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以往的教师在把握教材是,大都是有什么教什么,不能够灵活的使用教材。而今的数学教学要求把学生的生活经验带到课堂,要求在简单的知识框架和结构上创造性的使用教材,让课堂变得有血有肉。接下来是小编为大家整理的2020高中数学基本不等式教学教案,希望大家喜欢!
【教学目标】
1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;
2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式;
3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式 的证明过程;
【教学难点】
基本不等式 等号成立条件
【教学过程】
1.课题导入
基本不等式 的几何背景:
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系
2.讲授新课
1.探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样,4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式: 。
当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有 。
2.得到结论:一般的,如果
3.思考证明:你能给出它的证明吗?
证明:因为
当
所以, ,即
4.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式
特别的,如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ,可得 ,
通常我们把上式写作:
2)从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明:
要证 (1)
只要证 a+b (2)
要证(2),只要证 a+b- 0 (3)
要证(3),只要证 ( - ) (4)
显然,(4)是成立的。当且仅当a=b时,(4)中的等号成立。
3)理解基本不等式 的几何意义
探究:课本第98页的“探究”
在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?
易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD2=CA·CB
即CD= .
这个圆的半径为 ,显然,它大于或等于CD,即 ,其中当且仅当点C与圆心重合,即a=b时,等号成立.
因此:基本不等式 几何意义是“半径不小于半弦”
评述:1.如果把 看作是正数a、b的等差中项, 看作是正数a、b的等比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2.在数学中,我们称 为a、b的算术平均数,称 为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
例1 已知x、y都是正数,求证:
(1) ≥2;
(2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.
分析:在运用定理: 时,注意条件a、b均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件),进行变形.
解:∵x,y都是正数 ∴ >0, >0,x2>0,y2>0,x3>0,y3>0
(1) =2即 ≥2.
(2)x+y≥2 >0 x2+y2≥2 >0 x3+y3≥2 >0
∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2 ·2 ·2 =8x3y3
即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.
3.随堂练习
1.已知a、b、c都是正数,求证
(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
分析:对于此类题目,选择定理: (a>0,b>0)灵活变形,可求得结果.
解:∵a,b,c都是正数
∴a+b≥2 >0
b+c≥2 >0
c+a≥2 >0
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。接下来是小编为大家整理的高中数学基本不等式教案设计,希望大家喜欢!
一、教材分析
1、本节教材的地位和作用
“基本不等式”是必修5的重点内容,在课本封面上就体现出来了(展示课本和参考书封面)。它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究.在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想,有利于培养学生良好的思维品质。
2、 教学目标
(1)知识目标:探索基本不等式的证明过程;会用基本不等式解决最值问题。
(2)能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。?
(3)情感目标:培养学生严谨求实的科学态度,体会数与形的和谐统一,领略数学的应用价值,激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。
3、教学重点、难点
根据课程标准制定如下的教学重点、难点
重点: 应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索基本不等式。
难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘,用基本不等式求最值。
二、教法说明
本节课借助几何画板,使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景,激发学生开始尝试活动.运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的乐趣.课堂上主要采取对比分析;让学生边议、边评;组织学生学、思、练。通过师生和谐对话,使情感共鸣,让学生的潜能、创造性最大限度发挥,使认知效益最大。让学生爱学、乐学、会学、学会。
三、学法指导
为更好的贯彻课改精神,合理的对学生进行素质教育,在教学中,始终以学生主体,教师为主导.因此我在教学中让学生从不同角度去观察、分析,指导学生解决问题,感受知识的形成过程,培养学生数形结合的意识和能力,让学生学会学习。
四、教学设计
◆运用2002年国际数学家大会会标引入
◆运用分析法证明基本不等式
◆不等式的几何解释
◆基本不等式的应用
1、运用2002年国际数学家大会会标引入
如图,这是在北京召开的第24届国际数学家大会会标.会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。(展示风车)
正方形ABCD中,AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=__,Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形,它们的面积之和是S’=_
从图形中易得,s≥s’,即
问题1:它们有相等的情况吗?何时相等?
问题2:当 a,b为任意实数时,上式还成立吗?(学生积极思考,通过几何画板帮助学生理解)
一般地,对于任意实数a、b,我们有
当且仅当(重点强调)a=b时,等号成立(合情推理)
问题3:你能给出它的证明吗?(让学生独立证明)
设计意图
(1)运用2002年国际数学家大会会标引入,能让学生进一步体会中国数学的历史悠久,感受数学与生活的联系。
(2)运用此图标能较容易的观察出面积之间的关系,引入基本不等式很直观。
(3)三个思考题为学生创造情景,逐层深入,强化理解.
2、运用分析法证明基本不等式
如果 a>0,b>0 ,
用 和 分别代替a,b。可以得到
也可写成
(强调基本不等式成立的前提条件“正”)(演绎推理)
问题4:你能用不等式的性质直接推导吗?
要证 = 1 GB3 ①
只要证 = 2 GB3 ②
要证② ,只要证 = 3 GB3 ③
要证 = 3 GB3 ③ ,只要证 = 4 GB3 ④
显然, ④是成立的.当且仅当a=b时, 不等式中的等号成立.
(强调基本不等式取等的条件“等”)
设计意图
(1)证明过程课本上是以填空形式出现的,学生能够独立完成,这也能进一步培养学生的自学能力,符合课改精神;
(2)证明过程印证了不等式的正确性,并能加深学生对基本不等式的理解;
(3)此种证明方法是“分析法”,在选修教材的《推理与证明》一章中会重点讲解,此处有必要让学生初步了解。
3、不等式的几何解释
如图,AB是圆的直径,C是AB上任一点,AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连AD,BD,则CD= ,半径为
问题5: 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? (学生积极思考,通过几何画板帮助学生理解)
设计意图
几何直观能启迪思路,帮助理解,因此,借助几何直观学习和理解数学,是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解,才是真正的理解。
4、基本不等式的应用
例1.证明
(学生自己证明)
设计意图
(1)这道例题很简单,多数学生都会仿照课本上的分析思路重新证明,能够练习“分析法”证明不等式的过程;
(2)学生能够加深对基本不等式的理解,a和b不仅仅是一个字母,而是一个符号,它们可以是a、b,也可以是x、y,也可以是一个多项式;
(3)此例不是课本例题,比课本例题简单,这样,循序渐进, 有利于学生理解不等式的内涵。
例2:(1)把36写成两个正数的积,当两个正数取什么值时,它们的和最小?
