为您找到与高中数学不等式公式相关的共200个结果:
基本不等式的公式是高中数学的要点,大家都掌握了吗?下面百文网小编给你分享高中数学的基本不等式公式,欢迎阅读。
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数学学习困难的研究是数学教学与实践中一个引人注目的问题,那么关于高中数学重要知识点都有哪些呢?以下是小编准备的一些高中数学知识点总结及公式大全免费,仅供参考。
一、重视基础
弄清概念、性质和基本方法是学习高中数学的第一步也是最重要的一步,如果概念没有弄清就去解题是没有不碰壁的。正确理解概念再做习题就比较容易了,通过习题的演算反过来还可以进一步理解概念与性质。
要弄清概念、性质和基本方法,就要先复习老师上课所讲的东西,要看一看高中数学课本上的相关内容。课堂弄不懂的问题课后一定要想办法弄懂,已经听得懂的东西也要想一想自己是否能够操作,若仍有问题最好动手做一遍,自己走过的路才可能成为熟路。
二、学会画图
画图是一个翻译的过程,把解题时的抽象思维,变成了形象思维,从而降低了解题难度。有些题目,只要分析图一画出来,其中的关系就变得一目了然。尤其是对于几何题,包括解析几何题,若不会画图,有时简直是无从下手。因此,牢记各种题型的基本作图方法,牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件,对于提高解题速度非常重要。
三、极限思想解题步骤
极限思想解决问题的一般步骤为:(1)对于所求的未知量,先设法构思一个与它有关的变量;(2)确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;(3)构造函数(数列)并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。
四、错题、难题多练习
在平时的数学学习中,积累下来的错题要进行强化练习,错了的多做,之后就不会再错;遇到难题要训练,平时练习的多了,之后在看到类似的题目就可以很快找到关键点,避免多走冤枉路,解答难题时可以利用上述的第二种小技巧来进行数学难题解答,会有出乎意料的效果哦。
面对高考,我们总要认真做好每一次的备考,临近考试之际,要做好学习的全方位,下面给大家分享关于高中数学公式大全及高考常用公式,欢迎阅读!
1.对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
中元素各表示什么?
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
3.注意下列性质:
(3)德摩根定律:
4.你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)
的取值范围。
6.命题的四种形式及其相互关系是什么?
(互为逆否关系的命题是等价命题。)
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
7.对映射的概念了解吗?映射f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)
8.函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
9.求函数的定义域有哪些常见类型?
10.如何求复合函数的定义域?
义域是_____________。
11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
12.反函数存在的条件是什么?
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解_;②互换_、y;③注明定义域)
13.反函数的性质有哪些?
①互为反函数的图象关于直线y=_对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
14.如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
如何判断复合函数的单调性?
∴……)
15.如何利用导数判断函数的单调性?
值是()
A.0B.1C.2D.3
∴a的最大值为3)
16.函数f(_)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?
(f(_)定义域关于原点对称)
注意如下结论:
(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
17.你熟悉周期函数的定义吗?
函数,T是一个周期。)
如:
18.你掌握常用的图象变换了吗?
注意如下“翻折”变换:
19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
的双曲线。
应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
②求闭区间[m,n]上的最值。
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
由图象记性质!(注意底数的限定!)
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?
20.你在基本运算上常出现错误吗?
21.如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)
22.掌握求函数值域的常用方法了吗?
(二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等。)
如求下列函数的最值:
23.你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?
24.熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义
25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗?
(_,y)作图象。
27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。
28.在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?
29.熟练掌握三角函数图象变换了吗?
(平移变换、伸缩变换)
平移公式:
图象?
30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?
“奇”、“偶”指k取奇、偶数。
A.正值或负值B.负值C.非负值D.正值
31.熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗?
理解公式之间的联系:
应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值。)
具体方法:
(2)名的变换:化弦或化切
(3)次数的变换:升、降幂公式
(4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。
32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解斜三角形?
(应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。)
33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。
34.不等式的性质有哪些?
