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学习方法介绍之初中数学解题技巧整理,极客数学帮整理了初中数学的几大解题技巧,帮助同学们在练习过程中更好更快的完成练习。这样长期练习解题技巧,在考试中节能节省一定的时间。下面是小编为大家整理的关于初中数学解题技巧,希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习!
1、因式分解法
因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式,是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
2、配方法
通过把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题的方法,叫配方法。配方法用的最多的是配成完全平方式,它是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
3、构造法
在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解题的数学方法,我们称为构造法。运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透,有利于问题的解决。
4、换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。
5、待定系数法
在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,而后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
6、面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理,不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法,称为面积方法,它是几何中的一种常用方法。用归纳法或分析法证明平面几何题,其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来,通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题,几何元素之间关系变成数量之间的关系,只需要计算,有时可以不添置补助线,即使需要添置辅助线,也很容易考虑到。
7、判别式法与韦达定理
一元二次方程ax2bxc=0(a、b、c属于R,a≠0)根的判别,△=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程(组),解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用。
8、反证法
反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
9、几何变换法在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易。另一方面,也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来,有利于对图形本质的认识。几何变换包括:(1)平移;(2)旋转;(3)对称。
要学好数学,学会解题是关键。在进行解题的过程中,不仅需要加强必要的训练,其还要掌握一定的解题规律与技巧。下面就是小编给大家带来的初中数学考试常用解题技巧,希望大家喜欢!
初中数学虽然是基础数学,但是这并不意味着就没有难度,特别是在素质教育下,从培养学生综合素质能力的角度出发,初中数学越来越重视数学思维的培养,因此在很多数学问题的设置上,都进行了相当难度的调整,使得数学问题显得较为繁杂,单一的思维或者解题方式,在有些题目面前会显得较为艰难。如有些数学问题是在一定的范围内研究它的性质,如果从所有的值去逐一考虑,那么问题将不胜其烦甚至陷入困境。在这种情况下,避开常规解法,跳出既定数学思维,就成了解题的关键。
例2:分解因式:x2+2xy-8y2+2x+14y-3。
思路分析:本题是二元多项式,从常规思路进行解题也未尝不可,但是从锻炼学生思维能力的角度出发,教师可以在立足常规解法的基础上,引导学生进行其他方面解题思路的探索。如从巧取特值的角度出发,把其中的一个未知数设为0,则可以暂时隐去这个未知数,而就另一个未知数的式子来分解因式,达到化二元为一元的目的。
解:令y=0,得x2+2x-3=(x+3)(x-1);令x=0,得:-8y2+14y-3=(-2y+3)(4y-1)。可知,1×4+(-2)×1正好等于原式中xy项的系数。因此,综合起来有:x2+2xy-8y2+2x+14y-3=(x-2y+3)(x+4y-1)。
其实,用特殊值法,也叫取零法。这种方法在因式分解中可以发挥很大的作用,帮助学生找到其他的解题思路。一般来说其步骤是:A.把多项式中的一个字母设为0所得的结果分解因式,B.把多项中的另一个字母设为0所得的结果分解因式,C.把上两步分解的结果综合起来,得出原多项式的分解结果。但要注意:两次分解的一次因式的常数项必须相等。否则,在综合这两步的结果时就无所适从了。
在解答数学方程题之前,中考的考生要了解方程的概念,还要做好方程题型的复习工作,复习好了才能在考试中拿到高分。下面就让小编给大家分享初中数学方程题的解题技巧吧,希望能对你有帮助!
含有未知数的等式叫做方程。在一个方程中,只含有一个未知数x(元),并且未知数的指数是1(次),这样的方程叫做一元一次方程,其标准形式为。使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。含有两个未知数,并且所含未知数的的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组。只含有一个未知数的整式方程,并且未知数最高次数是2的方程叫做一元二次方程,其一般形式为。
可化为一元二次方程的方程
1.分式方程
⑴定义
⑵基本思想:
⑶基本解法:①去分母法②换元法(如,)
⑷验根及方法
2.无理方程
⑴定义
⑵基本思想:
⑶基本解法:①乘方法(注意技巧!!)②换元法(例,)⑷验根及方法
3.简单的二元二次方程组
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。
排列组合问题一直是高考数学常考内容。但此类问题不仅具有内容抽象、解法灵活等特点,更因在解题过程极易出现“重复”或“遗漏”等错误。导致排列组合问题成为很多考生失分的 “重灾区”。下面是小编为大家整理的关于高考数学排列组合问题解题技巧,希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习!