(2)把18写成两个正数的和,当两个正数取什么值时,它们的积最大?
(让学生分组合作、探究完成)
教案中对每个课题或每个课时的教学内容,教学步骤的安排,教学方法的选择,板书设计,教具或现代化教学手段的应用,各个教学步骤教学环节的时间分配等等,都要经过周密考虑,精心设计而确定下来,体现着很强的计划性。接下来是小编为大家整理的基本不等式教案范文,希望大家喜欢!
一、教材背景分析
1.教材的地位和作用
本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质,掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式,在代数证明的基础上,通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义,并给出在解决函数最值和实际问题中应用,在知识体系中起着承上启下的作用;从知识的应用价值上看,基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在公式推导中所蕴涵的数学思想方法(如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等)在各种不等式的研究中均有着广泛的应用;从内容的人文价值上看,基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等,有助于培养学生思维能力和探索精神,是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体.
本节是复习课,不仅应让学生进一步理解概念,还要掌握应用基本不等式求最值,体会基本不等式在实际生活中的指导作用。
2.学情分析
在认知上,学生已经掌握了不等式的基本性质,并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较,也具备了一定的平面几何的基本知识.如何让学生再认识“基本”二字,是本节学习的前提.事实上,该不等式反映了实数的两种基本运算(即加法和乘法)所引出的大小变化,这一本质不仅反映在其代数结构上,而且也有几何意义,由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用.因此,必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手,才能让学生深刻理解它的本质.
另外,在用基本不等式解决最值时,学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件,因此,在教学过程中,应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值问题中的作用.
3、教学重难点:
教学重点:用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度回顾和探索基本不等式的证明过程;用基本不等式解决一些简单的最值问题.
教学难点:回顾在几何背景下抽象出基本不等式的过程;基本不等式中等号成立的条件;应用基本不等式解决实际问题.
二、教学目标
1、利用“赵爽弦图”回顾重要不等式、基本不等式,再利用教材中的“探究”回顾基本不等式的几何意义,通过基本不等式的回顾,进一步让学生体会和感悟形数统一的思想方法;
2、通过对教材“探究”再探究,引导学生拓展基本不等式,体会基本不等式的应用;
3、通过对教材中例题的变式教学,让学生体会和感悟应用基本不等式求最值应该注意的问题,解决基本不等式在实际中的应用;
4、利用电脑屏幕的情景,激发学生学习数学的热情,进一步培养学生的数学应用能力;
5、通过学生自主构建知识网络结构图,深化对基本不等式的理解。
三、教学对策
本节作为基本不等式的复习课,一是借助弦图和几何画板演示,让学生回顾基本不等式的概念形成过程,体验基本不等式模型的观察、分析、猜想和概括等系列思维活动过程,复习基本不等式的代数结构特征,体会数学抽象思维的方法;二是通过基本不等式的证明方法的探索和不同角度的欣赏,学生能用文字语言、符号语言和图形语言表述基本不等式的结构特点,归纳得出基本不等式中等号成立的条件及其使用条件,进一步体会数形结合的思想方法;三是要引导学生用基本不等式解决常见的最值和实际问题,进一步体验数学建模的过程;
四、教学过程
(一)温故知新,回顾基本不等式.
情景引入:
【投影显示】赵爽弦图。
问题1、请同学们重温“赵爽弦图”,比较正方形ABCD的面积S和里面的四个小三角形面积之和S’的大小,看可以得到怎样的不等关系?
(通过对“赵爽弦图”的观察,使学生由形识数,从几何图形中得到重要不等式的代数形式:
当且仅当,a=b时,取得等号。)
问题3、那么在使用基本不等式时,对实数a、b有什么要求呢?
( )
下面请大家打开课本第98页,看探究中的图3.4-3。
问题5、让D点动起来,请大家指出等号成立的条件.
链接1:几何画板—赵爽弦图
教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点,将教学诸要素有序安排,确定合适的教学方案的设想和计划。下面是百文网小编分享给大家的高中数学不等式的证明教案,希望大家喜欢!
整体设计
教学分析
本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展,也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中,将让学生回忆实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.
通过本节课的学习, 让学生从一系列的具体问题情境中,感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材,用数学观点进行观察、归纳、抽象,完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题,其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用,同时也能激发学生的学习兴趣,并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容,应用再现、回忆得出实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.
在本节教学中,教师可让学生阅读书中实例,充分利用数轴这一简单的数形结合工具,直接用实数与数轴上 点的一一对应关系,从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.
三维目标
1.在学生了解不等式产生的实际背景下,利用数轴回忆实数的基本理论,理解实数的大小关系,理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.
2.会用作差法判断实数与代数式的大小,会用配方法判断二次式的大小和范围.
3.通过温故知新,提高学生对不等式的认识,激发学生的学习兴趣,体会数学的奥秘与数学的结构美.
重点难点
教学重点:比较实数与代数式的大小关系,判断二次式的大小和范围.
教学难点:准确比较两个代数式的大小.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面,它将学生带入“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的,由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望,自然地引入新课.
思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例,描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想,教师组织不等关系的相关素材,让学 生用数学的观点进行观察、归纳,使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样,在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望,从而进入进一步的探究学习,由此引入新课.
1、回忆初中学过的不等式,让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?
2、在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?
3、数轴上的任意两 点与对应的两实数具有怎样的关系?
4、任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?
活动:教师引导学生回忆初中学过的不等式概念,使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系,可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示,而不等式则是表示两者的不等关系,可用“a>b”“a
教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子,可让学生充分合作讨论,使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下,进一步学习不等式的有关内容.
实例1:某天的天气预报报道,最高气温32 ℃,最低气温26 ℃.