答案:C
35.利用均值不等式:
值?(一正、二定、三相等)
注意如下结论:
36.不等式证明的基本方法都掌握了吗?
(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)
并注意简单放缩法的应用。
(移项通分,分子分母因式分解,_的系数变为1,穿轴法解得结果。)
38.用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切”,从最大根的右上方开始
39.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
40.对含有两个绝对值的不等式如何去解?
(找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。)
证明:
(按不等号方向放缩)
42.不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“△”问题)
43.等差数列的定义与性质
0的二次函数)
项,即:
44.等比数列的定义与性质
46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗?
例如:(1)求差(商)法
解:
[练习]
(2)叠乘法
解:
(3)等差型递推公式
[练习]
(4)等比型递推公式
[练习]
(5)倒数法
47.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗?
例如:(1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。
解:
[练习]
(2)错位相减法:
(3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。
[练习]
48.你知道储蓄、贷款问题吗?
△零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:
若每期存入本金p元,每期利率为r,n期后,本利和为:
△若按复利,如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类)
若贷款(向银行借款)p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,第n次还清。如果每期利率为r(按复利),那么每期应还_元,满足
p——贷款数,r——利率,n——还款期数
49.解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。
(2)排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一
(3)组合:从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从n个不
50.解排列与组合问题的规律是:
相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问题间接法;相同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果。
如:学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是()
A.24B.15C.12D.10
解析:可分成两类:
(2)中间两个分数相等
相同两数分别取90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有3,4,3种,∴有10种。
∴共有5+10=15(种)情况
51.二项式定理
性质:
(3)最值:n为偶数时,n+1为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第
表示)
52.你对随机事件之间的关系熟悉吗?
的和(并)。
(5)互斥事件(互不相容事件):“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。
(6)对立事件(互逆事件):
(7)独立事件:A发生与否对B发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
53.对某一事件概率的求法:
分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即
(5)如果在一次试验中A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中A恰好发生
如:设10件产品中有4件次品,6件正品,求下列事件的概率。
(1)从中任取2件都是次品;
(2)从中任取5件恰有2件次品;
(3)从中有放回地任取3件至少有2件次品;
解析:有放回地抽取3次(每次抽1件),∴n=103
而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
(4)从中依次取5件恰有2件次品。
解析:∵一件一件抽取(有顺序)
分清(1)、(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复排列问题。
54.抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,它的特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一个;分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等,体现了抽样的客观性和平等性。
55.对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平均值)和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法:
(2)决定组距和组数;
(3)决定分点;
(4)列频率分布表;
(5)画频率直方图。
如:从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛,如果按性别分层随机抽样,则组成此参赛队的概率为____________。
56.你对向量的有关概念清楚吗?
(1)向量——既有大小又有方向的量。
在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。
(6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
(7)向量的加、减法如图:
(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)
的一组基底。
(9)向量的坐标表示
表示。
57.平面向量的数量积
数量积的几何意义:
(2)数量积的运算法则
[练习]
答案:
答案:2
答案:
58.线段的定比分点
※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗?
59.立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗?
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:
线面平行的判定:
线面平行的性质:
三垂线定理(及逆定理):
线面垂直:
面面垂直:
60.三类角的定义及求法
(1)异面直线所成的角θ,0°<θ≤90°
(2)直线与平面所成的角θ,0°≤θ≤90°
(三垂线定理法:A∈α作或证AB⊥β于B,作BO⊥棱于O,连AO,则AO⊥棱l,∴∠AOB为所求。)
三类角的求法:
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义,并指出所求作的角。
③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。
[练习]
(1)如图,OA为α的斜线OB为其在α内射影,OC为α内过O点任一直线。
(2)如图,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1=8,BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。
①求BD1和底面ABCD所成的角;
②求异面直线BD1和AD所成的角;
③求二面角C1—BD1—B1的大小。
(3)如图ABCD为菱形,∠DAB=60°,PD⊥面ABCD,且PD=AD,求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。
(∵AB∥DC,P为面PAB与面PCD的公共点,作PF∥AB,则PF为面PCD与面PAB的交线……)
61.空间有几种距离?如何求距离?