有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.
(1)选其中5人排成一排;
(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;
(3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;
(4)全体排成一排,女生必须站在一起;
(5)全体排成一排,男生互不相邻;
(6)全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有3人;
(7)全体排成一排,甲必须排在乙前面;
(8)全部排成一排,甲不排在左端,乙不排在右端.
解析:(1)从7个人中选5个人来排,是排列.有A75=7×6×5×4×3=2 520(种).
(2)分两步完成,先选3人排在前排,有A73种方法,余下4人排在后排,有A44种方法,故共有A73·A44=5 040(种).事实上,本小题即为7人排成一排的全排列,无任何限制条件.
(3)(优先法)
方法一:甲为特殊元素,先排甲,有5种方法;其余6人有A66种方法,故共有5×A66=3600种;
方法二:排头与排尾为特殊位置,排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列,有A62种方法,中间5个位置由余下4人和甲进行全排列,有A55种方法,共有A62×A55=3600种。
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体,与3名男生在一起进行全排列,有A44种方法,再将4名女生进行全排列,也有A44种方法,故共有A44×A44=576种.
(5)(插空法)男生不相邻,而女生不作要求,所以应先排女生,有A44种方法,再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生,有A53种方法,
故共有A44×A53=1 440种.
(6)(捆绑法)把甲、乙及中间3人看作一个整体,第一步先排甲乙两人,有A22种方法;第二步从余下5人中选3人排在甲乙中间,有A53种;第三步把这个整体与余下2人进行全排列,有A33种方法.故共有A22·A53·A33=720种.
(7)(消序法)A77/2=2 520.
(8)(间接法)A77-2A66+A55=3 720.
位置分析法:分甲在排尾与不在排尾两类.
常见的求解排列组合题的主要方法有以下这么几种:
插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法。即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。
捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列。
转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题,可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解。
剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法。
对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一。在求解中只要求出全体,就可以得到所求。
排异法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排除。
选择题是技巧性较强的一类题目,选择题题目小,题型构思精巧,形式灵活,覆盖面大,可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能,从而增大了试卷的容量和知识覆盖面.要想迅速、正确地解选择题,除了要有准确的计算、严密的推理外,还要有解选择题方法与技巧.下面就是小编给大家带来的初中数学选择题的解题技巧,希望大家喜欢!
要求某个函数关系式,可先假设待定系数,再根据题意列出方程(组),通过解方程(组),求得待定系数,再确定函数关系式,该方法叫待定系数法.
例6:如图,在平面直角坐标系中,点A(2,m)在第一象限,若点A关于x轴的对称点B在直线y=-x+1上,则m的值为(?摇?摇)
A.-1?摇?摇B.1?摇?摇C.2?摇?摇D.3
解:根据关于x轴的对称点的坐标特点可得B(2,-m),再把B点坐标代入y=-x+1可得m的值.
数学之所以有高声誉,另一个理由就是数学使得自然科学实现定理化,给予自然科学某种程度的可靠性。下面是小编为大家带来的初中数学解题技巧,欢迎各位阅读和借鉴。
一、答题原则
大家拿到试卷后,先看是本科考试的试卷,再检查试卷页码是否齐全,检查试卷是否有损坏或漏印、重印、字迹模糊等情况。如发现问题,应及时向监考人员报告。
在回答问题时,一般遵循以下原则:
1.从前向后,先易后难。2.规范答题,分分计较。3.得分优先、随机应变。4.填充实地,不留空白。5.观点正确,理性答卷。6.字迹清晰,合理规划。
二、审题要点
1. 考试前浏览。
考试开始前5分钟发卷,大家用发卷开始答题这个有限的时间,通过之前的答题浏览对整个卷有大致的了解,初步估计试卷难度和时间分配,据此将答题顺序统筹,做到知悉。
现在考生应该实现“支持或耻辱不惊”,也就是说,当看到一个似曾相识的问题,心里不希望偷偷高兴,而且应该提醒自己,“这个问题时不能光做敌人,小心什么陷阱,可能这个称号,只是类似,有点听不清的变化会导致一个答案是不同的”。
遇到一个从未见过,突然没有思路的问题时,不要烦恼,相反,这个时候应该是快乐的,“我没有做过,没有别人做过。”这是我的机会。总是提醒自己:我容易得人容易,我不粗心;我不怕困难。
2.答题过程中的仔细审题。
这是关键的一步,要求不遗漏问题,看清问题,弄清问题的含义,理解问题给出的条件和要求回答的问题。
不同类型的问题,调查能力不同,用不同的方法和策略来解决问题,评分方法也不同,对于不同类型的问题,关注点也不同。
三、时间分配
近年来,随着数学问题的应用越来越多,阅读量逐渐增加,科学利用时间,是现场的一项重要内容。分配答题时间的基本原则是确保在能得分的地方不失分,不轻易得分的地方争取得分。
在头脑中应该有“记分时间比”的概念,花10分钟做12分中间的大题无疑比10分钟攻克4分中间的题更有价值。
立体几何是初中数学中的重要内容,也是学习的难点,而且在中考中立体几何属于必考点,通常在一个题目中会包含多个立体几何的考查点,掌握立体几何解题技巧至关重要。那么接下来给大家分享一些关于初中数学几何题解题技巧,希望对大家有所帮助。