实例2:对于数轴上任意不同的两点A、B,若点A在点B的左边,则xA
实例3:若一个数是非负数,则这个数大于或等于零.
实例4:两点之间线段最短.
实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
实例6:限速40 km/h的路标指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过40 km/h.
实例7:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%.
教师进一步点拨:能够发现身 边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科,但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象,完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到,用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<-5,3+4>1+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1,若用t表示某天的气温,则26 ℃≤t≤32 ℃.实例3,若用x表示一个非负数,则x≥0.实例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下图.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.
实例6,若用v表示速度,则v≤40 km/h.实例7,f≥2.5%,p≥2.3%.对于实例7,教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足,避免写成f≥2.5%或p≥2.3%,这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.
对以上问题,教师让学生轮流回答,再用投影仪给出课本上的两个结论.
讨论结果:
(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中,右边点对应的实数比左边点对应的实数大.
(4)对于任意两个实数a和b,在a=b,a>b,a应用示例
例1(教材本节例1和例2)
活动:通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法:作差,配方法.
点评:本节两例的求解,是借助因式分解和应用配方法完成的,这两种方法是代数式变形时经常使用的方法,应让学生熟练掌握.
变式训练
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是()
A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)
C.f(x)
答案:A
解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0,比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.
解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0,得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比较下列各组数的大小(a≠b).
(1)a+b2与21a+1b(a>0,b>0);
(2)a4-b4与4a3(a-b).
活动:比较两个实数的大小,常根据实数的运算性质与大小顺序的关系,归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成,但要点拨学生在最后的符号判断说理中,要理由充分,不可忽略这点.
解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号),
又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.
∴a4-b4<4a3(a-b).
点评:比较大小常用作差法,一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方,前者将“差”变为“积”,后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”,也可两者并用.
变式训练
已知x>y,且y≠0,比较xy与1的大小.
活动:要比较任意两个数或式的大小关系,只需确定它们的差与0的大小关系.
解:xy-1=x-yy.
∵x>y,∴x-y>0.
当y<0时,x-yy<0,即xy-1<0. ∴xy<1;
当y>0时,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.
点评:当字母y取不同范围的值时,差xy-1的正负情况不同,所以需对y分类讨论.
例3建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,且这个比值越大,住宅的采光条件越好.试问:同时增加相等的窗户面积和地板面积, 住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由.
活动:解题关键首先是把文 字语言转换成数学语言,然后比较前后比值的大小,采用作差法.
解:设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b,同时增加的面积为m,根据问题的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后,住宅的采光条件变好了.
点评:一般地,设a、b为正实数,且a
变式训练
已知a1,a2,…为各项都大于零的等比数列,公比q≠1,则()
A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8与a4+a5大小不确定
答案:A
解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各项都大于零,∴q>0,即1+q>0.
又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.
课堂小结
1.教师与学生共同完成本节课的小结,从实数的基本性质的回顾,到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评,到紧跟着的变式训练,让学生去繁就简,联系旧知,将本节课所学纳入已有的知识体系中.
2.教师画龙点睛,点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.
作业
习题3—1A组3;习题3—1B组2.
设计感想
1.本节设计关注了教学方法 的优化.经验告诉我们:课堂上应根据具体情况,选择、设计最能体现教学规律的教学 过程,不宜长期使用一种固定的教学方法,或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中,没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说,世上没有万能的教学方法.针对个性,灵活变化,因材施教才是成功的施教灵药.
2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广,可以说与其他所有内容都有交汇,历 来是高考的重点与热点.作为本章开始,可以适当开阔一些,算作抛砖引玉,让学生有个自由探究联想的平台,但不宜过多向外拓展,以免对学生产生负面影响.
3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力,提升思维的品质,是数学教师直面的重要课题,也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性,克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度,解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.
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教师在设计教案的时候,教案逻辑思路清晰,符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。这样才能有效提高教学质量。下面是百文网小编分享给大家的高中数学不等式的证明复习教案,希望大家喜欢!
●知识梳理
1.|x|>a x>a或x<-a(a>0);
|x|0).0)中的a>0改为a∈R还成立吗?
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2.形如|x-a|+|x-b|≥c的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”.
3.含参不等式的求解,通常对参数分类讨论.
4.绝对值不等式的性质:
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
思考讨论
1.在|x|>a x>a或x<-a(a>0)、|x|
2.绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么?
●点击双基
1.设a、b是满足ab<0的实数,那么
A.|a+b|>|a-b|
B.|a+b|<|a-b|
C.|a-b|<||a|-|b||
D.|a-b|<|a|+|b|
解析:用赋值法.令a=1,b=-1,代入检验.
答案:B
2.不等式|2x2-1|≤1的解集为
A.{x|-1≤x≤1} B.{x|-2≤x≤2}
C.{x|0≤x≤2} D.{x|-2≤x≤0}
解析:由|2x2-1|≤1得-1≤2x2-1≤1.
∴0≤x2≤1,即-1≤x≤1.
答案:A
3.不等式|x+log3x|<|x|+|log3x|的解集为
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(0,+∞) D.(-∞,+∞)
解析:∵x>0,x与log3x异号,
∴log3x<0.∴0
答案:A
4.已知不等式a≤ 对x取一切负数恒成立,则a的取值范围是____________.
解析:要使a≤ 对x取一切负数恒成立,
令t=|x|>0,则a≤ .
而 ≥ =2 ,
∴a≤2 .
答案:a≤2
5.已知不等式|2x-t|+t-1<0的解集为(- , ),则t=____________.
解析:|2x-t|<1-t,t-1<2x-t<1-t,
2t-1<2x<1,t-
∴t=0.
答案:0
●典例剖析
【例1】 解不等式|2x+1|+|x-2|>4.
剖析:解带绝对值的不等式,需先去绝对值,多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令2x+1=0,x-2=0,得两个零点x1=- ,x2=2.
解:当x≤- 时,原不等式可化为
-2x-1+2-x>4,
∴x<-1.