点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的长(如:三垂线定理法,或者用等积转化法)。
如:正方形ABCD—A1B1C1D1中,棱长为a,则:
(1)点C到面AB1C1的距离为___________;
(2)点B到面ACB1的距离为____________;
(3)直线A1D1到面AB1C1的距离为____________;
(4)面AB1C与面A1DC1的距离为____________;
(5)点B到直线A1C1的距离为_____________。
62.你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质?
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:
它们各包含哪些元素?
63.球有哪些性质?
(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此,要找球心角!
(3)如图,θ为纬度角,它是线面成角;α为经度角,它是面面成角。
(5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R:r=3:1。
积为()
答案:A
64.熟记下列公式了吗?
(2)直线方程:
65.如何判断两直线平行、垂直?
66.怎样判断直线l与圆C的位置关系?
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。
67.怎样判断直线与圆锥曲线的位置?
68.分清圆锥曲线的定义
70.在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系数是否为零?△≥0的限制。(求交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在△≥0下进行。)
71.会用定义求圆锥曲线的焦半径吗?
如:
通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72.有关中点弦问题可考虑用“代点法”。
答案:
73.如何求解“对称”问题?
(1)证明曲线C:F(_,y)=0关于点M(a,b)成中心对称,设A(_,y)为曲线C上任意一点,设A'(_',y')为A关于点M的对称点。
75.求轨迹方程的常用方法有哪些?注意讨论范围。
(直接法、定义法、转移法、参数法)
76.对线性规划问题:作出可行域,作出以目标函数为截距的直线,在可行域内平移直线,求出目标函数的最值。
有很多的同学是非常的想知道,高中数学知识点有哪些,数学公式是什么,我们高考时又该怎么应对呢?以下是小编整理的一些2023年高中数学知识点及公式内容,欢迎阅读参考。
1.高中数学学习方法—听好课。在课堂上集中注意力是想要学好一门科目的关键,高中数学课也不例外。数学也是一门极难学懂的课程,所以学生在课上课下都要花费大量的时间,数学也不是一门只要掌握好方法就能学懂的学科,所以在高中数学的学习上,一定要好好听课,汲取老师的经验,转化为自己知识,才能把握住一些技巧性的东西,从而提高自己数学的分数。
2.高中数学学习方法—勤做题。相信很多学生在高三的时候都经历了疯狂做题的阶段,每天几套几套的卷子,做的学生心理疲惫。但是题海战术面对我国现在高中生的普遍水平还是很管用的。如果你不像其他学霸那样有着过人的天分,那么在高中数学的学习上,就一定要多做题、勤做题。把每个你不会的题型都多做几遍,做的多了,数学的水平自然也就上去了。
3.高中数学学习方法,学会归纳。在数学这门学科中,最重要的是学会归纳。比如把你不会的知识、不懂的知识、易错的知识都整理到不同的本子上,碰到类似的题就归纳进去,这样对于高中数学的学习也是非常有用的。很多学生也是运用了这样的方法学习高中数学,不仅是数学这门学科,在其他学科的学习上也要注意运用归纳的方法。这样才能时常纠正自己的错误,并在高中数学上取得更好的成绩。
高考数学涉及方方面面,涵盖的知识点也很多,数学公式也很多。那么该怎么做好复习呢?以下是小编整理的一些高中数学知识点总结及公式大全,欢迎阅读参考。
1.等差数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.
2.等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.
3.等差中项
如果A=(a+b)/2,那么A叫做a与b的等差中项.
4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N_).
(2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q,
则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N_).
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N_)是公差为md的等差数列.
(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(5)S2n-1=(2n-1)an.
(6)若n为偶数,则S偶-S奇=nd/2;
若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).
注意:
一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式:
Sn=a1+a2+a3+…+an,①
Sn=an+an-1+…+a1,②
①+②得:Sn=n(a1+an)/2
两个技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元.
(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….
(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.
四种方法
等差数列的判断方法
(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数;
(2)等差中项法:验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N_)都成立;
(3)通项公式法:验证an=pn+q;
(4)前n项和公式法:验证Sn=An2+Bn.