1.三角形问题添加辅助线方法
方法1:有关三角形中线的题目,常将中线加倍。含有中点的题目,常常利用三角形的中位线,通过这种方法,把要证的结论恰当的转移,很容易地解决了问题。 方法2:含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质和题中的条件,构造出全等三角形,从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3:结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形,或利用关于平分线段的一些定理。
方法4:结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法,所谓截长法就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分等于
第一条线段,而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下:
(1)连对角线或平移对角线:
(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形
(3)连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线
(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形。
(5)过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等.
3.梯形中常用辅助线的添法
梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合,通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁,梯形中常用到的辅助线有:
(1)在梯形内部平移一腰。
(2)梯形外平移一腰
(3)梯形内平移两腰
(4)延长两腰
(5)过梯形上底的两端点向下底作高
(6)平移对角线
(7)连接梯形一顶点及一腰的中点。
(8)过一腰的中点作另一腰的平行线。
(9)作中位线
当然在梯形的有关证明和计算中,添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁,将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决,这是解决问题的关键。
4.圆中常用辅助线的添法
在平面几何中,解决与圆有关的问题时,常常需要添加适当的辅助线,架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易,顺其自然地得到解决,因此,灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法,对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
(1)见弦作弦心距
有关弦的问题,常作其弦心距(有时还须作出相应的半径),通过垂径平分定理,来沟通题设与结论间的联系。
(2)见直径作圆周角
在题目中若已知圆的直径,一般是作直径所对的圆周角,利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。
(3)见切线作半径
命题的条件中含有圆的切线,往往是连结过切点的半径,利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。
(4)两圆相切作公切线
对两圆相切的问题,一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线,通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。
(5)两圆相交作公共弦
对两圆相交的问题,通常是作出公共弦,通过公共弦既可把两圆的弦联系起来,又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。
中考数学命题除了着重考查基础知识外,还十分重视对数学方法的考查,如配方法,待定系数法、判别式法等操作性较强的数学方法。那么接下来给大家分享一些关于初中数学解题技巧,希望对大家有所帮助。
(1)直接推演法:直接从命题给出的条件出发,运用概念、公式、定理等进行推理或运算,得出结论,选择正确答案,这就是传统的解题方法,这种解法叫直接推演法。
(2)验证法:由题设找出合适的验证条件,再通过验证,找出正确答案,亦可将供选择的答案代入条件中去验证,找出正确答案,此法称为验证法(也称代入法)。当遇到定量命题时,常用此法。
(3)特殊元素法:用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中去,从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。
(4)排除、筛选法:对于正确答案有且只有一个的选择题,根据数学知识或推理、演算,把不正确的结论排除,余下的结论再经筛选,从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。
(5)图解法:借助于符合题设条件的图形或图像的性质、特点来判断,作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。
(6)分析法:直接通过对选择题的条件和结论,作详尽的分析、归纳和判断,从而选出正确的结果,称为分析法。
相遇问题是指两个物体从两地出发,相向而行,经过一段时间,必然会在途中相遇,这类题型就把它称为相遇问题。相遇问题是研究速度,时间和路程三者数量之间的关系。今天小编给大家讲讲小学数学相遇问题解题技巧指导。
要想解决这类问题,关键是要理清楚其中路程、不同速度以及时间之间的关系。光看题目同学们可能觉得会很抽象,可以画一条线段图来全面考虑运动物体的个数、运动的方向、出发的地点以及运动的路线形式等。
下面的关系式必须牢记:
(1)速度和×相遇时间=相遇路程
(2)相遇路程÷速度和=相遇时间
(3)相遇路程÷相遇时间=速度和
速度和:两人或两车速度的和;
相遇时间:两人或两车同时开出到相遇所用的时间。
【经典习题1】:两列火车同时从两地相对开出,甲列火车每小时行86千米,乙列火车每小时行102千米,经过5小时两车在途中相遇,求两地相距多少千米?