当-
2x+1+2-x>4,
∴x>1.又-
∴1
当x>2时,原不等式可化为
2x+1+x-2>4,∴x> .
又x>2,∴x>2.
综上,得原不等式的解集为{x|x<-1或1
深化拓展
若此题再多一个含绝对值式子.如:
|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4,你又如何去解?
分析:令2x+1=0,x-2=0,x-1=0,
得x1=- ,x2=1,x3=2.
解:当x≤- 时,原不等式化为
-2x-1+2-x+1-x>4,∴x<- .
当-
2x+1+2-x+1-x>4,4>4(矛盾).
当1
2x+1+2-x+x-1>4,∴x>1.
又1
∴1
当x>2时,原不等式可化为
2x+1+x-2+x-1>4,∴x> .
又x>2,∴x>2.
综上所述,原不等式的解集为{x|x<- 或x>1}.
【例2】 解不等式|x2-9|≤x+3.
剖析:需先去绝对值,可按定义去绝对值,也可利用|x|≤a -a≤x≤a去绝对值.
解法一:原不等式 (1) 或(2)
不等式(1) x=-3或3≤x≤4;
不等式(2) 2≤x<3.
∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.
解法二:原不等式等价于
或x≥2 x=-3或2≤x≤4.
∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.
【例3】 (理)已知函数f(x)=x|x-a|(a∈R).
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)解关于x的不等式:f(x)≥2a2.
解:(1)当a=0时,
f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
当a≠0时,f(a)=0且f(-a)=-2a|a|.
故f(-a)≠f(a)且f(-a)≠-f(a).
∴f(x)是非奇非偶函数.
(2)由题设知x|x-a|≥2a2,
∴原不等式等价于 ①
或 ②
由①得 x∈ .
由②得
当a=0时,x≥0.
当a>0时,
∴x≥2a.
当a<0时,
即x≥-a.
综上
a≥0时,f(x)≥2a2的解集为{x|x≥2a};
a<0时,f(x)≥2a2的解集为{x|x≥-a}.
(文)设函数f(x)=ax+2,不等式| f(x)|<6的解集为(-1,2),试求不等式 ≤1的解集.解:|ax+2|<6,
∴(ax+2)2<36,
即a2x2+4ax-32<0.
由题设可得
解得a=-4.
∴f(x)=-4x+2.
由 ≤1,即 ≤1可得 ≥0.
解得x> 或x≤ .
∴原不等式的解集为{x|x> 或x≤ }.
●闯关训练
夯实基础
1.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3
A.{a|3
C.{a|3
解析:由题意知 得3≤a≤4.
答案:B
2.不等式|x2+2x|<3的解集为____________.
解析:-3
∴-3
答案:-3
3.不等式|x+2|≥|x|的解集是____________.
解法一:|x+2|≥|x| (x+2)2≥x2 4x+4≥0 x≥-1.
解法二: 在同一直角坐标系下作出f(x)=|x+2|与g(x)=|x|的图象,根据图象可得x≥-1.
解法三:根据绝对值的几何意义,不等式|x+2|≥|x|表示数轴上x到-2的距离不小于到0的距离,∴x≥-1.
答案:{x|x≥-1}
评述:本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法,必须掌握.
4.当0
解:由0x-2.
这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集. ①
或 ②
解不等式组①得解集为{x| ≤x<2},
解不等式组②得解集为{x|2≤x<5},
所以原不等式的解集为{x| ≤x<5}.
5.关于x的方程3x2-6(m-1)x+m2+1=0的两实根为x1、x2,若|x1|+|x2|=2,求m的值.
解:x1、x2为方程两实根,
∴Δ=36(m-1)2-12(m2+1)≥0.
∴m≥ 或m≤ .
又∵x1•x2= >0,∴x1、x2同号.
∴|x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m-1|.
于是有2|m-1|=2,∴m=0或2.
∴m=0.
培养能力
6.解不等式 ≤ .
解:(1)当x2-2<0且x≠0,即当-
(2)当x2-2>0时,原不等式与不等式组 等价.
x2-2≥|x|,即|x|2-|x|-2≥0.
∴|x|≥2.∴不等式组的解为|x|≥2,
即x≤-2或x≥2.
∴原不等式的解集为(-∞,-2]∪(- ,0)∪(0, )∪[2,+∞).
7.已知函数f(x)= 的定义域恰为不等式log2(x+3)+log x≤3的解集,且f(x)在定义域内单调递减,求实数a的取值范围.
解:由log2(x+3)+log x≤3得
x≥ ,
即f(x)的定义域为[ ,+∞).
∵f(x)在定义域[ ,+∞)内单调递减,
∴当x2>x1≥ 时,f(x1)-f(x2)>0恒成立,即有(ax1- +2)-(ax2- +2)>0 a(x1-x2)-( - )>0
(x1-x2)(a+ )>0恒成立.
∵x10
a+ <0.
∵x1x2> - >- ,
要使a<- 恒成立,
则a的取值范围是a≤- .
8.有点难度哟!
已知f(x)=x2-x+c定义在区间[0,1]上,x1、x2∈[0,1],且x1≠x2,求证:
(1)f(0)=f(1);
(2)| f(x2)-f(x1)|<|x1-x2|;
(3)| f(x1)-f(x2)|< ;
(4)| f(x1)-f(x2)|≤ .
证明:(1)f(0)=c,f(1)=c,
∴f(0)=f(1).
(2)| f(x2)-f(x1)|=|x2-x1||x2+x1-1|.
∵0≤x1≤1,∴0≤x2≤1,0
∴-1
∴| f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|.
(3)不妨设x2>x1,由(2)知
| f(x2)-f(x1)|
而由f(0)=f(1),从而
| f(x2)-f(x1)|=| f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)|≤| f(x2)-f(1)|+| f(0)-
f(x1)|<|1-x2|+|x1|<1-x2+x1. ②
①+②得2| f(x2)-f(x1)|<1,
即| f(x2)-f(x1)|< .
(4)|f(x2)-f(x1)|≤fmax-fmin=f(0)-f( )= .