注:后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.
以往的教师在把握教材是,大都是有什么教什么,不能够灵活的使用教材。而今的数学教学要求把学生的生活经验带到课堂,要求在简单的知识框架和结构上创造性的使用教材,让课堂变得有血有肉。接下来是小编为大家整理的2020高中数学基本不等式教学教案,希望大家喜欢!
【教学目标】
1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;
2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式;
3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式 的证明过程;
【教学难点】
基本不等式 等号成立条件
【教学过程】
1.课题导入
基本不等式 的几何背景:
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系
2.讲授新课
1.探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样,4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式: 。
当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有 。
2.得到结论:一般的,如果
3.思考证明:你能给出它的证明吗?
证明:因为
当
所以, ,即
4.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式
特别的,如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ,可得 ,
通常我们把上式写作:
2)从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明:
要证 (1)
只要证 a+b (2)
要证(2),只要证 a+b- 0 (3)
要证(3),只要证 ( - ) (4)
显然,(4)是成立的。当且仅当a=b时,(4)中的等号成立。
3)理解基本不等式 的几何意义
探究:课本第98页的“探究”
在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?
易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD2=CA·CB
即CD= .
这个圆的半径为 ,显然,它大于或等于CD,即 ,其中当且仅当点C与圆心重合,即a=b时,等号成立.
因此:基本不等式 几何意义是“半径不小于半弦”
评述:1.如果把 看作是正数a、b的等差中项, 看作是正数a、b的等比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2.在数学中,我们称 为a、b的算术平均数,称 为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
例1 已知x、y都是正数,求证:
(1) ≥2;
(2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.
分析:在运用定理: 时,注意条件a、b均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件),进行变形.
解:∵x,y都是正数 ∴ >0, >0,x2>0,y2>0,x3>0,y3>0
(1) =2即 ≥2.
(2)x+y≥2 >0 x2+y2≥2 >0 x3+y3≥2 >0
∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2 ·2 ·2 =8x3y3
即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.
3.随堂练习
1.已知a、b、c都是正数,求证
(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
分析:对于此类题目,选择定理: (a>0,b>0)灵活变形,可求得结果.
解:∵a,b,c都是正数
∴a+b≥2 >0
b+c≥2 >0
c+a≥2 >0
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。接下来是小编为大家整理的高中数学基本不等式教案设计,希望大家喜欢!
一、教材分析
1、本节教材的地位和作用
“基本不等式”是必修5的重点内容,在课本封面上就体现出来了(展示课本和参考书封面)。它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究.在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想,有利于培养学生良好的思维品质。
2、 教学目标
(1)知识目标:探索基本不等式的证明过程;会用基本不等式解决最值问题。
(2)能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。?
(3)情感目标:培养学生严谨求实的科学态度,体会数与形的和谐统一,领略数学的应用价值,激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。
3、教学重点、难点
根据课程标准制定如下的教学重点、难点
重点: 应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索基本不等式。
难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘,用基本不等式求最值。
二、教法说明
本节课借助几何画板,使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景,激发学生开始尝试活动.运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的乐趣.课堂上主要采取对比分析;让学生边议、边评;组织学生学、思、练。通过师生和谐对话,使情感共鸣,让学生的潜能、创造性最大限度发挥,使认知效益最大。让学生爱学、乐学、会学、学会。
三、学法指导
为更好的贯彻课改精神,合理的对学生进行素质教育,在教学中,始终以学生主体,教师为主导.因此我在教学中让学生从不同角度去观察、分析,指导学生解决问题,感受知识的形成过程,培养学生数形结合的意识和能力,让学生学会学习。
四、教学设计
◆运用2002年国际数学家大会会标引入
◆运用分析法证明基本不等式
◆不等式的几何解释
◆基本不等式的应用
1、运用2002年国际数学家大会会标引入
如图,这是在北京召开的第24届国际数学家大会会标.会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。(展示风车)
正方形ABCD中,AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=__,Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形,它们的面积之和是S’=_
从图形中易得,s≥s’,即
问题1:它们有相等的情况吗?何时相等?
