进行观察、归纳,使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样,在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望,从而进入进一步的探究学习,由此引入新课.
1、回忆初中学过的不等式,让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?
2、在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?
3、数轴上的任意两 点与对应的两实数具有怎样的关系?
4、任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?
活动:教师引导学生回忆初中学过的不等式概念,使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系,可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示,而不等式则是表示两者的不等关系,可用“a>b”“a
教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子,可让学生充分合作讨论,使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下,进一步学习不等式的有关内容.
实例1:某天的天气预报报道,最高气温32 ℃,最低气温26 ℃.
实例2:对于数轴上任意不同的两点A、B,若点A在点B的左边,则xA
实例3:若一个数是非负数,则这个数大于或等于零.
实例4:两点之间线段最短.
实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
实例6:限速40 km/h的路标指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过40 km/h.
实例7:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%.
教师进一步点拨:能够发现身 边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科,但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象,完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到,用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<-5,3+4>1+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1,若用t表示某天的气温,则26 ℃≤t≤32 ℃.实例3,若用x表示一个非负数,则x≥0.实例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下图.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.
实例6,若用v表示速度,则v≤40 km/h.实例7,f≥2.5%,p≥2.3%.对于实例7,教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足,避免写成f≥2.5%或p≥2.3%,这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.
对以上问题,教师让学生轮流回答,再用投影仪给出课本上的两个结论.
讨论结果:
(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中,右边点对应的实数比左边点对应的实数大.
(4)对于任意两个实数a和b,在a=b,a>b,a应用示例
例1(教材本节例1和例2)
活动:通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法:作差,配方法.
点评:本节两例的求解,是借助因式分解和应用配方法完成的,这两种方法是代数式变形时经常使用的方法,应让学生熟练掌握.
变式训练
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是()
A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)
C.f(x)
答案:A
解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0,比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.
解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0,得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比较下列各组数的大小(a≠b).
(1)a+b2与21a+1b(a>0,b>0);
(2)a4-b4与4a3(a-b).
活动:比较两个实数的大小,常根据实数的运算性质与大小顺序的关系,归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成,但要点拨学生在最后的符号判断说理中,要理由充分,不可忽略这点.
解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号),
又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.
∴a4-b4<4a3(a-b).
点评:比较大小常用作差法,一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方,前者将“差”变为“积”,后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”,也可两者并用.
变式训练
已知x>y,且y≠0,比较xy与1的大小.
活动:要比较任意两个数或式的大小关系,只需确定它们的差与0的大小关系.
解:xy-1=x-yy.
∵x>y,∴x-y>0.
当y<0时,x-yy<0,即xy-1<0. ∴xy<1;
当y>0时,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.
点评:当字母y取不同范围的值时,差xy-1的正负情况不同,所以需对y分类讨论.
例3建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,且这个比值越大,住宅的采光条件越好.试问:同时增加相等的窗户面积和地板面积, 住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由.
活动:解题关键首先是把文 字语言转换成数学语言,然后比较前后比值的大小,采用作差法.
解:设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b,同时增加的面积为m,根据问题的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后,住宅的采光条件变好了.
点评:一般地,设a、b为正实数,且a
变式训练
已知a1,a2,…为各项都大于零的等比数列,公比q≠1,则()
A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8与a4+a5大小不确定
答案:A
解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各项都大于零,∴q>0,即1+q>0.
又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.
课堂小结
1.教师与学生共同完成本节课的小结,从实数的基本性质的回顾,到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评,到紧跟着的变式训练,让学生去繁就简,联系旧知,将本节课所学纳入已有的知识体系中.
2.教师画龙点睛,点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.
作业
习题3—1A组3;习题3—1B组2.
设计感想
1.本节设计关注了教学方法 的优化.经验告诉我们:课堂上应根据具体情况,选择、设计最能体现教学规律的教学 过程,不宜长期使用一种固定的教学方法,或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中,没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说,世上没有万能的教学方法.针对个性,灵活变化,因材施教才是成功的施教灵药.