【经典习题2】:甲、乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行,甲每小时走6千米,经过2小时后两人相遇,问乙每小时行多少千米?
【经典习题3】:王明和妹妹两人从相距2000米的两地相向而行,王明每分钟行110米,妹妹每分钟行90米,如果一只狗与王明同时同向而行,每分钟行500米,遇到妹妹后,立即回头向王明跑去,遇到王明再向妹妹跑去,这样不断来回,直到王明和妹妹相遇为止。狗共行了多少米?
【经典习题4】:甲每小时行7千米,乙每小时行5千米,两人由相隔18千米的两地相背而行,几小时后两人相隔54千米?
【经典习题5】:甲乙两艘舰由相距418千米的两个港口同时相对开出,甲舰每小时行36千米,乙舰每小时行34千米,开出1小时候,甲舰因有紧急任务返回原港,又立即起航与乙舰继续相对开出,经过多少小时两舰相遇?
【经典习题6】:甲地到乙地快车每小时行32千米,慢车每小时行18千米,如果两车同时从甲乙两地相对开出,可在距中点35千米的地方相遇,甲乙两地相距是多少千米?
『经典习题解析』
【经典习题1】:两列火车同时从两地相对开出,甲列火车每小时行86千米,乙列火车每小时行102千米,经过5小时两车在途中相遇,求两地相距多少千米?
(86+102)×5=940千米或者86×5+102×5=940千米
【经典习题2】:甲、乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行,甲每小时走6千米,经过2小时后两人相遇,问乙每小时行多少千米?
20÷2-6=4千米或者(20-6×2)÷2=4千米
【经典习题3】:王明和妹妹两人从相距2000米的两地相向而行,王明每分钟行110米,妹妹每分钟行90米,如果一只狗与王明同时同向而行,每分钟行500米,遇到妹妹后,立即回头向王明跑去,遇到王明再向妹妹跑去,这样不断来回,直到王明和妹妹相遇为止。狗共行了多少米?
要求狗跑的路程,必须知道狗的速度和狗跑的时间,狗的速度是每分钟500米,狗的时间其实就是王明和妹妹相遇的时间。
相遇时间/狗跑的时间:2000÷(110+9=)=10(分钟)
狗跑的路程:500×10=5000(米)
【经典习题4】:甲每小时行7千米,乙每小时行5千米,两人由相隔18千米的两地相背而行,几小时后两人相隔54千米?
其实两人真正相隔的是(54-18)千米
(54-18)÷(7+5)=3小时
【经典习题5】:甲乙两艘舰由相距418千米的两个港口同时相对开出,甲舰每小时行36千米,乙舰每小时行34千米,开出1小时候,甲舰因有紧急任务返回原港,又立即起航与乙舰继续相对开出,经过多少小时两舰相遇?
其实两艘军舰行驶的总距离是(418+36×2)千米
(418+36×2)÷(36+34)=7小时
【经典习题6】:甲地到乙地快车每小时行32千米,慢车每小时行18千米,如果两车同时从甲乙两地相对开出,可在距中点35千米的地方相遇,甲乙两地相距是多少千米??
35×2÷(32-18)=5小时——相遇时间
(32+18)×5=250千米——甲乙距离
【能力培养训练——内化能力】
1、甲乙两列火车分别从A、B两地同时出发相向而行,甲车每小时行驶75千米,乙车每小时行驶69千米,经过18小时两车途中相遇,两地间的铁路长多少千米?
2、甲乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发相向而行,已知甲车从A城到B城需要6小时,乙车从B城到A城需要12小时,两车出发后几小时相遇?
3、甲乙两列火车同时从相距700千米的两地开出,甲车每小时行75千米,经过5小时相遇,乙车每小时行多少千米?