问题2:当 a,b为任意实数时,上式还成立吗?(学生积极思考,通过几何画板帮助学生理解)
一般地,对于任意实数a、b,我们有
当且仅当(重点强调)a=b时,等号成立(合情推理)
问题3:你能给出它的证明吗?(让学生独立证明)
设计意图
(1)运用2002年国际数学家大会会标引入,能让学生进一步体会中国数学的历史悠久,感受数学与生活的联系。
(2)运用此图标能较容易的观察出面积之间的关系,引入基本不等式很直观。
(3)三个思考题为学生创造情景,逐层深入,强化理解.
2、运用分析法证明基本不等式
如果 a>0,b>0 ,
用 和 分别代替a,b。可以得到
也可写成
(强调基本不等式成立的前提条件“正”)(演绎推理)
问题4:你能用不等式的性质直接推导吗?
要证 = 1 GB3 ①
只要证 = 2 GB3 ②
要证② ,只要证 = 3 GB3 ③
要证 = 3 GB3 ③ ,只要证 = 4 GB3 ④
显然, ④是成立的.当且仅当a=b时, 不等式中的等号成立.
(强调基本不等式取等的条件“等”)
设计意图
(1)证明过程课本上是以填空形式出现的,学生能够独立完成,这也能进一步培养学生的自学能力,符合课改精神;
(2)证明过程印证了不等式的正确性,并能加深学生对基本不等式的理解;
(3)此种证明方法是“分析法”,在选修教材的《推理与证明》一章中会重点讲解,此处有必要让学生初步了解。
3、不等式的几何解释
如图,AB是圆的直径,C是AB上任一点,AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连AD,BD,则CD= ,半径为
问题5: 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? (学生积极思考,通过几何画板帮助学生理解)
设计意图
几何直观能启迪思路,帮助理解,因此,借助几何直观学习和理解数学,是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解,才是真正的理解。
4、基本不等式的应用
例1.证明
(学生自己证明)
设计意图
(1)这道例题很简单,多数学生都会仿照课本上的分析思路重新证明,能够练习“分析法”证明不等式的过程;
(2)学生能够加深对基本不等式的理解,a和b不仅仅是一个字母,而是一个符号,它们可以是a、b,也可以是x、y,也可以是一个多项式;
(3)此例不是课本例题,比课本例题简单,这样,循序渐进, 有利于学生理解不等式的内涵。
例2:(1)把36写成两个正数的积,当两个正数取什么值时,它们的和最小?
(2)把18写成两个正数的和,当两个正数取什么值时,它们的积最大?
(让学生分组合作、探究完成)
高中数学公式是必须掌握的。高中数学的难度一直都是所有科目中最大的,尤其是对于女生来说,学数学真的是很难啊。今天小编在这给大家整理了高中数学公式大全,接下来随着小编一起来看看吧!
三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a,-b-√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系X1+X2=-b/aX1·X2=c/a 注:韦达定理
判别式b2-4a=0 注:方程有相等的两实根
b2-4ac>0 注:方程有一个实根
b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2
高一必修一的数学是高中数学的开始,如果开头开不好,那么高中三年的数学基本就很难学好了。小编整理了相关资料,希望能帮助到您。
1."包含"关系—子集注意:有两种可能(1)a是b的一部分,;(2)a与b是同一集合.
反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作ab或ba
2."相等"关系(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设a={x|x2-1=0} b={-1,1} "元素相同"
结论:对于两个集合a与b,如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素,同时,集合b的任何一个元素都是集合a的元素,我们就说集合a等于集合b,即:a=b
①任何一个集合是它本身的子集.a(a
②真子集:如果a(b,且a( b那就说集合a是集合b的真子集,记作ab(或ba)
③如果 a(b, b(c ,那么 a(c
④如果a(b 同时 b(a 那么a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.
数学学习困难的研究是数学教学与实践中一个引人注目的问题,但是数学又是一个拉分很大的科目,大家学习完最好总结一下知识点和公式。小编分享高中数学知识点总结及公式,希望可以帮助大家!