探究创新
9.(1)已知|a|<1,|b|<1,求证:| |>1;
(2)求实数λ的取值范围,使不等式| |>1对满足|a|<1,|b|<1的一切实数a、b恒成立;
(3)已知|a|<1,若| |<1,求b的取值范围.
(1)证明:|1-ab|2-|a-b|2=1+a2b2-a2-b2=(a2-1)(b2-1).
∵|a|<1,|b|<1,∴a2-1<0,b2-1<0.
∴|1-ab|2-|a-b|2>0.
∴|1-ab|>|a-b|,
= >1.
(2)解:∵| |>1 |1-abλ|2-|aλ-b|2=(a2λ2-1)(b2-1)>0.
∵b2<1,∴a2λ2-1<0对于任意满足|a|<1的a恒成立.
当a=0时,a2λ2-1<0成立;
当a≠0时,要使λ2< 对于任意满足|a|<1的a恒成立,而 >1,
∴|λ|≤1.故-1≤λ≤1.
(3)| |<1 ( )2<1 (a+b)2<(1+ab)2 a2+b2-1-a2b2<0 (a2-1)(b2-1)<0.
∵|a|<1,∴a2<1.∴1-b2>0,即-1
●思悟小结
1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值.常用的方法是:(1)由定义分段讨论;(2)利用绝对值不等式的性质;(3)平方.
2.解含参数的不等式,如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关,就必须分类讨论.注意:(1)要考虑参数的总取值范围.(2)用同一标准对参数进行划分,做到不重不漏.
●教师下载中心
教学点睛
1.绝对值是历年高考的重点,而绝对值不等式更是常考常新.在教学中要从绝对值的定义和几何意义来分析,绝对值的特点是带有绝对值符号,如何去掉绝对值符号,一定要教给学生方法,切不可以题论题.
2.无理不等式在新课程书本并未出现,但可以利用不等式的性质把其等价转化为代数不等式.
3.指数、对数不等式能利用单调性求解.
拓展题例
【例1】 设x1、x2、y1、y2是实数,且满足x12+x22≤1,证明不等式(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).
分析:要证原不等式成立,也就是证(x1y1+x2y2-1)2-(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0.
证明:(1)当x12+x22=1时,原不等式成立.
(2)当x12+x22<1时,联想根的判别式,可构造函数f(x)=(x12+x22-1)x-2(x1y1+x2y2-1)x+(y12+y22-1),其根的判别式Δ=4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1).
由题意x12+x22<1,函数f(x)的图象开口向下.
又∵f(1)=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=(x1-y1)2+(x2-y2)2≥0,
因此抛物线与x轴必有公共点.
∴Δ≥0.
∴4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0,
即(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).
教育是一个逐步发现自己无知的过程。七年级数学不等式的基本性质的教学反思有哪些呢?接下来是百文网小编为大家带来的关于七年级数学不等式的基本性质教学反思,希望会给大家带来帮助。
数学知识体系是一个前后连贯性很强的知识系统,在空间与图形领域,中小学数学主要体现为由直观几何、实验几何向论证几何逐渐过渡。初中数学教师在教学中要注意与小学教学相衔接,适当复习小学内容,在小学的基础上提高。下面从中小学衔接的角度,对“平行四边形的性质”(新人教版)这节课做了一些反思。
一、反思备课
备教材:
备课时,我首先查阅了本届学生小学时学过的教材。发现,小学教材中“平行四边形”的定义用粗体作了明确界定,“对边相等”的特征学生是用度量或折叠的方法得到的。平行四边形的面积是通过割补转化为长方形进行重点学习的。所以学生应该对平行四边形的概念和特征已经有所认识并会求其面积。
“平行四边形”是全章重点内容之一,它是在学生已掌握了平行线的性质、全等三角形和多边形的有关知识的基础上研究的。平行四边形是平面几何的又一典型图形,它既是以前知识的综合应用也是下一步研究各种特殊平行四边形的基础,具有承上启下的作用。矩形、菱形、正方形的性质和判定都是在平行四边形的基础上扩充的,它们的探索方法也都与平行四边形的性质和判定方法一脉相承。梯形的性质、三角形中位线定理等的推证,也都是以平行四边形的有关定理为依据的。而“平行四边形的性质”又是本章的第一节,这一节的学习对学平行四边形的判定和其它特殊四边形起着关键的作用。教材中平行四边形的“对边相等”、“对角相等”、“对角线互相平分”三个性质是分两部分说明的,因这节课是采用探索式教学法,预计学生在同一节课中就能够得到这三个性质,所以把三个性质放在一节课中进行处理。
备学生:
为了清楚的了解学生的认知情况,我深入学生中间,调查了学生对平行四边形的掌握程度。发现,将近90%的学生能够说出平行四边形的定义;50%多的学生了解“平行四边形对边平行且相等”这一特征;而对“平行四边形对角相等”和“对角线互相平分”的性质,只有很少一部分学生因超前学习才了解。鉴于学生的认知结构,我把探索平行四边形的性质放在了角和对角线方面。
备教法:
《数学课程标准》指出:数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。我看了一位老师针对平行四边形上的一节公开课。这位老师可能是为了调动学生的主体性,让学生对“平行四边形”下一个定义。结果,学生把平行四边形的定义和所有判定方法全部说了出来,并说出这样定义的原因。听起来真是婆说婆有理,公说公有理,难以分辨用哪一个做定义更合适。最后老师说习惯上用“两组对边分别平行”来定义。看了这节课后再结合小学教材和学生的认知情况,我认为,小学教材已对“平行四边形”作了明确叙述,在“平行四边形”是如何定义的这一方面再做文章只能又陷入老师给学生解释为什么不能用平行四边形判定(学生并不知道是判定)来定义,而定义本身常常又是一个规定性的东西。因此,我在这个地方采取让学生事先准备好两张完全相同的三角形纸片,然后在课堂上让学生拼出平行四边形并把拼的图形展示在黑板上,在调动学生积极性的同时,既能发现学生对平行四边形的理解情况,也为下面平行四边形性质的证明做好铺垫。
在探索平行四边形性质上,采取自主探索、合作交流的方式,并把探索到的结论和证明过程填写在事先发给的探究报告里,使学生的思维和落实密切联系在一起。让学生体会证明的必要性,理解证明的基本过程,掌握用综合法证明的格式,感受公理化思想。
恰当的利用多媒体课件。为了让学生对平行四边形的三条性质有更明确的认识,我从旋转的角度准备了形象生动的性质探索课件。
整节课采取探索式证明方法,即采取观察、猜想、直观验证、推理证明、得出性质的方法。向学生渗透化复杂为简单,化新知为旧知的“转化”的数学思想方法。
二、反思上课
进入初中以后,随着学生逻辑思维能力和抽象思维能力的加强,不能再仅局限于一些结论的获得,而要注重结论的推导过程,揭示知识的来龙去脉,也就是不仅要知其然还要知其所以然。教材也要求学生要对发现到的结论进行推理论证。
对“平行边形的对边相等”这一性质在小学是通过观察、测量对边的长度进行比较得到的。能否证明这一结论呢?学生在学多边形知识时曾经采取把多边形分割成三角形来研究,所以课堂上当对这一结论进行证明时,学生很快想到把四边形分割成三角形利用全等的知识来解决。但学生在推理时符号语言说的还不太顺畅,推理也还缺乏规范性。所以在学生的叙述下教师进行规范的推理板书,给学生做出示范。
