数学归纳法的应用(热门2篇)
数学归纳法的应用非常广泛,在实际的教学研究中也得到了很大的重视接下来百文网小编为你整理了数学归纳法的应用,一起来看看吧。
数学归纳法的应用
1. 所有马都一个颜色。(即任意n匹马都只有一个颜色)
证:当只有1匹马,命题成立。假设任意k匹马都只有一个颜色,当n=k+1时,我从中任意挑取k匹马,这k匹马颜色相同;我再用剩下的那只马去换掉这群马中的任意一只,组成新的马群,依然有k匹马,颜色还是相同;根据集合交并原理,可知k+1时也成立。证毕。
原来真的所有马都一种颜色吗?怎么可能!现在,我们来分析一下究竟是哪里出的错。我们可以看到,在第二步,当k=1时,两匹马不能出现交集,不能推出k=2时成立。这个证明链在第二节断掉了,虽然后面是连着的,但却推不出正确结论了。所以这提示我们,即使前面第一步证明了n=1成立,第二步依然要保证n=k对任意所涉及的数也成立,包括1.
2.n人一人一顶帽子,有m顶白帽子,其余都是黑帽子。每次敲钟,都要求所有能判断自己为白帽子的人离开。正在这n个无聊的人苦苦思索的时候,突然来了一个人,说:“这里居然有人带白帽子!”,然后飘走了。黑帽子的人很想说“废话!”,却发现过了一会所有白帽子的人都走了(他们判断出自己的帽子颜色了),这是怎么回事?
好吧,我们还是用数学归纳法做一做:
命题1:我们假设只有1人白帽子,他发现所有人都戴黑帽子,当飘走的那个人说完话后,他可以立刻知道自己是白的。于是第1声钟响后这1个白帽可确认。
命题2:假设只有2个人白,其中一个人发现有只有1个人白帽,如果命题1成立,即只有他是白帽,他应该钟响1下后立刻离开,可他不走。所以说明命题1不成立,一定有2个白帽——自己和他!于是第2声钟响后这2个白帽可确认。
假设命题k成立,命题n=k+1时,假设只有k+1个白帽,其中一人发现:有k个白帽,如果是命题k,他们在第k声钟响后应该全部离开,可是没走,所以一定自己是白帽子让他们不能判断。于是在第k+1声钟响后,k+1白帽可全部确认离开。结论成立。
所以,那句废话虽然对黑帽子没有,但对白帽子而言是却是归纳法的第一块多米诺骨牌。
3.在《不可思议?》这本书里还有一个更那啥的题,经改编如下:有一个杀人狂把两个人分别关在两个密室,分别告诉他们两个相邻正自然数,两个人虽然知道数字相邻,却不知道对方的数。计时开始后,每分钟他们都有一次机会选择确认按钮,确认的消息可以被双方听见。只有知道另一方数字是多少的人才能出去。快快,生路在哪里?
这看起来好像无解,假如我知道自己的数是27,怎么判断对方究竟是26还是28,难道出去的概率是50%?
不,概率是100%,唯一的生路在那个每分钟一次确认按钮上(且确认消息可通知双方)。当A的数是1,则在第1分钟便可知道B的数是2(因为不是0)。当A的数是2,则有两种情况,B是1或3,如果是1,B在第一分钟会确认,如果B没确认,则B是3。所以假设当A为k时,A会在第k分钟推理出B的数字,则当A=k+1时,如果第k分钟B没有动静,则可以判断B的数不是k,而是k+2,所以在下一分钟即k+1分钟时A推理出数字,结论成立。
数学归纳法的原理
数学归纳法是一种研究与自然数有关的证明,它可以巧妙的证明结果含有n的结论。它避免了无穷次的步骤推导引起的逻辑问题,是一种严格的演绎推理,所以它与普通的归纳法有着很大的区别。已知最早的使用数学归纳法的证明出现于F·莫罗利科(Francesco Maurolico)的《算数》(Arithmeticorum libri duo)(1575AD)。莫罗利科利用递推关系巧妙地证明出前n个奇数的总和是n^2,由此总结出了数学归纳法。
数学归纳法最基本格式为:(1)n= n0时,成立。(2)假设n= k时成立,当n=k+1时命题也成立。于是根据(1)(2)可知命题对于任意n成立。举个例子,就像一排多米诺骨牌(这个例子很经典形象),我们知道第一个被推倒了,我们也知道每一个与之相邻的下一个骨牌要倒,那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。
如:证1+2+3+„+n=n*(n+1)/2 。按顺序1.当n=1时,显然成立。2.假设n=k时成立,当n=k+1时,S= k*(k+1)/2+(k+1) = (k+2) (k+1)/2. 于是结果成立。