数学在高考中是占有非常大的分数比重的,那么学好高中数学就显得尤为重要了,你会写数学提纲吗?下面小编给大家分享一些高中数学必修五不等式提纲,希望能够帮助大家,欢迎阅读!
1.选准一本与教材同步的辅导书或练习册,做完一节的全部练习后,对照答案进行批改。千万别做一道对一道的答案,因为这样会造成思维中断和对答案的依赖心理;先易后难,遇到不会的题一定要先跳过去,以平稳的速度过一遍所有题目,先彻底解决会做的题;不会的题过多时,千万别急躁、泄气,其实你认为困难的题,对其他人来讲也是。
2.题不在多,而在于精,学会“解剖麻雀”。充分理解题意,注意对整个问题的转译,深化对题中某个条件的认识;看看与哪些数学基础知识相联系,有没有出现一些新的功能或用途?再现思维活动经过,分析想法的产生及错因的由来,要求用口语化的语言真实地叙述自己的做题经过和感想,想到什么就写什么,以便挖掘出一般的数学思想方法和数学思维方法;一题多解,一题多变,多元归一。
3.复习:“温故而知新”,把一些比较“经典”的题重做几遍,把做错的题当作一面“镜子”进行自我反思,也是一种高效率的、针对性较强的学习方法。
方差是指各个数据与平均数之差的平方的平均数,同时这也是高中数学必修三课本的重点内容,下面百文网小编给大家带来数学必修三方差计算公式,希望对你有帮助。
目录
分层抽样
(1)分层抽样(类型抽样):
先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,最后,将这些子样本合起来构成总体的样本。
两种方法:
①先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
②先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列,最后用系统抽样的方法抽取样本。
(2)分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体,所有的样本进而代表总体。
分层标准:
①以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。
②以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。
③以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
高中数学必修3统计知识点:系统抽样
(1)系统抽样(等距抽样或机械抽样):
把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。 K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模)
前提条件:总体中个体的排列对于研究的变量来说,应是随机的,即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下,从不同的样本开始抽样,对比几次样本的特点。如果有明显差别,说明样本在总体中的分布承某种循环性规律,且这种循环和抽样距离重合。
(2)系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低,实施也比较简单。更为重要的是,如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用,总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话,使用系统抽样可以大大提高估计精度。
简单随机抽样
(1)总体和样本
①在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体.②把每个研究对象叫做个体.③把总体中个体的总数叫做总体容量.
④为了研究总体 的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分: x1,x2 , ....研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.
(2)简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随
机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等),样本的每个单位完全独立,彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法。
(3)简单随机抽样常用的方法:
①抽签法②随机数表法③计算机模拟法③使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度。
(4)抽签法:
①给调查对象群体中的每一个对象编号;②准备抽签的工具,实施抽签;
③对样本中的每一个个体进行测量或调查
程序框图
程序框图的概念:
程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形;
程序框图的构成:
一个程序框图包括以下几部分:实现不同算法功能的相对应的程序框;带箭头的流程线;程序框内必要的说明文字。
设计程序框图的步骤:
第一步,用自然语言表述算法步骤;
第二步,确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构,并用相应的程序框图表示,得到该步骤的程序框图;
第三步,将所有步骤的程序框图用流程线连接起来,并加上终端框,得到表示整个算法的程序框图。
画程序框图的规则:
(1)使用标准的框图符号;
(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画;
(3)除判断框外,大多数程序框图中的程序框只有一个进入点和一个退出点,判断框是具有超过一个退出点的唯一符号;
(4)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
几种重要的结构:
顺序结构、条件结构、循环结构。
高中学生学习数学必修5课本内容牢记公式很重要。那么数学必修5公式有哪些呢?下面百文网小编为大家整理高中数学必修5公式,希望对大家有所帮助!