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有理数
1.有理数(1)整数:正整数、0、负整数统称整数(integer),
(2)分数;正分数和负分数统称分数(fraction)。
(3)有理数;整数和分数统称有理数(rational number). 以用m/n(其中m,n是整数,n≠0)表示有理数。
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不等式的证明已成为各类数学竞赛的热门题型,也是高二数学教学的重点,下面是百文网小编给大家带来的高二数学不等式的证明知识点归纳,希望对你有帮助。
(1)记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。
(2)建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。
(3)熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
(4)经常对知识结构进行梳理,形成板块结构,实行“整体集装”,如表格化,使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。
(5)阅读数学课外书籍与报刊,参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓展自己的知识面。
(6)及时复习,强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。
(7)学会从多角度、多层次地进行总结归类。如:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等,使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。
(8)经常在做题后进行一定的“反思”,思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法,本题的分析方法与解法,在解其它问题时,是否也用到过。
(9)无论是作业还是测验,都应把准确性放在第一位,通法放在第一位,而不是一味地去追求速度或技巧,这是学好数学的重要问题。
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高中政治教师要根据教材的特点、学生的实际情况,具体地确定好教学目的,选择好教学方法,设计出具体可行的教案,下面是百文网小编给大家带来的高中政治必修1商品的基本属性教案,希望对你有帮助。
1.改变教师教学观念,提高教师队伍素质。传统的思想政治教学观念是对学生主动学习和创造性思维发展的束缚,因此新形势下进行高校思想政治教育改革的首要措施就是要突破传统的思想政治教学观念,逐渐树立以人为本的现代化思想政治教学观念。作为思想政治教育的参与者,教师在教书育人、管理育人活动中扮演着重要的角色,更在学生的成长过程中担负着重要的任务,教师思想意识的高低将直接影响到学生的素质状况。因此要重视对教师队伍素质的培养,提高教师的教学能力。一名合格的教师,要不断用理论知识与科学思想观念武装自己,在生活中不断挖掘思想政治教学资源,将生活经验与课本知识结合在一起,不断提高教学的针对性与有效性;同时还要重视自身道德修养的提高,在教学过程中用自己的一言一行影响学生,让学生在潜移默化中树立正确的价值观。
2.优化教学模式,改进教学方法。新的社会背景条件下的思想政治课程应当要选择适合学生发展的教学方法,改变传统的概念性教学,重视理论与实践的结合,在教学中充分发挥学生的主体作用,教师在学习的过程中扮演引导者的角色,让学生学会自主学习,充分理解思想政治教育的真正意义。教师要尽量为学生提高课堂的艺术性,以多样化、个性化的课堂形式吸引学生的注意力,用不同的形式和情境模式感染学生,并充分利用社会实践经验调动和激发学生学习思想政治课程的兴趣,从而不断提高课堂效率。
3.丰富教学内容,增强思想政治课程的吸引力。思想政治教材本身多以文字为主,加上概念性的内容比较多,学生阅读的积极性并不高。在传统的教学中,思想政治教师多以课本为授课的主要材料,教学缺乏独立性和创造性的内容,机械式的授课导致课堂气氛沉闷,根本无法满足当前学生学习的要求,课堂效率不高。因此,教师要从创新的角度出发,紧跟时代的潮流,不断更新教学的内容,做到思想政治教育与时代同步,从而增强学生学习的积极性。
4.丰富教学手段,拓宽学生视野。相对于其他学科的教学来说,思想政治课程的理论性比较强,如果仅仅依靠教师讲解授课,学生很难充分地理解相关的理论知识,也很难调动学生的积极性。因此,教师可以借鉴其他学科的授课经验,充分利用多媒体技术授课,从而为学生提供直观性的资料,不断拓宽学生的视野,让学生在视觉、听觉中实现理论与感性认识的统一。同时,多媒体等高科技技术的应用也是对教学内容的充分展示,对于活跃课堂气氛、节约教学时间有很大的帮助。
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教案是对将要进行的教学过程的一个预设,能够更好地帮助高一政治教师完成教学内容,下面是百文网小编给大家带来的高一政治经济我国的基本经济制度导教案,希望对你有帮助。
(一)注意学科知识与生活主题相结合
高中的思想政治课程应该与生活主题结合起来,围绕生活实际进行教学,把所学的知识点和实际运用结合,使得学生善于用所学知识解决一些社会问题,从而提高学生的综合水平,更好的灵活运用所学知识,这也充分体现了新课程教学目标的要求。
(二)重视课堂导入的方法运用
课程开始的导入有着重要的作用,精彩有趣的导入吸引学生的注意力,引起学生学习的兴趣,激发他们的积极性,只有学生对课程产生了兴趣,才能更好的学习一门课程,兴趣是最好的老师。其实在我们的日常生活中的很多现象对蕴含着一定的经济常识,和我们每一个人的生活都是息息相关的。所以教师在导入教学的时候可以举一些生活中的例子,引发他们的好奇心,师生共同进行分析总结,使得学生能够更好的运用和掌握知识,也让课程本身增加了趣味性。或者教师也可以先抛出一些带有争议的问题,引起学生的注意,然后组织学生之间进行讨论等活动,发散他们的思维,然后进行知识点的讲解,有助于学生对知识的理解和运用。
(三)强化实践环节,丰富教学内容
高中的思想政治课程需要与时事政策的教育进行相互补充,可以在教学中增加一些实践环节,丰富高中政治教学的内容,积极开展社会调查,让他们能够把课程中所学到的知识点运用到解决实际问题中去,使得政治课程的教学内容更加有实际意义,同时也可以锻炼学生的综合素质,提高他们的综合水平。
(四)倡导研究性学习方式
要积极倡导研究性的学习方式。要让学生学会独立思考,教师要给学生提供足够的空间让他们能够互相之间进行有效的交流,发表自己的见解,培养他们的创新精神和积极探索的态度。
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基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分,下面是百文网小编给大家带来的高二数学必修5不等式证明方法,希望对你有帮助。
1.不等式证明的依据
(2)不等式的性质(略)
(3)重要不等式:①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R)
②a2+b2≥2ab(a、b∈R,当且仅当a=b时取“=”号)
2.不等式的证明方法
(1)比较法:要证明a>b(a0(a-b<0),这种证明不等式的方法叫做比较法.
