四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高三上学期第一次联考理科数学试题
2024届高三第一次联考理科数学考试时间120分钟,满分150分注意事项:1.答题前,考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚,考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上,如需改动,用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案;非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答,超出答题区域答题的答案无效;在草稿纸上、试卷上答题无效。3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,,则()A. B. C. D.2.已知幂函数的图象过点,则()A. B.1 C.2 D.33.已知为虚数单位,,则的模为()A.1 B. C.2 D.44.已知,若,则()A. B. C.-7 D.75.在中,“”是“为锐角三角形”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.在等比数列中,,是方程两根,若,则的值为()A.3 B.-3 C.9 D.-97.已知,,,,若存在非零实数使得,则的最小值为()A.8 B.9 C.10 D.128.已知函数,则函数的图象可能是()A. B.C. D.9.已知平行四边形,若点是边的三等分点(靠近点处),点是边的中点,直线与相交于点,则()A. B. C. D.10.已知函数,若时,恒成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.11.若,,,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.12.已知函数若有3个实数解,则实数的取值范围为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数则____________.14.已知数列的前项和为,且,则____________.15.设是定义在上的偶函数,且当时,,则不等式的解集为_____________.16.已知函数,当时,恒成立,则实数的取值范围为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)某地区运动会上,有甲、乙、丙三位田径运动员进入了男子100m决赛,某同学决定运用高中所学的知识对该次决赛的情况进行预测,为此,他收集了这三位运动员近几年的大赛100m成绩(单位:秒),若比赛成绩小于10秒则称为“破十”.甲:10.54,10.49,10.31,10.37,9.97,10.25,10.11,10.04,9.97,10.03;乙:10.59,10.32,10.06,9.99,9.83,9.91;丙:10.03,9.98,10.10,10.01.假设用频率估计概率,且甲、乙、丙三位运动员的比赛成绩相互独立.(1)分别估计甲、乙、丙三位运动员“破十”的概率;(2)设这三位运动员在这次决赛上“破十”的人数为X,估计X的数学期望.18.(12分)已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.(1)求角B;(2)若,,,求的长.19.(12分)如图,在直三棱柱中,底面是以为底边的等腰直角三角形,,.(1)求证:平面平面;(2)设点为上一点,且满足,求二面角的平面角大小.20.(12分)已知椭圆:的左、右焦点分别为,,短半轴长为1,点在椭圆E上运动,且的面积最大值为.(1)求椭圆的方程;(2)当点为椭圆的上顶点时,过点分别作直线,交椭圆E于M,N两点,设两直线,的斜率分别为,,且,求证:直线过定点.21.(12分)已知函数,.(1)当时,求在处的切线方程;(2)设函数,若恒成立,求的最小值.(二)选考题:共10分。请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).(1)求直线和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线相交弦的中点坐标为,求直线的极坐标方程.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知定义域为的函数.(1)若,求函数的最小值;(2)若,不等式恒成立,求实数的最小值.