4、甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行。一个同学骑自行车以每小时14千米的速度在两队之间不停地往返联络。甲队每小时行5千米,乙队每小时行4千米,两队相遇时,骑自行车的同学共行多少千米?
5、东西两镇相距20千米,甲乙两人分别从两镇同时出发相背而行,甲每小时行的路程是乙的2倍,3小时后两人相距56千米,两人的速度各是多少?
6、甲乙两辆汽车同时从东西两地相向出发,甲车每小时行48千米,乙车每小时行54千米,两车在离中点36千米的地方相遇,求东西两地间的路程是多少千米?
7、两辆汽车同时从甲城出发,相背而行,快车每小时行43千米,慢车每小时行37千米,经过16小时,它们相距多少千米?
【能力培养训练——内化能力】答案
1、甲乙两列火车分别从A、B两地同时出发相向而行,甲车每小时行驶75千米,乙车每小时行驶69千米,经过18小时两车途中相遇,两地间的铁路长多少千米?
(75+69)×18=2592千米
2、甲乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发相向而行,已知甲车从A城到B城需要6小时,乙车从B城到A城需要12小时,两车出发后几小时相遇?
480÷6=80千米480÷12=40千米
480÷(80+40)=4小时
3、甲乙两列火车同时从相距700千米的两地开出,甲车每小时行75千米,经过5小时相遇,乙车每小时行多少千米?
700÷5-75=65千米
4、甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行。一个同学骑自行车以每小时14千米的速度在两队之间不停地往返联络。甲队每小时行5千米,乙队每小时行4千米,两队相遇时,骑自行车的同学共行多少千米?
18÷(5+4)=2小时2×14=28千米
5、东西两镇相距20千米,甲乙两人分别从两镇同时出发相背而行,甲每小时行的路程是乙的2倍,3小时后两人相距56千米,两人的速度各是多少?
56-20=36千米36÷3=12千米12÷(2+1)=4千米
12-4=8千米
6、甲乙两辆汽车同时从东西两地相向出发,甲车每小时行48千米,乙车每小时行54千米,两车在离中点36千米的地方相遇,求东西两地间的路程是多少千米?
甲车其实比乙车多开了36×2=72千米,这是由于两车速度之差造成的。
36×2÷(54-48)=12小时(54+48)×12=1224千米
7、两辆汽车同时从甲城出发,相背而行,快车每小时行43千米,慢车每小时行37千米,经过16小时,它们相距多少千米?
(43+37)×16=1280千米
初中数学教学中二次函数问题是综合性最强的教学内容,高度融合代数、几何的主要内容。下面是小编为大家整理的关于初中数学二次函数解题技巧,希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习!
运用平行线造就同底等高的三角形等积
问题3如图3点A坐标(2,4),直线x=2交x轴于点B,抛物线y=x2从点O沿OA方向平移,交x=2于点P,顶点M(m,n)到达A点时停止移动.当m为何值时,线段PB最短?此时相应的抛物线上是否存在点Q,使△QMA的面积与△PMA的面积相等,若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
此题中第一问可以先由A点坐标和坐标原点求出直线OA的解析式,进而用m表示出n,进而求出抛物线y=x2平移到M点后的新坐标式,再令新坐标式中x=2,求出P点纵坐标的表达式(含有m),视为m的函数,m∈[0,2]时,求出何时PB最短;难点是在第二问,在解决第二问之前,必须定性判断出若Q点存在,那么如何首先以几何方式寻找出Q点的位置,并根据几何特征采用相应的推理或计算步骤?如图示,可以将直线PA左右平移,假设平移后与抛物线的交点为D且D、M与直线x=2水平距离相等,那么△DAP与△MAP同底(底为AP)等高,必然等积,所以D点即所求之一;同理,可以将直线AM平移,设平移后与抛物线交于E且E点与P点到AM等距,则△EAM与△PAM同底等高(底为AM)等积,E点也为所求;又或同理,可以将直线MP平移,设平移后与抛物线交于F且F点与A点到AM等距,则F点还为所求.一旦寻求到解决的思路,则问题迎刃而解.
充分运用双曲线上的动点及其在坐标轴上的投影、坐标原点三点组成的三角形定积
双曲线与二次函数结合的问题在近年中考中屡见不鲜,充分运用双曲线y=(a>0)上的动点及其在坐标轴上的投影、坐标原点三点组成的三角形定积,这个定积就是双曲线对应的反比例函数解析式中的定值的一半,在一些问题中成为解决难点的关键.