用比较法证明不等式的步骤是:作差——变形——判断符号.
(2)综合法:从已知条件出发,依据不等式的性质和已证明过的不等式,推导出所要证明的不等式成立,这种证明不等式的方法叫做综合法.
(3)分析法:从欲证的不等式出发,逐步分析使这不等式成立的充分条件,直到所需条件已判断为正确时,从而断定原不等式成立,这种证明不等式的方法叫做分析法.
证明不等式除以上三种基本方法外,还有反证法、数学归纳法等.
不等式,用不等号将两个整式连结起来所成的式子,下面是百文网小编给大家带来的高二数学不等式的基本性质知识点总结,希望对你有帮助。
① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有:
(1) a>bb
(2) a>b, b>ca>c (传递性)
(3) a>ba+c>b+c (c∈R)
(4) c>0时,a>bac>bc
c<0时,a>bac
运算性质有:
(1) a>b, c>da+c>b+d。
(2) a>b>0, c>d>0ac>bd。
(3) a>b>0an>bn (n∈N, n>1)。
(4) a>b>0>(n∈N, n>1)。
应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。
② 关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题:
(1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。
(2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。
(3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
算法,是求解问题类的、机械的、统一的方法,常用于计算、数据处理和自动推理。下面是百文网小编给大家带来的高二数学基本算法语句课程教案,希望对你有帮助。
1、高一已经开设了信息技术课程,对计算机知识有了一定的了解,他们对计算机有着较浓厚的兴趣。2、学生具备一定的模仿、探索、操作能力,合作精神较好。
3、前面已经学习了输入、输出与赋值语句。
4、学生已学习过的条件语句的程序框图是条件语句两种形式的认知起点。
四、高二数学基本算法语句教学策略选择与设计
建构主义认为,学习是在原有知识的基础上,在新旧知识的相互作用过程中,通过同化和顺应,使自身的认知结构得以转换和发展。结合本节课的具体内容,采用启发式教学法,小组合作学习法,计算机辅助教学等教学法。
点评:本节事实上采用了以学为主的支架式教学策略,但放得不太开。
根据以上分析,本节课按照“提出问题-解决问题”的思路来设计教学程序,以学生为主体,在合作中学习和体会算法的基本思想,发展学生的创造性思维。同时考虑不同学生的个性差异和发展层次,让各层次学生都得到发展。通过多媒体演示提高课堂效率,利用QBasic实现算法,进一步体现算法思想。
点评:这里的“提出问题-解决问题”并没有充分表达出设置的特点。教师是设置情境,引导学生提出问题,再组织学生分组全合作学习,解决问题。
高一时数学就涉及到很多重要的考点,这些知识点一定要掌握好,因为它们关系到下面的数学学习。以下是百文网小编为您整理的关于的相关资料,供您阅读。
不等式的证明问题,由于题型多变、方法多样、技巧性强,加上无固定的规律可循,往往不是用一种方法就能解决的,它是多种方法的灵活运用,也是各种思想方法的集中体现,因此难度较大。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式,灵活运用常用的证明方法。
一、要点精析
1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步骤为:①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
(2)商值比较法的理论依据是:“若a,b∈R+,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为:①作商:将左右两端作商;②变形:化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1。应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法。
2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”。其逻辑关系为:AB1
B2 B3… BnB,即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。
3.分析法分析法是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”。用分析法证明AB的逻辑关系为:BB1B1B3 …
BnA,书写的模式是:为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真。这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。
4.反证法有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法。
5.换元法换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法:多用于条件不等式的证明,当所给条件较复杂,一个变量不易用另一个变量表示,这时可考虑三角代换,将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题,实施的三角代换方法有:①若x2+y2=1,可设x=cosθ,y=sinθ;②若x2+y2≤1,可设x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1);③对于含有的不等式,由于|x|≤1,可设x=cosθ;④若x+y+z=xyz,由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知,可设x=taaA,y=tanB,z=tanC,其中A+B+C=π。(2)增量换元法:在对称式(任意交换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式,考虑用增量法进行换元,其目的是通过换元达到减元,使问题化难为易,化繁为简。如a+b=1,可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t进行换元。
6.放缩法放缩法是要证明不等式A
二、难点突破
1.在用商值比较法证明不等式时,要注意分母的正、负号,以确定不等号的方向。
2.分析法与综合法是对立统一的两个方面,前者执果索因,利于思考,因为它方向明确,思路自然,易于掌握;后者是由因导果,宜于表述,因为它条理清晰,形式简洁,适合人们的思维习惯。但是,用分析法探求证明不等式,只是一种重要的探求方式,而不是一种好的书写形式,因为它叙述较繁,如果把“只需证明”等字眼不写,就成了错误。而用综合法书写的形式,它掩盖了分析、探索的过程。因而证明不等式时,分析法、综合法常常是不能分离的。如果使用综合法证明不等式,难以入手时常用分析法探索证题的途径,之后用综合法形式写出它的证明过程,以适应人们习惯的思维规律。还有的不等式证明难度较大,需一边分析,一边综合,实现两头往中间靠以达到证题的目的。这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点。
