2017年高考全国Ⅱ卷理数试题和答案
随着2017高考的结束，2018的学生也进入了高三的学习，学生需要多做试卷，下面是百文网小编给大家带来的有关于高考数学的试题介绍，希望能够帮助到大家。
2017年高考全国Ⅱ卷理数试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.( )
A. B. C. D.
2.设集合，.若，则( )
A. B. C. D.
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
5.设，满足约束条件，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则( )
A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.若双曲线(，)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为( )
A.2 B. C. D.
10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
11.若是函数的极值点，则的极小值为( )
A. B. C. D.1
12.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是( )
A. BmC. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 .
14.函数()的最大值是 .
15.等差数列的前项和为，，，则 .
16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)
的内角的对边分别为 ,已知.
(1)求
(2)若 , 面积为2,求
18.(12分)
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)某频率直方图如下：
设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率;
填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)
P() 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828
19.(12分)
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面BCD， E是PD的中点
(1)证明：直线 平面PAB
(2)点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ，求二面角M-AB-D的余弦值
20. (12分)
设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.
求点P的轨迹方程;
设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.
21.(12分)
已知函数且.
(1)求a;
(2)证明：存在唯一的极大值点，且.
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值.
23.[选修4-5：不等式选讲](10分)
已知，证明：
(1);
(2).
理科数学试题答案
一、选择题
1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D
7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B
二、填空题
13. 1.96 14. 1 15. 16. 6
三、解答题
17.解：
(1)由题设及，故
上式两边平方，整理得
解得
(2)由，故
又
由余弦定理及得
所以b=2
18.解：
(1)记“旧养殖法的箱产量低于” 表示事件“新养殖法的箱产量不低于”
旧养殖法的箱产量低于
故的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于
故的估计值为0.66
因此，事件A的概率估计值
(2)
箱产量 箱产量 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66
故有的把握产量养殖方法有关.
(3)的直方图面积为
，
箱产量低于的直方图面积为
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
.
(1)中点，连，.
为中点，,,由得，又
所以.四边形为平行四边形， .
又，
(2)
,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则
则，，，，
,
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以
，
即(x-1)²+y²-z²=0
又M在棱PC上，设
由①，②得
所以M，从而
设是平面ABM的法向量，则
所以可取m=(0，-，2)于是
因此二面角M-AB-D的余弦值为
20.解
(1)设P(x,y),M(x0,y0),设N(x0,0),
由得
因为M(x0,y0)在C上，所以
因此点P的轨迹方程为
(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3，t),P(m,n),则
，
由得，又由(1)知，故
3+3m-tn=0
所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
21.解：
(1)的定义域为
设，则等价于
因为
若a=1，则.当01时，>0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故
综上，a=1
(2)由(1)知
设
当时，;当时，，所以在单调递，在单调递增
又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当时;当时，，当时.
因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点
由
由得
因为x=x0是f(x)在(0,1)的最大值点，由得
所以
22.解：
(1)设P的极坐标为，M的极坐标为，由题设知
由得的极坐标方程
因此的直角坐标方程为
(2)设点B的极坐标为,由题设知
,于是△OAB面积
当时，S取得最大值
所以△OAB面积的最大值为
23.解：
(1)
(2)因为
所以，因此a+b≤2