arctanx的导数是什么?反三角函数与三角函数的关系
arctanx属于反三角函数中的反正切函数,是高中数学中的难点、重点,那么arctanx的导数是什么呢?反三角函数与三角函数的关系是什么?反三角函数与三角函数的区别是什么?关于这些问题,微页高考网小编将为大家答疑解惑,供大家参考。
一、arctanx的导数是什么?
arctanx的导数是1/1+x²,即为(arctanx)'=1/(1+x^2)
设y=arctanx,则x=tany,因为arctanx′=1/tany′,且tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos²y=1/cos²y,则arctanx′=cos²y=cos²y/sin²y+cos²y=1/1+tan²y=1/1+x²。
arctanx相关知识点补充:
arctanx(即Arctangent)指反正切函数。函数y=tanx,(x不等于kπ+π/2,k∈Z)的反函数,记作x=arctany,叫做反正切函数。其值域为(-π/2,π/2)。反正切函数是反三角函数的一种。
反函数与原函数关于y=x的对称点的导数互为倒数。设原函数为y=f(x),则其反函数在y点的导数与f'(x)互为倒数(即原函数,前提要f'(x)存在且不为0)。
反正切函数arctanx的求导过程
设y=arctanx
则x=tany
因为arctanx′=1/tany′
且tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos²y=1/cos²y
则arctanx′=cos²y=cos²y/sin²y+cos²y=1/1+tan²y=1/1+x²。
所以arctanx的导数是1/1+x²。
其他反函数的常用公式
(arcsinx)'=1/√(1-x^2)
(arccosx)'=-1/√(1-x^2)(arctanx)'=1/(1+x^2)(arccotx)'=-1/(1+x^2)
二、反三角函数与三角函数的关系
反三角函数和三角函数互为反函数。
1、一般来说,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫作函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f-1(y) 。
2、为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2,将y作为反正弦函数的主值,记为y=arcsin。
3、三角函数的反函数是个多值函数,因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求,其图像与其原函数关于函数y=x对称。
但微页高考网小编提醒大家需要注意的是反三角函数是一种数学术语,是一种基本初等函数。反三角函数并不能狭义地理解为三角函数的反函数,是个多值函数。
反三角函数与三角函数的关系:两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)。
大家从本文下方“输入分数看能上的大学”一栏,输入成绩、地区、选考科目,一键进入模拟志愿,查看更多大学投档线线、专业分数线及位次、大学排名等数据。
同时模拟志愿还可以通过大数据分析及云计算处理,为我们科学评估所有能上的大学以及被录取的概率,方便我们后续志愿填报选择学校参考!