已知抛物线y=ax2+b与双曲线交于C点,连接CO,动点P从O点出发,沿OA向A点移动,作PM交抛物线的对称轴于M点,已知△OMP的面积S与P点的坐标x关系为S=4x2,当△OMP与△OMC全等时,S=16,且此时DM为OD的,试求抛物线的解析式.
数学教师在教学过程中在注重提高孩子们数学学习兴趣的同时,更要注重孩子自信心的培养。下面是小编为大家整理的关于应用题是初中数学重点解题技巧,希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习!
用倒推法解应用题
从应用题的问题开始,一步一步倒着推理,直至解决问题,这种方法称为倒推法,也叫分析法。倒推思路的思维过程是:从应用题的所求问题出发,找出解答这个问题的两个必要条件,哪个是已知的,哪个是未知的。对于未知条件,把它作为问题,再找解决它的两个条件,这样不断推究下去,直到所需要的条件都是题目中已知条件为止,这时问题也就解决了。
用变更法诱导解题思路
对应用题中的条件、结论或问题的叙述方式做些变更,也就是换另一种说法来说明题意,往往能使原问题化繁为简,化难为易,从另一个方面诱导出解题思路。例如,一辆客车从甲地到乙地需行12小时,一辆货车从乙地到甲地需行15小时,现在两车同时相向而行,途中货车因故停留3小时,货车出发后几小时与客车相遇?分析这道题时,引导学生把题中的“货车停留3小时”变更为“客车先出发3小时”,也就是客车行了全程的1/12×3=1/4时,货车才出发,这道题的解题思路就一目了然了。
用类比法启发解题思路
从要解决的问题联想到与它类似的一个熟悉的问题,用熟悉问题的解题思路,解决所要解决的问题。例如,客车两车从两站相对开出18/5小时后,在途中相遇,客车行全程要6小时,货车行全程要几小时?这道题粗看一下,像相遇问题,但仔细分析,会发现此题既不知两站之间的距离,又不知客车的速度,如果用相遇问题的方法来解答,则显然是行不通的。但是如果引导学生换一个角度去看看,则不难发现它与所学过的工程问题类似。
指导学生进行有效的阅读
教学中会常遇到这样的情形:练习时有一部分学生迟迟不动笔,听老师读过题目后其中部分学生就开始写了。究其原因是学生不会读题,尤其遇到文字叙述较多的题目时更是这样。
初中数学相较于小学数学而言,其教学内容的变化较大,除了一般的四则运算之外,还融入了几何、方程、函数等综合性较强的知识。下面小编给大家整理了关于初中数学常用的解题小技巧,欢迎大家阅读!
认真分析问题,找解题准切入点
由于数学问题纷繁复杂,学生容易受定势思维的影响,这样就会响解题思路造成很大的影响。例如:AB=DC,AC=DB。求证:∠A=∠D。
此题是一道比较经典的证明全等的题型,主要是对学生对已知条件整合能力和观察识图能力的锻炼。然而,从图形的直观角度来证明∠AOC=∠DOB,这样的思路只会落入题目所设下的陷阱。
发挥想象力,借助面积出奇制胜
面积问题是数学中常出现的问题,在面积定义及相关规律中,蕴含着深刻的数学思想,如果学生能充分了解其中的韵味,能够熟练的掌握其中的数学论证思维,就有可能在其他数学问题中借助面积,出奇制胜顺利实现解题。
巧取特殊值,以简代繁
初中数学虽然是基础数学,但是这并不意味着就没有难度,特别是在素质教育下,从培养学生综合素质能力的角度出发,初中数学越来越重视数学思维的培养,因此在很多数学问题的设置上,都进行了相当难度的调整,使得数学问题显得较为繁杂,单一的思维或者解题方式,在有些题目面前会显得较为艰难。如有些数学问题是在一定的范围内研究它的性质,如果从所有的值去逐一考虑,那么问题将不胜其烦甚至陷入困境。在这种情况下,避开常规解法,跳出既定数学思维,就成了解题的关键。
巧妙转换,过渡求解法
在解数学题时,即要对已知的条件进行全面分析,还要善于将题目中的隐性条件挖掘出来,将数学中各知识之间的联系巧妙的运用起来,用全面、全新的视角来解决问题。
从要解决的问题联想到与它类似的一个熟悉的问题,用熟悉问题的解题思路,解决所要解决的问题。下面小编给大家整理了关于应用题是初中数学重点解题技巧,希望对你有帮助!