2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广,可以说与其他所有内容都有交汇,历 来是高考的重点与热点.作为本章开始,可以适当开阔一些,算作抛砖引玉,让学生有个自由探究联想的平台,但不宜过多向外拓展,以免对学生产生负面影响.
3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力,提升思维的品质,是数学教师直面的重要课题,也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性,克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度,解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.
猜你喜欢:
高中学习数学要按照计划去进行,要严格要求自己,重视细节,不要眼高手低。下面是小编为大家带来的高中数学学习经验和方法有哪些,希望大家能够喜欢!
一、学习数学千万不要害怕
很多人因为数学不好,就没有学习数学的兴趣和信心,甚至开始讨厌数学,导致数学更差了。虽然学数学需要一定的天分,但在高考中只要努力,没有天分也能考出一个不错的成绩,只要我们端正心态去努力,一定会有好结果的。
二、一定量的习题训练
数学跟其他科目不一样。如果平时不动手练习,就算明白思路,也不一定能准确计算,所以我们平时要做题来提高熟练度、速度和正确率。做题可以让我们更熟悉考点,明白出题者的意图,更快地解题。如果一种题型做了3~5道,那么等下次再遇到这类题,你就能很快明白方向,知道该采用哪种方法。
三、做相应章节的典型习题
做相应章节的习题一方面是易考,一方面是能够更熟悉本章考点及“陷阱”。
四、整理易错的题
我们大部分都是普通人,没办法对做错的题过目不忘,牢记于心。所以我们需要用笔记本把做错的题定期整理复习一下,尤其是高三的学生,不能再像以前一样学了又忘,反复犯错。
五、会的题赶紧动手做
1.不论是大题还是小题,先做会做的题,再做有一点把握的题,再做有困难的题,最后做实在不会的题。这样才能保证多拿分。
2.不要在小题上纠结。每道选择题平均控制在一分半内。
3.坚持“5、2、2原则”。优先做选择题的前5道,填空题的前2到3道,解答题的前2道。这些题都是简单送分的题。
4.如果有实在不会做的题,要学会舍弃,保证前面的题能拿到分数。
5.心算会比较容易出错,一定要心算笔算相结合。
高中学习数学要按照计划去进行,要严格要求自己,重视细节,不要眼高手低。下面是小编为大家带来的高中数学学习经验和方法有哪些,希望大家能够喜欢!
一、学习数学千万不要害怕
很多人因为数学不好,就没有学习数学的兴趣和信心,甚至开始讨厌数学,导致数学更差了。虽然学数学需要一定的天分,但在高考中只要努力,没有天分也能考出一个不错的成绩,只要我们端正心态去努力,一定会有好结果的。
二、一定量的习题训练
数学跟其他科目不一样。如果平时不动手练习,就算明白思路,也不一定能准确计算,所以我们平时要做题来提高熟练度、速度和正确率。做题可以让我们更熟悉考点,明白出题者的意图,更快地解题。如果一种题型做了3~5道,那么等下次再遇到这类题,你就能很快明白方向,知道该采用哪种方法。
三、做相应章节的典型习题
做相应章节的习题一方面是易考,一方面是能够更熟悉本章考点及“陷阱”。
四、整理易错的题
我们大部分都是普通人,没办法对做错的题过目不忘,牢记于心。所以我们需要用笔记本把做错的题定期整理复习一下,尤其是高三的学生,不能再像以前一样学了又忘,反复犯错。
五、会的题赶紧动手做
1.不论是大题还是小题,先做会做的题,再做有一点把握的题,再做有困难的题,最后做实在不会的题。这样才能保证多拿分。
2.不要在小题上纠结。每道选择题平均控制在一分半内。
3.坚持“5、2、2原则”。优先做选择题的前5道,填空题的前2到3道,解答题的前2道。这些题都是简单送分的题。
4.如果有实在不会做的题,要学会舍弃,保证前面的题能拿到分数。
5.心算会比较容易出错,一定要心算笔算相结合。