数学导数公式证明大全

导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df/dx(x0)。

导数的定义：f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0(下面就不再标明Δx→0了)

用定义求导数公式

(1)f(x)=x^n

证法一：(n为自然数)

f'(x)

=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx

=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx

=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]

=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)

=nx^(n-1)

证法二：(n为任意实数)

f(x)=x^n

lnf(x)=nlnx

(lnf(x))'=(nlnx)'

f'(x)/f(x)=n/x

f'(x)=n/x*f(x)

f'(x)=n/x*x^n

f'(x)=nx^(n-1)

(2)f(x)=sinx

f'(x)

=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx

=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx

=lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx

=lim cosxsinΔx/Δx

=cosx

(3)f(x)=cosx

f'(x)

=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx

=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx

=lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx

=lim -sinxsinΔx/Δx

=-sinx

(4)f(x)=a^x

证法一：

f'(x)

=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx

=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx

(设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1))

=lim a^x*m/loga^(m+1)

=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]

=lim a^x*lna*m/ln(m+1)

=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]

=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)]

=lim a^x*lna/lne

=a^x*lna

证法二：

f(x)=a^x

lnf(x)=xlna

[lnf(x)] '=[xlna] '

f' (x)/f(x)=lna

f' (x)=f(x)lna

f' (x)=a^xlna

若a=e，原函数f(x)=e^x

则f'(x)=e^x*lne=e^x

(5)f(x)=loga^x

f'(x)

=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx

=lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx

=lim loga^(1+Δx/x)/Δx

=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)

=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)

=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna)

=lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)

=lim lne/(x*lna)

=1/(x*lna)

若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx

则f'(x)=1/(x*lne)=1/x

(6)f(x)=tanx

f'(x)

=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx

=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx

=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))

=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))

=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))

=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2

(7)f(x)=cotx

f'(x)

=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx

=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx

=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))

=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))

=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))

=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2

(8)f(x)=secx