用倒推法解应用题
从应用题的问题开始,一步一步倒着推理,直至解决问题,这种方法称为倒推法,也叫分析法。倒推思路的思维过程是:从应用题的所求问题出发,找出解答这个问题的两个必要条件,哪个是已知的,哪个是未知的。对于未知条件,把它作为问题,再找解决它的两个条件,这样不断推究下去,直到所需要的条件都是题目中已知条件为止,这时问题也就解决了。
用变更法诱导解题思路
对应用题中的条件、结论或问题的叙述方式做些变更,也就是换另一种说法来说明题意,往往能使原问题化繁为简,化难为易,从另一个方面诱导出解题思路。例如,一辆客车从甲地到乙地需行12小时,一辆货车从乙地到甲地需行15小时,现在两车同时相向而行,途中货车因故停留3小时,货车出发后几小时与客车相遇?分析这道题时,引导学生把题中的“货车停留3小时”变更为“客车先出发3小时”,也就是客车行了全程的1/12×3=1/4时,货车才出发,这道题的解题思路就一目了然了。
用类比法启发解题思路
从要解决的问题联想到与它类似的一个熟悉的问题,用熟悉问题的解题思路,解决所要解决的问题。例如,客车两车从两站相对开出18/5小时后,在途中相遇,客车行全程要6小时,货车行全程要几小时?这道题粗看一下,像相遇问题,但仔细分析,会发现此题既不知两站之间的距离,又不知客车的速度,如果用相遇问题的方法来解答,则显然是行不通的。但是如果引导学生换一个角度去看看,则不难发现它与所学过的工程问题类似。
指导学生进行有效的阅读
教学中会常遇到这样的情形:练习时有一部分学生迟迟不动笔,听老师读过题目后其中部分学生就开始写了。究其原因是学生不会读题,尤其遇到文字叙述较多的题目时更是这样。
数学知识原本就是生活知识的积累,是一种科学化、理论化的知识体系,而对于数学知识的学习目的,其实也是为了更好的指导实践,下面是小编整理分享的初中数学教学怎样设计探究问题,欢迎阅读与借鉴,希望对你们有帮助!
教师要加强生活化内容的引入提升课堂的生活化特色
数学知识原本就是生活知识的积累,是一种科学化、理论化的知识体系,而对于数学知识的学习目的,其实也是为了更好的指导实践,提升生活质量、提高办事效率,从某种意义上来讲,生活与数学是不可分割的,是一个有机的统一体。所以在教学的过程中,笔者就特别重视数学知识的生活化,同时也会加强课堂教学中生活素材的引入,让学生对于数学知识的学习变成对于生活问题的解决,让他们有目的、有兴致的进行数学知识的学习。比如学校组织300名同学外出旅游,大客车能装32人,每辆车要200元,小客车能装22人,每辆车要180元,问该选多少辆大客车、多少辆小客车最省钱?通过这样的问题就能够使学生将所学习的知识与实际生活联系起来,提升数学知识的生活特征,让数学变得更加“平易近人”。
又比如很多学生想知道学校旗杆的高度,但是又没法测量,在学习相似三角形的时候,笔者就给大家说满足大家的这个愿望,我们来测量下旗杆的高度。很多学生都以为要用皮尺或者要将旗杆放倒,但是在实际操作的过程中,我只带了一把直尺、一根木棍,很多同学都感觉诧异,最终我通过相似三角形的性质以及测量的旗杆影子长度、木棍的影子长度以及木棍的长度,很快便算出了旗杆的高度,这一举措很大程度上激发了学生学习数学的积极性。此后也有不少同学用同样的方法来测量教学楼的高度,测量学校大树的高度,甚至还有同学计划去测量山的高度!通过生活化的素材引入,在激发学生的学习兴趣的同时,也很好的实现了数学知识的具体化、形象化,也便于学生的理解、掌握,同时也对于学生解决生活问题、丰富课外生活提供了很好的帮助,可以说是一举多得。
教师要重视学生的主体地位,提升学生的学习自主性