循序渐进,防止急躁
由于学生年龄较小,阅历有限,为数不少的高中学生容易急躁,有的同学贪多求快,有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就,有的取得一点成绩便洋洋自得,遇到挫折又一蹶不振.学习是一个长期的巩固旧知识、发现新知识的积累过程,决非一朝一夕可以完成,为什么高中要上三年而不是三天!许多优秀的同学能取得好成绩,其中一个重要原因是他们的基本功扎实,他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度.
学习上要学会积极归因,树立自信心,如:取得一点成绩及时体会成功,强化学习能力;遇到挫折及时调整学习方法、策略,更加努力改变挫折。
学习是一项循序渐进,长期积累的过程,要有恒心、决心,有一颗拼搏的心,要防止急躁心里,这样才能取得最后的成功。
研究学科特点,寻找最佳学习方法
数学学科担负着培养学生运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力,以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任.它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性,对能力要求较高.学习数学一定要讲究“活”,只看书不做题不行,埋头做题不总结积累不行,对课本知识既要能钻进去,又要能跳出来,结合自身特点,寻找最佳学习方法.华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是这个道理.方法因人而异,但学习的五个环节:预习、上课、复习、作业、总结是少不了的.
多交流,多反思解疑,化解分化点
高中数学中易分化的地方多,这些地方一般都有方法新、难度大、灵活性强等特点.对易分化的地方要采用多次反复解疑,认真反思,总结规律,多阅读参考书等方法,多和同学交流,多向老师请教,多开展变式练习,化解分化点,以达到灵活掌握知识、运用知识的目的。
只要学习科学得法,有恒心,有信心,有拼搏心,克服急躁心里,克服“小聪明”,多交流,多反思,养成良好的学习习惯,就能顺利度过高中数学学习适应期,就能在今后的数学成绩图飞猛进。
学习重在积累,知识的积累和经验、方法的积累,尤其是要把问题类型、分析方法和典范例题等作为一个统一整体来进行积累。下面小编跟大家聊聊关于高中数学不等式复习,欢迎大家阅读!
生动形象的策略
在教学中,对不等式知识的呈现和表达,要力求具体生动形象,要将学生难以理解的数学符号用学生日常生活中经常使用的语言来表述,甚至生动的表述,使数学内容和具体物质关系联系起来,全面提高学生在不等式学习中对各种数学符号的理解、表达及应用的能力.对于那些逻辑思维能力较差的学生,采取这种方式更能够引起其注意,直观的表述和表达,更能引起其理解上的共鸣,并对不等式性质产生较为深刻的印象.
在不等式教学过程中,可通过引导学生对玩跷跷板的经验进行回顾,并探究天平两侧因物体质量的大小而倾斜的特点,借助这一情景来引导学生形象地认识不等式的基本性质.比如在教学中,可从学生身边的生活经验入手,以天平倾斜这一直观表现来导入不等式的教学.a、b两物体放在天平两侧,天平向物体a倾斜,而b、c两物体放上去时,天平向物体b倾斜,那么,物体a和物体c哪个质量大?如此运用学生有生活体验的事例进行不等式性质的直观讲解,引导学生进行传递性思考,然后通过作差比较法来进一步探讨,进行理性地理解;这使枯燥、抽象的符号表达,还原为生动形象的生活知识,有利于加深学生理解和掌握能力,提高学习兴趣.
不断积累的策略
学习重在积累,知识的积累和经验、方法的积累,尤其是要把问题类型、分析方法和典范例题等作为一个统一整体来进行积累.在积累的过程中才能发现新旧知识的关联,做到条件反射、快速迁移.此外我们还应注意到,不等式的学习当中,许多已经证实的结论或者证明题的结论,都可以积累下来,作为以后推断其他结论的重要依据,从而不断提升解题能力.
要积累就需要有反复.在学习不等式的性质时,可从简单内容入手,例如,不等式7>3的两侧同时乘以任意一个不为零的数(正数、负数,小数等),让学生观察不等号的方向的变化情况;然后用711与811、79与711来乘以任意不为零的数,引导学生自己多次试验、反复尝试,自行寻找相应的规律.经过简单引导,大部分学生都能够自己总结出不等式的一些基本性质:a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac
寒窗苦读十余载,今朝考试展锋芒;思维冷静不慌乱,下笔如神才华展;心平气和信心足,过关斩将如流水;细心用心加耐心,努力备考,定会考入理想院校。接下来是小编为大家整理的高中数学基本公式大全,希望大家喜欢!
