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二次函数解析式是数学学习当中非常重要的一个章节,也是数学考试的一个必考知识点。下面是小编为大家整理的关于二次函数解析式解题技巧,希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习!
(1)待定系数法:(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等):若已知f(x)的结构时,可设出含参数的表达式,再根据已知条件,列方程或方程组,从而求出待定的参数,求得f(x)的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法,它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
(2)换元法(注意新元的取值范围):已知f(g(x))的表达式,欲求f(x),我们常设t=g(x),从而求得x=(g^(-1))(t),然后代入f(g(x))的表达式,从而得到f(t)的表达式,即为f(x)的表达式。
(3)配凑法(整体代换法):若已知f(g(x))的表达式,欲求f(x)的表达式,用换元法有困难时,(如g(x)不存在反函数)可把g(x)看成一个整体,把右边变为由g(x)组成的式子,再换元求出f(x)的式子。
(4)消元法(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等):若已知以函数为元的方程形式,若能设法构造另一个方程,组成方程组,再解这个方程组,求出函数元,称这个方法为消元法。
(5)赋值法(特殊值代入法):在求某些函数的表达式或求某些函数值时,有时把已知条件中的某些变量赋值,使问题简单明了,从而易于求出函数的表达式。
求函数解析式是中学数学的重要内容,是高考的重要考点之一。极客数学帮给出求函数解析式的基本方法,供广大师生参考。
一、定义法
根据函数的定义求其解析式的方法。
二、换元法
利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围,即f(x)的定义域。
三、方程组法
根据题意,通过建立方程组求函数解析式的方法。
方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点,构造另一个方程。
四、特殊化法
通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。
五、待定系数法
已知函数解析式的类型,可设其解析式的形式,根据已知条件建立关于待定系数的方程,从而求出函数解析式的方法。
六、函数性质法
利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。
七、反函数法
利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。
八、“即时定义”法
给出一个“即时定义”函数,根据这个定义求函数解析式的方法。
九、建模法
根据实际问题建立函数模型的方法。
十、图像法
利用函数的图像求其解析式的方法。
十一、轨迹法
设出函数图像上任一点P(x,y),根据题意建立关于x,y的方程,从而求出函数解析式的方法。
练习题
1、已知二次函数的图象的顶点为(-2,3),且过点(-1,5),求此二次函数的解析式
2、已知二次函数的图象与x轴交于点(-2,0),(4,0),且最值为-4.5,求此二次函数的解析式。 3、已知二次函数f(x)与x轴的两交点为(-2,0),(3,0),且f(0)=-3,求f(x)
4、已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17求f(x)
5、已知二次函数f(x)满足:f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x,求f(x)
6、已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=9x+8,求f(x)
7、已知f(x)=x^2-1,求f(x+x^2)
8、已知函数f(x)满足:f(x)-2f(-x)=3x+2,求f(x)
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1、求方程的解的过程叫做解方程
2、具体步骤如下:
(1)利用等式的性质解一元一次方程,一般是先利用等式性质1,然后再利用等式性质2,将ax=?b变形为x=?ba即可。
(2)移项法则:方程中的任何一项,都可以在改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项,这个法则称为移项法则,移项的根据是等式的基本性质1。
注意:
(1)移项时,不要忘记对移动的项变号,如从3+4x=7得到4x= 7+3,是错误的;
(2)没移项时,不要误以为有移项,如从?5=x,得到x= 5,这样的错误其原因在于对运用用等式的性质与移项的区别没有分清;
(3)去括号的方法:括号外的因数是正数,去括号后各项的符号不变,括号外的因数是负数,去括号后各项符号应变号;
(4)去分母:要去分母,我们首先要找准方程中的各分母,然后再利用等式性质2,在方程两边都乘以各分母的最小公倍数,即可达到去分母的目的。
你的努力,也许有人会讥讽;你的执着,也许不会有人读懂。在别人眼里你也许是小丑,在自己心中你就是国王!尽管别人如何看你,当你就是不能看不起自己。下面就是小编为大家梳理归纳的内容,希望能够帮助到大家。
一、 基本概念
1.方程、方程的解(根)、方程组的解、解方程(组)
2. 分类:
二、 解方程的依据—等式性质
1.a=b←→a+c=b+c
2.a=b←→ac=bc (c≠0)
三、 解法
1.一元一次方程的解法:去分母→去括号→移项→合并同类项→
系数化成1→解。
2. 元一次方程组的解法:⑴基本思想:“消元”⑵方法:①代入法
②加减法
四、 一元二次方程
1.定义及一般形式:
2.解法:⑴直接开平方法(注意特征)
⑵配方法(注意步骤—推倒求根公式)
⑶公式法:
⑷因式分解法(特征:左边=0)
3.根的判别式:
4.根与系数顶的关系:
逆定理:若 ,则以 为根的一元二次方程是: 。
5.常用等式:
五、 可化为一元二次方程的方程
1.分式方程
⑴定义
⑵基本思想:
⑶基本解法:①去分母法②换元法(如, )
⑷验根及方法
2.无理方程
⑴定义
⑵基本思想:
⑶基本解法:①乘方法(注意技巧!!)②换元法(例, )⑷验根及方法
3.简单的二元二次方程组
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。
六、 列方程(组)解应用题
一概述
列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是:
⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元(未知数)。①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。一般地,未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述,列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。在这个过程中,列方程起着承前启后的作用。因此,列方程是解应用题的关键。
二常用的相等关系
1. 行程问题(匀速运动)
基本关系:s=vt
⑴相遇问题(同时出发):
+ = ;
⑵追及问题(同时出发):
若甲出发t小时后,乙才出发,而后在B处追上甲,则
⑶水中航行: ;
2. 配料问题:溶质=溶液×浓度
溶液=溶质+溶剂
3.增长率问题:
4.工程问题:基本关系:工作量=工作效率×工作时间(常把工作量看着单位“1”)。
5.几何问题:常用勾股定理,几何体的面积、体积公式,相似形及有关比例性质等。
函数作为数学基础知识点之一,学习好并且掌握函数是我们学习好数学的基础,下面是小编给大家带来的初中数学函数知识点汇总,希望能够帮助到大家!
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
初中数学,让学生头痛的很大一部分就是三角函数!很多同学对与三角函数中正弦、余弦、正切、余切中的公式容易混淆,接下来小编为大家收集了初中三角函数知识点提纲,供大家参考学习,感谢你的阅读!
1.努力激发学生学习初中数学的兴趣
提高数学成绩的关键之一是培养学生的学习兴趣。在课的开始阶段,教师可以设置一些悬念,把学生的注意力吸引过来。比如,讲解直角三角形的过程中,可这样问学生:“大树、旗杆很高,我们不能直接测量,有什么办法可以测量出它们的高呢?”这可以让学生的思维火花燃烧起来,使他们了解到数学的实用价值。如此,学生就自然对数学学科产生了深厚的学习兴趣。
2.做好记录
对于每个单元的内容的核心知识在《重点本》中做好记录,并且一定要熟记和弄透彻。例如公式定义等还有老师强调的内容。这样便于下次考试的时候检查自己是否真的对于这个内容的知识吃透了。如果有错误或者不会的地方再一次的重复这项工作。直到把所有该把握的知识一个一个的都攻克为止。这样的好处,目标明确,自己可以很清楚的盘点自己的知识。这样的整理,她会感到,知识越学越少,而且思路越来越清晰。
3.发现学习中存在的问题
初中数学学习过程中,要有一个清醒的复习意识,逐渐养成良好的复习习惯,从而逐步学会学习。数学复习是一个反思性学习过程。要反思对所学习的知识、技能有没有达到课程所要求的程度;要反思学习中涉及到了哪些数学思想方法,这些初中数学思想方法是如何运用的,运用过程中有什么特点;要反思基本问题(包括基本图形、图像等),典型问题有没有真正弄懂弄通了,平时碰到的问题中有哪些问题可归结为基本问题;要反思错误,找出产生错误的原因,订出改正的措施。
同学们都知道初中数学中函数占据一个了很重要的比值,很多题目解题都需要运用到二次函数,那么如何学好二次函数也变得尤其重要。今天小编就和大家一起分享初中数学二次函数知识点的总结,希望对大家有所帮助。
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x? ,0)和 B(x?,0)的抛物线]
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为:P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax^2+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,
当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).
3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
(2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.
5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.
高一数学是高考的基础,掌握数学知识点将对高考复习起到重要作用,为方便同学们复习高一数学,下面小编给大家分享一些高中数学二次函数知识点,希望对大家有所帮助。
一、定义与定义式:
自变量x和因变量y有如下关系:
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。
特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。
即:y=kx(k为常数,k≠0)
二、一次函数的性质:
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即:y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)
2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质:
1.作法与图形:通过如下3个步骤
(1)列表;
(2)描点;
(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b.(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k,b与函数图像所在象限:
当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
当b>0时,直线必通过一、二象限;
当b=0时,直线通过原点
当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限
四、确定一次函数的表达式:
已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b.