3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”,也没有必要要求“步步可逆”,因为这时仅需寻找充分条件,而不是充要条件。如果非要“步步可逆”,则限制了分析法解决问题的范围,使得分析法只能使用于证明等价命题了。用分析法证明问题时,一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语。
4.反证法证明不等式时,必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾。
5.在三角换元中,由于已知条件的限制作用,可能对引入的角有一定的限制,应引起高度重视,否则可能会出现错误的结果。这是换元法的重点,也是难点,且要注意整体思想的应用。
6.运用放缩法证明不等式时要把握好“放缩”的尺度,即要恰当、适度,否则将达不到预期的目的,或得出错误的结论。另外,是分组分别放缩还是单个对应放缩,是部分放缩还是整体放缩,都要根据不等式的结构特点掌握清楚。
1、比较法(作差法)
在比较两个实数 和 的大小时,可借助
的符号来判断。步骤一般为:作差——变形——判断(正号、负号、零)。变形时常用的方法有:配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。
2、分析法(逆推法)
从要证明的结论出发,一步一步地推导,最后达到命题的已知条件(可明显成立的不等式、已知不等式等),其每一步的推导过程都必须可逆。
3、综合法
证题时,从已知条件入手,经过逐步的逻辑推导,运用已知的定义、定理、公式等,最终达到要证结论,这是一种常用的方法。
例3、已知: , 同号,求证: 。
证明:因为 , 同号,所以 , ,则 ,即 。
4、作商法(作比法)
在证题时,一般在 , 均为正数时,借助 或 来判断其大小,步骤一般为:作商——变形——判断(大于1或小于1)。
5、反证法
先假设要证明的结论不对,由此经过合理的逻辑推导得出矛盾,从而否定假设,导出结论的正确性,达到证题的目的。
6、迭合法(降元法)
把所要证明的结论先分解为几个较简单部分,分别证明其各部分成立,再利用同向不等式相加或相乘的性质,使原不等式获证。
7、放缩法(增减法、加强不等式法)
在证题过程中,根据不等式的传递性,常采用舍去一些正项(或负项)而使不等式的各项之和变小(或变大),或把和(或积)里的各项换以较大(或较小)的数,或在分式中扩大(或缩小)分式中的分子(或分母),从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当,不要过头。常用方法为:改变分子(分母)放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。
8、数学归纳法
对于含有 的不等式,当 取第一个值时不等式成立,如果使不等式在 时成立的假设下,还能证明不等式在 时也成立,那么肯定这个不等式对
取第一个值以后的自然数都能成立。
9、换元法
在证题过程中,以变量代换的方法,选择适当的辅助未知数,使问题的证明达到简化。
10、三角代换法
借助三角变换,在证题中可使某些问题变易。
高一数学要从掌握好基本知识点开始,并且要及时做好归纳总结。以下是百文网小编为您整理的关于高中数学基本不等式知识点的相关资料,供您阅读。
1.不等式性质比较大小方法:
(1)作差比较法(2)作商比较法
不等式的基本性质
①对称性:a > bb > a
②传递性: a > b, b > ca > c
③可加性: a > b a + c > b + c
④可积性: a > b, c > 0ac > bc
⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d
⑥乘法法则:a > b > 0, c > d > 0 ac > bd
⑦乘方法则:a > b > 0, an > bn (n∈N)
⑧开方法则:a > b > 0
2.算术平均数与几何平均数定理:
(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)
(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广:
如果为实数,则重要结论
(1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;
(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,和xy有最大值S2/4。
3.证明不等式的常用方法:
比较法:比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式,则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小,
则选择作商比较法;碰到绝对值或根式,我们还可以考虑作平方差。
综合法:从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。
分析法:不等式两边的联系不够清楚,通过寻找不等式成立的充分条件,逐步将欲证的不等式转化,直到寻找到易证或已知成立的结论。
4.不等式的解法
(1) 不等式的有关概念同解不等式:两个不等式如果解集相同,那么这两个不等式叫做同解不等式。同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形叫做同解变形。提问:请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形去分母、去括号、移项、合并同类项
(2) 不等式ax > b的解法①当a>0时不等式的解集是{x|x>b/a};②当a<0时不等式的解集是{x|x
(3) 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系
(4)绝对值不等式|x|0)的解集是{x|-aa(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a},几何表示为:o o-a 0 a小结:解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号(整体思想,分类讨论)转化为不含绝对值的不等式,
通常有下列三种解题思路:
(1)定义法:利用绝对值的意义,通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;
(2)公式法:| f(x) | > a f(x) > a或f(x) < -a;| f(x) | < a -a
(3)平方法:| f(x) | > a(a>0) f2(x) > a2;| f(x) | < a(a>0) f2(x) < a2;
(4)几何意义
(5)分式不等式的解法
(6)一元高次不等式的解法数轴标根法把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正),然后分解因式,再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来,从右边入手画线,最后根据曲线写出不等式的解。
(7)含有绝对值的不等式定理:|a| - |b|≤|a+b|≤|a| + |b|? |a| - |b|≤|a+b|中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立? |a+b|≤|a| + |b|中当且仅当ab≥0等号成立推论1:|a1 + a2 + a3| ≤|a1 | +| a2 | + | a3|推广:|a1 + a2 +...+ an| ≤|a1 | +| a2 | +...+ | an|推论2:|a| - |b|≤|a-b|≤|a| + |b|