俗话说“师傅引进门,修行靠个人”,这句话在当前新课改的形势下得到了很好的诠释:新课改确定了学生在课堂上的主体地位,更加注重学生的学习体验以及学习自主性,教师作为课堂的引导者,体现的是教师的引导作用。这就很大程度上的纠正了传统教学中教师单纯的“教”与学生被动的“学”这个误区,使学生真正的成为了课堂学习的主人,促进他们主动学习、主动探究。另外在教学的过程中我们应该认识到,初中时期的学生其学习目的往往不够成熟,很多人对于学习往往没有足够的认识,这就需要教师在教学中不能放手让学生“自由发展”,同时也要加强教师的引导教育。
因为学生的主体地位,更多的是为了让学生参与课堂,让学生自己感知知识的形成过程,让学生体会到学习的兴趣,进而自觉的去学习,创造性的去学习。比如在进行“随机事件与概率”教学时,教师提出问题:随机抛掷一枚硬币,尽管事先不能确定“正面朝上”还是“反面朝上”,但大家很容易猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的,各占一半。那么,大家的这种直觉是否正确呢?然后,教师布置试验任务,引导学生动手实践,合作探究在各组测得的数据后,填写教材上的表格,教师将各组数据记录在黑板上,全班学生对数据进行统计,全班进行总结交流。通过这样的方法,就能够让学生在学习的过程中参与进来,同时通过自身的实践、统计来进行数据的汇总,在全班同学交流、学习的同时真正的实现对于知识点的掌握与了解,这就能够很好的实现教学的目的,同时也能够激发学生的学习兴趣,使他们感受到数学课堂的多姿多彩,进而提升对于数学科目的学习积极性,实现数学教学的有效进行。
初中数学中,几何题目里的图形旋转是最难的题目之一。解答这类题,光靠做题还不行。初中同学最欠缺的是归纳总结,总结解题方法才是做题的主要目的。
1、等边三角形交叉旋转
2、正方形旋转
3、对角互补的四边形旋转
4、等腰直角三角形半角旋转
5、正方形的半角旋转
6、直角三角形交叉型旋转---费马点
7、旋转最值
8、旋转相似
初中数学预习的技巧和方法,在预习中应该注意哪些问题呢?
预习不仅是将课堂上要讲的内容看一看,而是要针对不同的内容布置预习任务,把预习看作是对课堂教学的准备,作为教师就要重视方法的指导。小编整理了相关内容,希望能帮助到您。
1.选择好预习的时间。预习的时间一般要安排在做完当天功课之后的剩余时间,并根据剩余时间的多少,来安排预习时间的长短。如果剩余时间多,可以多预习几科,预习时钻研得深入一些;反之,如果预习的时间较少,则应该把时间用于薄弱学科的预习。
2.带着问题,边思考边读。对于初次阅读没读懂的问题,在第二次阅读时,头脑里始终要带着这个问题,深入思考,仔细钻研教材。这时阅读的速度可以适当放慢一些,遇到困难,可以停下来,翻翻以前学过的内容,或者查阅有关的工具书、参考书,争取依靠自己的努力把难关攻克,把问题解决,把没读懂的地方读懂。对于自己经过努力仍未解决的问题,也不必勉强去解决,这样会花费大多的时间。可以把这个问题记下来,留待课堂上听课时去解决。
3.边预习边做好预习笔记。预习笔记有两种,一种是做在书上,一种是做在笔记本上。在书上做的预习笔记要边读边进行,以在教材上圈点勾划为主。所圈点勾划的应该是教材的要点,以及一些定义、定理、性质及解题方法技巧。同时,也可以在书页的空白处,做眉批,写上自己的看法和体会,写上自己没读懂的问题。在笔记本上做的预习笔记既可以边读边做,也可以在阅读教材后再做整理。整理的内容包括本节课的重点、难点部分的摘抄及心得体会;本节课讲授的几个主要问题是什么,以及它们之间的前后关系、逻辑联系,预习时遇到的疑难点是什么,自己是如何解决的,查阅了哪些参考书或工具书,所查阅的资料中有价值的部分的摘抄及心得体会。
4.预习不能搞千篇一律,要根据不同章节、不同内容的特点抓住预习的重点,选择不同的预习方法。
总之,课前预习是学好数学这门学科必不可少的,数学学习重在发现、探索、创新和应用,要学好数学,就要养成良好的预习习惯。