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b.所以可以列出2个方程:y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
(3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用:
1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt.
2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S.g=S-ft.
六、常用公式:(不全,希望有人补充)
1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点:|x1-x2|/2
3.求与y轴平行线段的中点:|y1-y2|/2
4.求任意线段的长:√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)
初中数学教学中二次函数问题是综合性最强的教学内容,高度融合代数、几何的主要内容。下面是小编为大家整理的关于初中数学二次函数解题技巧,希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习!
运用平行线造就同底等高的三角形等积
问题3如图3点A坐标(2,4),直线x=2交x轴于点B,抛物线y=x2从点O沿OA方向平移,交x=2于点P,顶点M(m,n)到达A点时停止移动.当m为何值时,线段PB最短?此时相应的抛物线上是否存在点Q,使△QMA的面积与△PMA的面积相等,若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
此题中第一问可以先由A点坐标和坐标原点求出直线OA的解析式,进而用m表示出n,进而求出抛物线y=x2平移到M点后的新坐标式,再令新坐标式中x=2,求出P点纵坐标的表达式(含有m),视为m的函数,m∈[0,2]时,求出何时PB最短;难点是在第二问,在解决第二问之前,必须定性判断出若Q点存在,那么如何首先以几何方式寻找出Q点的位置,并根据几何特征采用相应的推理或计算步骤?如图示,可以将直线PA左右平移,假设平移后与抛物线的交点为D且D、M与直线x=2水平距离相等,那么△DAP与△MAP同底(底为AP)等高,必然等积,所以D点即所求之一;同理,可以将直线AM平移,设平移后与抛物线交于E且E点与P点到AM等距,则△EAM与△PAM同底等高(底为AM)等积,E点也为所求;又或同理,可以将直线MP平移,设平移后与抛物线交于F且F点与A点到AM等距,则F点还为所求.一旦寻求到解决的思路,则问题迎刃而解.
充分运用双曲线上的动点及其在坐标轴上的投影、坐标原点三点组成的三角形定积
双曲线与二次函数结合的问题在近年中考中屡见不鲜,充分运用双曲线y=(a>0)上的动点及其在坐标轴上的投影、坐标原点三点组成的三角形定积,这个定积就是双曲线对应的反比例函数解析式中的定值的一半,在一些问题中成为解决难点的关键.
已知抛物线y=ax2+b与双曲线交于C点,连接CO,动点P从O点出发,沿OA向A点移动,作PM交抛物线的对称轴于M点,已知△OMP的面积S与P点的坐标x关系为S=4x2,当△OMP与△OMC全等时,S=16,且此时DM为OD的,试求抛物线的解析式.
众所周知,二次函数的函数式是y = ax2 + bx +c,观察其函数式非常的简单,而与其对应的抛物线图像却比较容易发生变形。下面是小编为大家整理的关于初中数学二次函数解题技巧,希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习!
数形结合
数形结合的方法,就是将数字与图形二者进行相互变换,不仅可以把问题变得更加简单,而且可以把抽象的问题变得更加具体,这种方法在数学的学习过程中经常用到.通过对二次函数的定义以及性质进行学习,我们了解到它的图像是一个抛物线,并且它的图像还具有非常多的特殊性
例如,它具有对称性、单调性等等,我们在对二次函数求解的过程中,可以充分地利用它的图像所具有的这些性质,它不仅可以把复杂的二次函数变得更加的简单,而且可以把二次函数变得更加直观.抛物线具有的对称性是一个非常重要的解题思路.二次函数图像的对称轴一般与y轴平行或者重合;它的另一大特性是连续性,并且与其对应的方程最多只能够有两个实根,因此就会产生一个区间,这可以为我们的解题带来很多方便.在解题的过程中还可以利用二次函数的单调性,这也是经常用到的方法.