1过两点有且只有一条直线
2两点之间线段最短
3同角或等角的补角相等
4同角或等角的余角相等
5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
7平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
8如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行
9同位角相等,两直线平行
10内错角相等,两直线平行
11同旁内角互补,两直线平行
12两直线平行,同位角相等
13两直线平行,内错角相等
14两直线平行,同旁内角互补
15定理三角形两边的和大于第三边
16推论三角形两边的差小于第三边
17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°
18推论1直角三角形的两个锐角互余
19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等
26斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28定理2到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)
31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33推论3等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形
36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
数学公式时数学解题过程中必备的一项技能,只有懂得数学公式的含义和性质,才能对题型进行分析,到底能用哪条公式来解题,这就要求我们对公式的掌握情况。为了方便大家的学习,小编今天对高中数学公式进行了归纳,以下是高中数学公式大汇总,希望对同学们有所帮助。
两角和与差的三角函数公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
数学相对其它科目抽象性强,数学课堂往往会比较枯燥。下面是小编给大家带来的诱导公式的记忆方法,希望能够帮助到大家!
六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,左正右余中间1”;
记忆方法:对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
诱导公式口诀:奇变偶不变,符号看象限。
1口诀
关于诱导公式,所有的公式都可以归纳为:奇变偶不变,符号看象限。
奇变偶不变,符号看象限。
释义:
“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化:“变”是指正弦变余弦,正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是:把角α看做锐角,不考虑α角所在象限,看n·(π/2)±α是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号。
通用口诀
“一全正;二正弦;三正切;四余弦”。
释义:
1、第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;
2、第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;
3、第三象限内只有正切和余切是“+”,其余全部是“-”;
4+、第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”。
2常用的诱导公式sin(90°-α)=cosα sin(90°+α)=cosα
cos(90°-α)=sinα cos(90°+α)=-sinα
sin(270°-α)=-cosα sin(270°+α)=-cosα
cos(270°-α)=-sinα cos(270°+α)=sinα
sin(180°-α)=sinα sin(180°+α)=-sinα
cos(180°-α)=-cosα cos(180°+α)=-cosα
sin(360°-α)=-sinα sin(360°+α)=sinα
cos(360°-α)=cosα cos(360°+α)=cosα
高中数学:数学学习要点
(1) 、整理重点
有数学课的当天晚上,要把当天教的内容整理完毕,定义、定理、公式该背的一定要背熟,有些同学以为数学注重推理,不必死背,所以什麼都不背,这观念并不正确。一般所谓不死背,指的是不死背解法,但是基本的定义、定理、公式是我们解题的工具,没有记住这些,解题时将不能活用他们,好比医师若不将所有的医学知识、用药知识熟记心中,如何在第一时间救人?
很多同学数学考不好,就是没有把定义认识清楚,也没有把一些重要定理、公式“完整地”背熟。
(2)、 适当练习
重点整理完后,要适当练习。先将老师上课时讲解过的例题做一次,然后做课本习题,学有余力,再做参考书或任课老师所发的补充试题。遇有难题一时解不出,可先略过,以免浪费时间,待闲暇时再作挑战,若仍解不出再与同学或老师讨论。
(3)、 练习时一定要亲自动手演算
很多同学常会在考试时解题解到一半,就解不下去,分析其原因就是他做练习时是用看的,很多关键步骤忽略掉了。
同学们是不是有过这样的经历,就是在做数学题的时候,做着做着就忘记需要用到的某道公式呢?哈哈想当年小编就是这样过来的,然后又急急忙忙去翻书,而这么多公式要一页页找多浪费时间啊!所以小编就为大家整理了一部分关于高中数学诱导公式全集,希望同学们可以拿个小本本抄下来哇!
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α)
1+cot^2(α)=csc^2(α)