点到直线的距离公式是什么【3篇】

2023-03-21 17:23:01

最新点到直线的距离公式是什么

Ax+By+C=0坐标(Xo，Yo)，那么这点到这直线的距离就为：│AXo+BYo+C│/√(A?+B?)。下面小编为大家带来点到直线的距离公式是什么，欢迎大家参考阅读，希望能够帮助到大家!

内容导航

求空间点到直线距离点到直线距离公式的证明法点到直线的距离公式

求空间点到直线距离

点M(1，2，3)到直线{x+y-z=1，2x+z=3｝的距离是____?

由两平面可得z=3-2x，y=4-3x。因此直线方程为：x/(-1)=(y-4)/3=(z-3)/2，

直线的方向向量为(-1,3,2) 。可设直线上一点N(-t,3t+4,2t+3)，MN向量为(-t-1,3t+2,2t)

若MN垂直于直线，则(-1,3,2)_(-t-1,3t+2,2t)=0。可解得t=-1/2

MN的模长sqr(6)/2即为所求。

点到直线距离公式的证明法

定义法证：根据定义，点P(x?,y?)到直线l：Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线段的长，设点P到直线的垂线为l'，垂足为Q，则l'的斜率为B/A则l'的解析式为y-y?=(B/A)(x-x?)把l和l'联立得l与l'的交点Q的坐标为((B^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2), (A^2y?-ABx?-BC)/(A^2+B^2))由两点间距离公式得：

PQ^2=[(B^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2

+[(A^2y?-ABx?-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2

=[(-A^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2)]^2

+[(-ABx?-B^2y?-BC)/(A^2+B^2)]^2

=[A(-By?-C-Ax?)/(A^2+B^2)]^2

+[B(-Ax?-C-By?)/(A^2+B^2)]^2

=A^2(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2

+B^2(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(A^2+B^2)(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)

所以PQ=|Ax?+By?+C|/√(A^2+B^2)，公式得证。