代数推理
众所周知,二次函数的函数式是y = ax2 + bx +c,观察其函数式非常的简单,而与其对应的抛物线图像却比较容易发生变形,例如,在其中会有一般式、顶点式以及零点式等等,因此,在解决二次函数问题的过程中,其函数式会得到非常广泛的应用.在二次函数的函数式y = ax2 + bx +c中,具有三个变量a,b,c,在确定这三个变量时一定要给出三个相互独立的条件,有一些时候将所给出的条件全部应用完成之后还不能够得出三个变量的值,这时我们就要使用逆向思维,看给出的条件中是否含有隐含条件,我们不能够被其中的假象迷惑;
我们还应该学会利用二次函数与方程根之间具有的关系,写出它的顶点式,我们可以对二次函数进行假设,对其图像进行描绘;然后使用函数所具有的一些性质对其进行限制,并且在对顶点式进行运用的过程中要非常的灵活.顶点式看着比较复杂,而其中最简单的就是它,在此过程中充分的利用顶点式,最后一定会找到答案.
初中阶段要学三类函数,二次函数显得尤为重要,不仅是中考必考内容,而且是高中函数内容的基础,起着非常重要的作用,二次函数的内容在社会生活的很多领域都有着极其重要的地位,学好二次函数对高中的学习和其他学科的学习都很重要。
命题点 1 、二次函数的图像与系数的关系:
一、根据抛物线的特征确定其它函数的图像:
1、二次函数 y = ax^2 + bx 的图像如图所示,那么一次函数 y = ax + b 的图像大致是 (B)。
2、二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像如图所示,反比例函数 y = a/x 与正比例函数 y = bx 在同一坐标系内的大致图像为 (C)。
3、如图,一次函数 y1 = x 与 二次函数 y2 = ax^2 + bx + c 的图像相交于 P 、 Q 两点,
则函数 y = ax^2 + ( b - 1 )x + c 的图像可能是 (A)。
解析:
二、由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值:
4、二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像如图所示,则下列关系式错误的是 (D)。
A、a < 0 B、b > 0 C、 b^2 - 4ac > 0 D、 a + b + c < 0
5、已知抛物线 y = ax^2 + bx + c 的图像如图所示, 则 ▏a - b + c ▏ + ▏ 2a + b ▏= (D)。
A、a + b B、a - 2b C、 a - b D、 3a
解析:
6、二次函数 y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)的图像如图所示,对称轴是直线 x = 1 ,下列结论:
① ab < 0 ; ② b^2 - 4ac > 0 ; ③ a + b + 2c < 0 ; ④ 3a + c < 0 。其中正确的是 (C)。
A、①④ B、②④ C、 ①②③ D、 ①②③④
三、利用二次函数图像解方程或不等式:
7、已知二次函数 y = ax^2 + bx + c 的部分图像如图所示,若 y < 0 , 则 x 的取值范围是 (B)。
A、-1 < x < 4 B、-1 < x < 3 C、 x < -1 或 x > 4 D、 x < -1 或 x > 3
8、若 y = ax^2 + bx + c 的部分图像如图所示,则关于 x 的方程 ax^2 + bx + c = 0 的另一个解为 (B)。
A、-2 B、-1 C、 0 D、 1
9、如图是二次函数 y1 = ax^2 + bx + c 和 一次函数 y2 = kx + t 的图像,当 y1 ≥ y2 时 ,则 x 的取值范围是多少?
答案: -1 ≤ x ≤ 2 。
命题点2、二次函数与几何图形的综合(压轴题):
一、三角形中的存在性问题:
10、如图,抛物线 y = x^2 - bx + c 交 x 轴于点 A(1,0),交 y 轴于点 B ,对称轴是直线 x = 2 。
(1)求抛物线的解析式;
(2)点 P 是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点 P ,使 △PAB 的周长最小?若存在求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 。
解答过程:
(1)
(2)答 : 存在。
11、如图,已知抛物线 y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)经过 A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点 ,直线 l 是抛物线的对称轴 。
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点 P 是直线 l 上的一个动点,当点 P 到点 A 、点 B 的距离之和最短时,求点 P 的坐标;
(3)点 M 也是直线 l 上的动点,且 △MAC 为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点 M 的坐标 。
解答过程:
(1)
(2)
(3)
初中二次函数是初中阶段数学教学的重点,二次函数是在一次函数和反比函数学习基础上的深化,也是初中学生在为高中阶段的数学学习奠定函数基础。
一、对二次函数定义理解不清
错因分析:忽略二次函数定义中“二次项系数a不等于零”这个条件。当m=2时,二次项系数a=0,应舍去,所以m=-2.
二、未掌握二次函数最值的计算
错因分析:二次函数的最值有多种类型。如果自变量的取值范围是某个闭区间,那么其最值有可能在端点处,也有可能在顶点处。此题中的最值是在顶点处,而不是在端点处。其最小值为0.闭区间上的二次函数的最值有哪些类型?请看下图(以a>0为例)
左端点最大,顶点处最小,
右端点最大,顶点最小
左端点最大,右端点最小
左端点最小,右端点最大
两端最大,顶点处最小
三、二次函数的增减性理解不清
错因分析:二次函数的增减性由抛物线的开口方向,对称轴、点的位置等确定。此题中的对称轴是x=2,所以,A、B两点是在对称轴的两侧。而不是同侧。因此,A、B两点的函数值的大小不能单纯用性质来比较。要综合应用对称性和性质来比较。具体是:根据A(1/2,y1)和对称轴x=2,可得点A的对称点是(7/2,y1),(或将点B对称到左边也可)然后,因为抛物线开口向上,对称轴右侧,y随x的增大而增大,且7/2>5/2,所以y1>y2.见下图:
四、把方程中的“二次项系数化为1”错用到二次函数中
错因分析:解答中的第二步,各项系数扩大了2倍,与原式不再相等!此处只能将二次项系数硬提出来。正确的解答如下:
五、忽略分类讨论
错以分析:此题中点P的位置有两种情况。分别是点P在直线AB的上方和下方。所以此题还有另一种情形,即点P的坐标为(-1,0),对应的解析式是y=1/2(x+1)²。
六、忽略“函数”与“二次函数”的区别
错因分析:此题题干部分说的是“函数”,而不是“二次函数”。所以,此题还有另一种情形,即一次函数的情形,当m=0时,原函数变为一次函数。一次函数同样与x轴有一个公共点。所以,正确答案是m=0或1.
七、题意理解不清
错因分析:此题中的隧道是单行道,我们可以将卡车放置于隧道的中心。此时卡车左右两端的横坐标是-1和1,把x=1或-1代入解析式,求得y=15/4,所以当卡车宽为米时,能通行的最大高度为15/4+2=23/4>5.所以,该卡车能通过!
二次函数是初中数学里很重要的一个知识点,如果可以让学生初步体会二次函数在实际生活中的运用,再次感悟数学源于生活又服务于生活,那学习二次函数就比较容易了。下面是由百文网小编整理的初中数学二次函数教学反思总结,希望对您有用。
“课内比教学”是教育本质的回归,是提高教师专业素质、促进教师专业成长的重要途径。在此次活动中,我主讲的课题是《二次函数的概念》。通过讲课、评课,我收获颇多。
二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的、重要的函数,在历年来的中考中题中都占有较大的分值。二次函数不仅和学生以前学过的一元二次方程有着密切的联系,而且对培养学生“数形结合”的数学思想具有重要作用。而二次函数的概念是以后学习二次函数的基础,在整个教材体系中起着承上启下的作用。
本节课的具体内容是让学生理解二次函数的概念,会判断一个函数是否是二次函数,并能够用二次函数的一般形式解决一些问题。为此,我先带领学生复习了什么是一次函数,然后设计具体的问题情境让学生自己“推导” 出一个二次函数,并观察、总结它与一次函数有什么不同。在此基础上,逐步归纳出二次函数的一般解析式:y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)。最后,通过“一题多练”巩固二次函数的概念并解决一些简单的数学问题。
我个人以为,本节课的成功之处有以下几点。一是在教学设计上“步步为营”、学生的思维能力“层层提高”。 在教学设计上,根据内容的发展,我合理设计了具有针对性的问题,借助学生已有的知识背景展开教学,同时,在解决“老”问题的过程中巧妙地“埋设”新问题,环环相扣、引人入胜,充分激发学生的求知欲、调动学生学习的主动性。
二是在总结中不仅注重对知识的梳理和巩固,而且注重提炼出让学生终生受用的思考方法,使学生的思维水平有所提高。这样不仅提高了学生独立发现问题、解决问题的能力,避免学习落入程式化的窠臼,而且也让学生体验到了成功的快乐。
三是学生的能力得到发展。常言道:尺有所短、寸有所长。不同的学生的个体差异,再加上受教学目的等因素的限制,导致一些学有余力的学生会感到“吃不饱”,久而久之就会失去主动思考、主动探究的兴趣。在本节课的最后,我补充的练习题,对这部分学生开阔视野、提高探究能力,都很有好处。
本节课的不足是,一是细节上还有待完善,比如在二次函数的表示上,强调按自变量的降幂排列进行整理还不够突出;再如,课堂放得很开,但有时在该收回的时候收得不够,等等。在今后的教学中,我会特别注意这些方面的问题。
二次函数是一种常见的函数,应用非常广泛。既然二次函数这么重要,我们怎么学好它呢?以下是百文网小编分享给大家的初中二次函数知识点归纳,希望可以帮到你!
1、按部就班,环环相扣
数学是环环相扣的一门学科,哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。所以,平时学习不应贪快,要一章一章过关,不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题,一定要把每一个环节都学牢。
2、概念记清,基础夯实
千万不要忽视最基本的概念、公理、定理和公式,每新学一个定理或者定义的时候,都要在理解的基础上去深挖每一个字眼,有时候少说一两个字,都可能导致结果的不同。要在刚开始学概念的时候就弄清楚,通过读一读、抄一抄加深印象,特别是容易混淆的概念更要彻底搞清,不留隐患。
3、适当做题,巧做为主
学习数学是不能缺少训练的,平时多做一些难度适中的练习,当然莫要陷入死钻难题的误区,要熟悉中考的题型,训练要做到有的放矢。有的同学埋头题海苦苦挣扎,辅导书做掉一大堆却鲜有提高,这就是陷入了做题的误区。数学需要实践,需要大量做题,但要"埋下头去做题,抬起头来想题",在做题中关注思路、方法、技巧,要"苦做"更要"巧做".考试中时间最宝贵,掌握了好的思路、方法、技巧,不仅解题速度快,而且也不容易犯错。
4、记录错题,避免再犯
俗话说,"一朝被蛇咬,十年怕井绳",可是同学们常会一次又一次地掉入相似甚至相同的"陷阱"里。因此,建议大家在平时的做题中就要及时记录错题,更重要的是还要想一想为什么会错、以后要特别注意哪些地方,这样就能避免不必要的失分。毕竟,中考或者在平时考试当中是"分分必争",一分也失不得。这样 复习时,这个错题本也就成了宝贵的复习资料。
5、集中兵力,攻下弱点
每个人都有自己的"软肋",如果试题中涉及到你的薄弱环节,一定会成为你的最痛。因此一定要通过短时间的专题学习,集中优势兵力,打一场漂亮的歼灭战,避免变成"瘸腿".
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2.初中数学二次函数教学设计
关于二次函数练习题带答案
二次函数是一个常见的数学函数,它的一般形式为f(x)=ax^2+bx+c。其中,a、b、c是系数,x是自变量,y是因变量。以下是小编为大家收集的关于关于二次函数练习题的相关内容,供大家参考!
1、二次函数的图象、性质广泛应用于实际生活中,主要有最大利益的获取,最佳方案的设计、最大面积的计算等问题。
2、解决最值问题的基本思路:(1)认真审题,分清题中的已知和未知,找出数量间的关系;(2)确定自变量x及函数y;(3)根据题中实际数量的相等关系,建立函数关系模型;(4)分析表信息、利用待定系数法、配方法等求出最值。
初三数学二次函数练习题大全
初三数学二次函数是一个重要的数学概念,它的一般形式为y=ax^2+bx+c。二次函数的图像是一个抛物线,其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),对称轴为x=-b/2a。
对于二次函数y=ax^2+bx+c
其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)交点式:y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线]
其中x1,2=-b±√b^2-4ac
顶点式:y=a(x-h)^2+k
[抛物线的顶点P(h,k)]
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
初三数学二次函数练习题专项训练
数学涉及到理性思维,这就使得很多同学为之头疼,更何况是对于一些文科专业的学生来说,学习数学更是难上加难,下面是小编为大家整理的初三数学二次函数练习题,希望对您有所帮助!
不要死记硬背一些公式、定律,而是要靠分析、理解,做到灵活运用,举一反三。特别要重视课堂上学习新知识和分析练习的时候,不能思想开小差,管自己做与学习无关的事情。注意力一定要高度集中,并积极思考,遇到不懂题目时要及时做好记录,课后和同学进行探讨,做好查漏补缺。
要有善于观察、阅读的好习惯。只要我们做数学的有心人,细心观察、思考,我们就会发现生活中到处都有数学。除此之外,同学们还可以从多方面、多种渠道来学习数学。如:从电视、网络、《小学生数学报》、《数学小灵通》等报刊杂志上学习数学,不断扩展知识面。
要学会概括和积累。及时总结解题规律,特别是积累一些经典和特殊的题目。这样既可以学得轻松,又可以提高学习的效率和质量。也要重视其他学科的学习,因为各个学科之间是有着密切的联系,它对学习数学有促进的作用。
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一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax?+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。